遼寧省沈陽鐵路實驗中學(xué)2020學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理(1)（通用）

1、沈陽鐵路實驗中學(xué)2020學(xué)年度下學(xué)期期中試題高二數(shù)學(xué)（理）時間：120分鐘 分?jǐn)?shù)：150分一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）ABCD2已知是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（，），則（ ）A B C D 3設(shè)為可導(dǎo)函數(shù)，則在點（1，）處的切線斜率為A2 B 1 C1 D 24已知，是實數(shù)，若，則且，用反證法證明時，可假設(shè)且；設(shè)為實數(shù)，求證與中至少有一個不少于，用反證法證明時，可假設(shè)，且.則（ ）A的假設(shè)正確，的假設(shè)錯誤 B的假設(shè)錯誤，的假設(shè)正確C與的假設(shè)都錯誤 D與的假設(shè)都正確5若函數(shù)f(x)滿足f (x)x3f

2、 (1)x2x，則f (2)的值為()A3B1C0D16下列積分值最大的是（ ）A B C D7設(shè),則 ( )A B C D8某地區(qū)高考改革，實行“”模式，即“”指語文、數(shù)學(xué)、外語三門必考科目“”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，“”指在化學(xué)、生物、政治、地理以及除了必選一門以外的歷史或物理這五門學(xué)科中任意選擇兩門學(xué)科，則一名學(xué)生的不同選科組合有 （ ）A8種 B12種 C16種 D20種9已知點A（l，2）在函數(shù)f（x）=ax3的圖象上，則過點A的曲線C：y=f（x）的切線方程是（）A6xy4=0 Bx4y+7=0C6xy4=0或x4y+7=0 D6xy4=0或3x2y+1=010對于問題“

3、已知關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為(1,2)，解關(guān)于x的不等式ax2bxc0”，給出如下一種解法：由ax2bxc0的解集為(1,2)，得a(x)2b(x)c0的解集為(2,1)，即關(guān)于x的不等式ax2bxc0的解集為(2,1)思考上述解法，若關(guān)于x的不等式的解集為，則關(guān)于x的不等式的解集為()A(3，1)(1,2) B C(1,2) D(3,2)11設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時，則使得成立的的取值范圍是（ ）A B C D12已知函數(shù)，若曲線上存在兩點，這兩點關(guān)于直線的對稱點都在曲線上，則實數(shù)的取值范圍是( )A B C D 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分請把正確的答案

4、填在題中的橫線上)13 曲線與曲線所圍成的區(qū)域的面積為_14已知，一元二次方程的一個根z是純虛數(shù)，則|z+m|=_15對于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)yf(x)的導(dǎo)數(shù)y的導(dǎo)數(shù)，若方程0有實數(shù)解x0，則稱點(x0，f(x0)為函數(shù)yf(x)的“拐點”任何一個三次函數(shù)都有對稱中心；且拐點就是對稱中心”請你將這一發(fā)現(xiàn)為條件，函數(shù)，計算=_16如圖是網(wǎng)格工作者經(jīng)常用來解釋網(wǎng)絡(luò)運作的蛇形模型：數(shù)字1出現(xiàn)在第1行；數(shù)字2，3出現(xiàn)在第2行，數(shù)字6，5，4（從左至右）出現(xiàn)在第3行；數(shù)字7，8，9，10出現(xiàn)在第4行；依此類推，若數(shù)字195在第m行從左至右算第n個數(shù)字，則m+n為_.三、解答題(本大題共6小題，共70

5、分其中第17題10分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17已知函數(shù)（其中），且曲線在點處的切線垂直于直線.（1）求的值及此時的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.18已知函數(shù)的圖象如圖，直線在原點處與函數(shù)圖象相切，且此切線與函數(shù)圖象所圍成的區(qū)域(陰影)面積為.（1）求的解析式；（2）若常數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.19（1）a、b、c、dR+,求證: (2)已知a、b、c都是實數(shù)，求證：a2b2c2.20已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，若存在，使得對任意的，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.21已知函數(shù)（）當(dāng)時，求函數(shù)在，上的最大值；（）討論函數(shù)的零點的個數(shù)22已知

6、函數(shù)（為常數(shù)）（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）若存在兩個極值點，且，求的最大值沈陽鐵路實驗中學(xué)2020學(xué)年度下學(xué)期期中試題高二數(shù)學(xué)（理）答案1B2A3C4B5【答案】A6A7C8C9D10A11D12D134.514. 1.515 202016 17（）a= ,； （）減區(qū)間為，增區(qū)間為；極小值為，無極大值.【解析】【分析】（）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)切線與直線垂直可得切線的斜率為k=-2.由導(dǎo)函數(shù)的意義代入即可求得a的值；代入函數(shù)后可求得，進(jìn)而利用點斜式可求得切線方程。（）將a代入導(dǎo)函數(shù)中，令，結(jié)合定義域求得x的值；列出表格，根據(jù)表格即可判斷單調(diào)區(qū)間和極值。【詳解】（）由于，所以，

7、 由于在點處的切線垂直于直線，則，解得. 此時，切點為，所以切線方程為. （）由（）知，則,令，解得或（舍），則的變化情況如下表，50遞減極小值遞增所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.函數(shù)的極小值為，無極大值.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像上點切線方程的求法，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，屬于基礎(chǔ)題。18（1）；（2）當(dāng)時,；當(dāng)時,.【解析】試題分析：（1）由條件知，代入可得、.再用定積分表示出所圍成的區(qū)域(陰影)面積，由面積為解得，從而得到的解析式；（2）由（1）知，再列出，的取值變化情況，又，結(jié)合圖像即可得當(dāng)時,；當(dāng)時,.試題解析：(1)由得， 2分.由得， 4分，則易知圖中所圍成的區(qū)域(陰影)

8、面積為從而得，. 8分（2）由（1）知. 的取值變化情況如下： 2單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增又,當(dāng)時,； 11分當(dāng)時, 綜上可知當(dāng)時,；當(dāng)時, 考點：1.求導(dǎo)法則；2.定積分求面積；3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性.19見解析【解析】試題分析：運用分析法證明，要證原不等式成立，可考慮兩邊平方，化簡整理，再由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2，即可得證解析：要證不等式成立,只需證()2(a+c)2+(b+d)2成立.即a2+b2+c2+d2+2a2+b2+c2+d2+2ac+2bd.即證ac+bd成立.a、b、c、dR+,只需證(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2

9、.即a2c2+a2d2+b2c2+b2d2a2c2+2abcd+b2d2.即證a2d2+b2c22abcd成立.a、b、c、dR+,a2d2+b2c22abcd成立.點睛：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式的運用，以及不等式的性質(zhì)的運用，考查推理能力，屬于中檔題對于不等式的證明，常用方法有分析法，從結(jié)果入手，反證法用于不太好證的題或者顯而易見的證明題。20證明見解析.【解析】【分析】應(yīng)用重要不等式，之后將所列的式子相加即可得到結(jié)果.【詳解】證明:a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac，a2b2c2a2b2c2，由得：3(a2b2c2)a2b2c22ab2bc2ac，3(a2b2c2)

10、(abc)2，即a2b2c2.【點睛】這個題目考查了基本不等式的應(yīng)用，以及不等式的證明，常見的方法有：做差法，分析法，綜合法，反證法等.21（1）見解析 （2）【解析】【分析】（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性；（2）存在，使得對任意的都有恒成立，等價于，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，并求出的最小值，解不等式即可得結(jié)果.【詳解】（1）因為的定義域為，.當(dāng)時，因為，所以在上為增函數(shù)當(dāng)時，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在上為減函數(shù)，（2）當(dāng)時，若存在，使得對任意的都有恒成立，則.由（1）知，當(dāng)時，.因為，令，

11、則，令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.所以，則，解得，又，所以，即實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值，以及轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于綜合題. 分類討論思想的常見類型 問題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的； 問題中的條件是分類給出的； 解題過程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的； 涉及幾何問題時，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.22（）f（x）max94e-2.（）見解析【解析】【分析】（）a1時，f（x）（x1）2+（x2）ex，可得f（x）（x1）（ex+2），利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出

12、最值（）令a（x1）2+（x2）ex0，則a（x1）2（2x）ex，討論f（x）a（x1）2+（x2）ex的零點個數(shù)，即轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)ya（x1）2與函數(shù)g（x）（2x）ex的圖象交點個數(shù)畫出函數(shù)g（x）（2x）ex的圖象大致如圖對a分類討論即可得出a0時，f（x）a（x1）2+（x2）ex有兩個零點，當(dāng)a0時，對a分類討論研究f(x)的圖象的變化趨勢得出結(jié)論.【詳解】（）a1時，f（x）（x1）2+（x2）ex，可得f（x）2（x1）+（x1）ex（x1）（ex+2），由f（x）0，可得x1；由f（x）0，可得x1，即有f（x）在（，1）遞減；在（1，+）遞增，所以f（x）在2，1單調(diào)遞減，

13、在1，2上單調(diào)遞增，所以f（x）minf（1）e，又f（2）94e-2f（2）1所以f（x）max94e-2.（）討論f（x）a（x1）2+（x2）ex的零點個數(shù)，令a（x1）2+（x2）ex0，則a（x1）2（2x）ex,轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)ya（x1）2與g（x）（2x）ex的圖象交點個數(shù)，由g（x）（2x）ex，可得g（x）（1x）ex由單調(diào)性可得：g（x）圖象大致如右圖：所以當(dāng)a=0時，ya（x1）2=0與g（x）（2x）ex圖象只有一個交點，a0時，ya（x1）2與函數(shù)g（x）（2x）ex有兩個交點，當(dāng)a0時，f（x）2a（x1）+（x1）ex（x1）（ex+2a），當(dāng)a=-時，f（x）恒

14、成立，f（x）在（，+）遞增，又f（1）=-e0，此時f（x）a（x1）2+（x2）ex有一個零點.當(dāng)a-時，f（x）0的兩根為1，ln(-2a),當(dāng)1ln(-2a)時，f（x）在（，1）遞增；在（1，ln(-2a)）上遞減，在（ln(-2a)，+）遞增，又f（1）=-e0,又存在=,使+(a-2)x-a=0, +(a-2)x-ax=0,而+(a-2)x-ax=ax(x-1)+ (x-2)0,此時f（x）a（x1）2+（x2）ex有一個零點.當(dāng)1ln(-2a)時，f（x）在（， ln(-2a)）遞增；在（ln(-2a),1）上遞減，在（1，+）遞增，又f(ln(-2a)= a(ln(-2a)12-2a(ln(-2a)2=a-4(ln(-2a)+50,又f（1）=-e0,所以此時f（x）a（x1）2+（x2）ex有一個零點.綜上當(dāng)a0時，f（x）a（x1）2+（x2）ex有兩個零點a0時，f（x）a（x1）2+（x2）ex有一個零點.【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、數(shù)形結(jié)合方法、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題23（1）；（2）【解析】【分析】（1）