計算流體力學作業(yè)電子版

1、1. 已知有限體積法求解的通用控制方程為其中為通用變量，可代表u、v、w、T等求解變量。（1）試說明通用控制方程中各項的物理意義；（2）對于特定的方程，、S具有特定的形式，對應于質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程、能量守恒方程、（多種化學組分的）組分質(zhì)量守恒方程，試寫出、S的具體表達式。解答：（1） 方程中的各項（從左到右）分別是瞬態(tài)項、對流項、擴散項及源項。（2）2. 簡述有限體積法建立離散方程時應遵守的四條基本原則。解答：1)控制體積界面上的連續(xù)性原則當一個面為相鄰的兩個控制體積所共有時，在這兩個控制體積的離散方程中，通過該界面的通量（包括熱通量、質(zhì)量通量、動量通量）的表達式必須相同。即：通過某特

2、定界面從一個控制體積所流出的熱通量，必須等于通過該界面進入相鄰控制體積的熱通量，否則，總體平衡就得不到滿足。2)正系數(shù)原則中心節(jié)點系數(shù)aP和相鄰節(jié)點系數(shù)anb必須恒為正值。該原則是求得合理解的重要保證。當違背這一原則，結(jié)果往往是得到物理上不真實的解。例如，如果相鄰節(jié)點的系數(shù)為負值，就可能出現(xiàn)邊界溫度的增加引起的相鄰節(jié)點溫度降低。3)源項的負斜率線性化原則源項斜率為負可以保證正系數(shù)原則。從式(C2)中看到，當相鄰節(jié)點的系數(shù)皆為正值，但有源項Sp的存在，中心節(jié)點系數(shù)aP仍有可能為負。當我們規(guī)定Sp0，便可以保證aP為正值。4)系數(shù)aP等于相鄰節(jié)點系數(shù)之和原則當源項為0時，我們發(fā)現(xiàn)中心節(jié)點系數(shù)等于相

3、鄰節(jié)點系數(shù)之和，而當有源項存在時也應該保證這一原則，如果不能滿足這個條件，可以取SP為0。3什么是對流質(zhì)量流量F、擴散傳導量D以及Pelclet數(shù)Pe，試用定義式表達之。解答：F表示通過界面上單位面積的對流質(zhì)量通量(convective mass flux)，簡稱對流質(zhì)量流量；D表示界面的擴散傳導性(量)(diffusion conductance)。定義表達式如下：在此基礎上，定義一維單元的Peclet數(shù)Pe如下：4二維計算域中節(jié)點間距分別為和，控制體積P的四個界面為e、w、n、s，試寫出其各個界面上的對流質(zhì)量通量F與擴散傳導量D。解答：界面wensFD維數(shù)二維5Pelclet數(shù)Pe是如何定

4、義的？試根據(jù)Pe的取值范圍分析一個流場的流動狀況。解答：當Pe =0，對流-擴散演變?yōu)榧償U散問題，即流場中沒有流動，只有擴散；當Pe 0時，流體沿正 x方向流動；當Pe數(shù)很大時，對流-擴散問題演變?yōu)榧儗α鲉栴}；當Pe 0時，流體沿負 x方向流動。6.什么是假擴散與人工粘性？如何消除或減弱數(shù)值計算中假擴散的影響？解答：假擴散：對流-擴散方程中，一階導數(shù)項(對流項)離散格式的截斷誤差，小于二階而引起的較大的數(shù)值計算誤差的現(xiàn)象稱為假擴散(false diffusion)。因為低階離散格式截差的首項包含二階導數(shù)，在數(shù)值計算結(jié)果中，使擴散的作用被人為地放大了，相當于引入了人工粘性(artificial

5、viscosity)或數(shù)值粘性(numerical viscosity)。消除或減輕數(shù)值計算假擴散的方法：采用高階格式(如二階迎風格式，QUICK格式)；采取自適應網(wǎng)格技術。7.若動量方程和連續(xù)性方程分別為圖1擴散項采用中心差分格式進行離散，試推導二階迎風格式的對流-擴散方程的離散方程。解答：1）*當流動沿正方向，即，（，）時，有，此時離散方程(A5)變?yōu)?F1)注：此時，擴散項仍采用中心差分格式進行離散。整理F1得：(F2)（2）*流動沿負方向，即，（，）時，有有，此時離散方程(A5)變?yōu)?F3)注：此時，擴散項仍采用中心差分格式進行離散。整理F3得：(F4)綜合F2和F4得到二階迎風格式的

6、對流-擴散方程的離散方程：(F5)式中系數(shù)為：(F6)其中，當流動沿正方向及時，；當流動沿負方向及時，.8.一維穩(wěn)態(tài)問題控制方程為，其中廣義變量（速度、溫度、濃度等）在端點A和B的邊界值為已知，如下圖2所示。采用中心差分格式，試推導控制方程的離散方程及其系數(shù)方程組。圖2解答：界面物理量通過節(jié)點物理量來插值表示：中心差分格式(Central differencing scheme)：界面物理量利用節(jié)點物理量通過線性插值來計算。即：(A7-1)(A7-2)代入A5(A8)引入連續(xù)性方程離散形式A6，有(A9)中心差分格式的離散方程為(A10)中心差分格式的離散方程為(A10)式中(A11)9.一維

7、穩(wěn)態(tài)問題的控制方程為 （1）在分段線性插值基礎上引入曲率修正（如下圖所示）曲率修正C為：試推導此控制方程（1）的QUICK格式。解答：當流動沿正方向，即，（，）時，有(G3)將G3代入A5，得離散方程(A5)(G4)*流動沿負方向，即，（，）時，得離散方程(G5)綜合G4和G5得到QUICK格式的對流-擴散方程的離散方程：(G6)(G6)式中系數(shù)為：(G7)其中，當流動沿正方向時，；時，；當流動沿負方向時，；10.若變量對時間的積分可表為其中為t時刻的值，為t+t時刻的值。試根據(jù)加權因子f 的取值，分析瞬態(tài)問題對時間的幾種積分方案，并寫出相應的表達式。解答：式中：上標0代表t時刻，是t時刻的值

8、；是t+t時刻的值；f為0與1之間的加權因子：當f =0時，變量取老值進行時間積分，當f =1時，變量取新值進行時間積分。11同812.一維瞬態(tài)問題的控制方程為式中為廣義變量，是相應于的廣義擴散系數(shù)，S是廣義源項?？臻g離散采用中心差分格式，時間離散采用全隱式方案，試推導其離散過程，寫出離散方程的通用形式以及各項系數(shù)的表達式。解答：將方程(3-1)在一維計算網(wǎng)格上對時間及控制體積進行積分，有 (3-2)(3-2)改寫為(3-3)：(3-3)C1 假定變量對時間的積分為(3-5)式中：上標0代表t時刻，是t時刻的值；是t+t時刻的值；f為0與1之間的加權因子：當f =0時，變量取老值進行時間積分，

9、當f =1時，變量取新值進行時間積分。同理，將、及采用類似式(3-5)進行時間積分，式(3-4)可寫成(3-6)整理后得(3-7)同樣也像穩(wěn)態(tài)問題引入、和，式(3-9)變?yōu)?3-10)(3-10)的系數(shù)方程組為：(3-11) 當f=1時，就成為了全隱式時間積分方案了。13.同7 14.試根據(jù)通過界面上單位面積的對流質(zhì)量流量F 和擴散傳導性(量) D的定義完成下表的填寫：解答：F和D的表達式界面wensbtFD15.全隱式時間積分方案下離散方程的通用形式為 (1)式中下標nb表示相鄰節(jié)點，對于三維問題，相鄰節(jié)點包括W、E、N、S、T、B；離散方程中各項系數(shù)為：試給出中心差分格式下離散方程（1）的

10、系數(shù)的表達式，完成下表的填寫：解答：中心差分格式下離散方程的系數(shù)的表達式一維二維三維16.簡述交錯網(wǎng)格與同位網(wǎng)格的區(qū)別。解答：交錯網(wǎng)格(staggered grid)：就是將標量(如壓力p、溫度T和密度等)在正常的網(wǎng)格節(jié)點上存儲和計算，而將速度的各分量分別在錯位后的網(wǎng)格上存儲和計算，錯位后網(wǎng)格的中心位于原控制體積的界面上。同位網(wǎng)格（collocated grid）：把速度u、v及壓力p同時存儲在同一個網(wǎng)格節(jié)點上。即：系統(tǒng)中只有一種類型的控制體積，所有的變量均在此控制體積的中心點處定義和存儲，所有控制方程均在此控制體積上進行離散。17.交錯網(wǎng)格有哪些特點？解答：l 主控制體積為求解壓力p的控制體

11、積稱為標量控制體積(scale control volume)或p控制體積，控制體積的節(jié)點P稱為主節(jié)點或標量節(jié)點(scale node) 圖2(a) 。 速度u在主控制體積的東、西界面e和w上定義和存儲， 速度v在主控制體積的南、北界面s和n上定義和存儲。u和v各自的控制體積：分別以速度所在位置(界面e和界面n)為中心的，分別稱為u控制體積(u-control volume)和v控制體積(v-control volume)l 使用交錯網(wǎng)格，生成離散方程的方法和過程與原來的基于普通網(wǎng)格的方法和過程一致，只是需要注意所使用的控制體積有所變化。l 交錯網(wǎng)格中，由于所有標量(如壓力、溫度、密度等)仍然

12、在主控制體積上存儲，因此，以這些標量為因變量的輸運方程的離散過程及離散結(jié)果與前面的一樣，主要是在交錯網(wǎng)格中生成的u和v兩個動量方程的離散方程時，積分用的控制體積不再是原來的主控制體積，而是u和v各自的控制體積，同時壓力梯度項從源項中分離出來。18.簡述流動控制方程數(shù)值分離解法的基本過程。解答：離解法中應用廣泛的是壓力修正法，其求解過程為：對于當前時間步：(1)假定初始壓力場。(2)利用壓力場求解動量方程，得到速度場。(3)利用速度場求解連續(xù)方程，得到壓力場修正值。(4)根據(jù)需要，求解湍流方程及其它標量方程。(5)判斷當前時間步上的計算是否收斂。若不收斂，返回第二步，迭代計算；若收斂，重復上述步

13、驟，計算下一時間步的物理量。壓力修正法有很多實現(xiàn)方式，其中，壓力耦合方程組的半隱式方法(SIMPLE算法Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations，求解壓力耦合方程組的半隱式方法)應用最為廣泛，也是各種商用CFD軟件普遍采納的算法。19.簡述流動控制方程數(shù)值耦合解法的基本過程。解答：l 耦合解法同時求解離散方程組，聯(lián)立求解出各變量等，其求解過程：對于當前時間步：(1)假定初始壓力和速度等變量，確定離散方程的系數(shù)及常數(shù)項等。(2)聯(lián)立求解連續(xù)方程、動量方程、能量方程。(3)求解湍流方程及其它標量方程。(4)判斷當前時間步上的計算是否收斂。

14、若不收斂，返回第二步，迭代計算；若收斂，重復上述步驟，計算下一時間步的物理量。20.簡述SIMPLE算法的基本思想和基本步驟。解答：（1）動量方程的離散在同位網(wǎng)格上（圖1），對于穩(wěn)態(tài)問題動量方程對控制體積P作積分：(1)為P點壓力作用的面積，實際為控制體積在y向的高度.在已知壓力場的情況下，和可通過線性插值得出。此時，仍然要用到相間節(jié)點的壓力，而不是相鄰節(jié)點的壓力。改寫（1）式(2)簡記為(3)類似地，P點的v動量離散方程為：(4)注意：（4）式和（1）式的系數(shù)形式相同，但內(nèi)容不一樣。下面，用連續(xù)方程導出壓力修正方程。不計非穩(wěn)態(tài)項時，連續(xù)性方程在P控制體積上離散(5)此式中出現(xiàn)的界面流速，在交

15、錯網(wǎng)格上是可以自然獲得的。但在同位網(wǎng)格上，則需要由節(jié)點的速度值來插值得到。（正是這一環(huán)節(jié)給我們提供了引入相鄰節(jié)點壓差1-的機會）參照P點流速（3）式，界面e的速度為：(6)式中(7)這樣，我們就引入了相鄰節(jié)點壓差1-.此方法稱為動量插值法（Momentum Interpolation Method, 簡稱MIM）（2）壓力修正方程的建立在式（7）中，界面上的速度及系數(shù)均需要通過線性插值的方法由節(jié)點上的值來表示： (8)(9)類似地，可得其他界面的速度、和.根據(jù)SIMPLE算法中略去鄰點速度修正值的方法，有：(10)同理，可得其他界面速度、和.現(xiàn)在，以（1）式求出的速度u作為，與（10）式計算結(jié)

16、果相加，得(11)代入連續(xù)方程的離散方程，得到與交錯網(wǎng)格形式上完全一樣的壓力修正方程：(12)式中：(13a)(13b)(13c)(13d)(13e)(13f)修正后的u、v、p，進入下一迭代過程。21.為加快單個迭代步中的收斂速度，PISO算法采用了預測修正再修正三步。試分析這三個步驟中具體的離散方程形式與預測物理量的關系。解答：（1）預測步使用與SIMPLE算法相同的方法，利用猜測的壓力場，求解動量離散方程(Q1)與方程式(Q2)，(Q1)(Q2)得到速度分量與。（2）第一步修正【所得到的速度場(,)一般不滿足連續(xù)方程（除非壓力場是準確的）。】現(xiàn)引入對SIMPLE的第一個修正步，該修正步給

17、出一個速度場(,)，使其滿足連續(xù)方程。此處的修正公式與SIMPLE算法中的式(R1)和(R2)(R1)(R2)完全一致，只不過考慮到在PISO算法還有第二個修正步，因此，使用不同的記法：(20)(21)(22)這組公式用于定義修正后的速度與：(23)(24)就像在SIMPLE算法中一樣，將式(23)與式(24)代入連續(xù)方程T1產(chǎn)生與第二節(jié)中具有相同系數(shù)和源項的壓力修正方程。求解該方程，產(chǎn)生第一個壓力修正值。一旦壓力修正值已知，可通過式(23)與式(24)獲得速度分量與。（3）第二步修正為了強化SIMPLE算法的計算，PISO要進行第二步的修正。和的動量離散方程是(25)(26)為引用方便，給出

18、新的編號。再次求解動量方程，可以得到兩次修正的速度場：(27)(28)注意修正步中的求和項是用速度分量和來計算的。從式(27)中減去式(25)，從式(28)中減去式(26)，有(29)(30)以上兩式中，記號是壓力的二次修正值。有了該記號，可表示為(31)將和的表達式(29)和(30)代入連續(xù)方程(T1)，得到二次壓力修正方程：(32)以上兩式中，?？蓞⒖冀⒎匠痰诙?jié)同樣的過程，寫出各系數(shù)如下：(33a)(33b)(33c)(33d)(33e)通過求解方程(32)，可得二次壓力修正值。這樣，通過式(34)就可得二次修正的壓力場：(34)最后，求解方程(29)與(30)，得到二次修正的速度場。

19、在瞬態(tài)問題的非迭代計算中，壓力場與速度場(,)認為是準確的。對于穩(wěn)態(tài)流動的迭代計算，PISO算法的實施過程如圖2所示。PISO算法要兩次求解壓力修正方程，因此，它需要額外的存儲空間來計算二次壓力修正方程中的源項。盡管該方法涉及較多的計算，但對比發(fā)現(xiàn)，它的計算速度很快，總體效率比較高。Fluent的用戶手冊推薦，對于瞬態(tài)問題，PISO算法有明顯的優(yōu)勢；而對于穩(wěn)態(tài)問題，可能選SIMPLE或SIMPLEC算法更合適。22.簡述湍流運動大渦模擬的基本方法。解答：按湍流的機理，湍流的脈動及混合主要由大尺度的渦造成。大尺度的渦高度非線性，其相互作用把能量傳給小尺度的渦。小尺度的渦幾乎是各向同性的，它們起到

20、能量耗散的作用。由此，只用非穩(wěn)態(tài)N-S方程模擬大渦，不直接計算小渦，而將小渦對大渦的影響通過近似的模型來考慮，這種影響稱為亞格子Reynolds應力。大渦模擬對計算機的要求仍比較高，但比直接模擬低得多。23.簡述標準k-兩方程模型的基本思想。解答：在一方程模型中，湍動粘度表示成湍動能k的函數(shù)，使方程組封閉。在引入湍動粘度的基礎上，再引入一個關于湍動耗散率的方程，便形成了k-兩方程模型。24.簡述湍流運動的渦流動特征與能量轉(zhuǎn)化特征。解答：湍流是由各種不同尺度的渦（eddy）疊合而成的流動，這些渦的大小及旋轉(zhuǎn)軸的方向分布是隨機的。大尺度渦：由邊界條件決定，受慣性影響而存在，引起低頻脈動；小尺度渦：

21、由粘性力決定，引起高頻脈動；大尺度渦破裂，形成小尺度渦；小尺度渦破裂，形成更小尺度渦；在充分發(fā)展的湍流內(nèi)，渦的尺度是連續(xù)分布的。大尺度渦從主流獲得能量，通過渦之間的相互作用，能量逐漸向小尺度渦傳遞；最后由于粘性作用，小尺度渦不斷消失，機械能就轉(zhuǎn)化（耗散）為流體的熱能。同時，由于邊界的作用、擾動及速度梯度的作用，新的渦旋又不斷產(chǎn)生，由此構(gòu)成湍流運動。不同尺度渦的隨機脈動導致了湍流中物理量的脈動。25.Reynolds平均法可分為Reynolds應力模型與渦粘模型（湍流粘性系數(shù)法）。試問：（1） 什么是渦粘模型(湍流粘性系數(shù)法)，試簡述之。（2） 什么是Reynolds應力模型，試簡述之。解答：（

22、1）基于Boussinesq假設，它將湍流脈動所造成的附加應力(Reynolds應力)與時均應變率關聯(lián)起來（如層流運動應力一般），采用各向同性的湍流動力粘度(湍動粘度turbulent viscosity)(或稱渦粘系數(shù)eddy viscosity)，然后把湍流應力表示成湍動粘度的函數(shù)。確定湍動粘度是整個計算的關鍵。（2）不引入Boussinesq假設，而是試圖直接求解Reynolds應力。對此，引入偏微分方程，在建立二個脈動值乘積的時均值方程的過程中，再引入三個脈動值乘積的時均值；為使方程組封閉，又必須建立微分方程，在建立三個脈動值乘積的時均值方程的過程中，又會引入四個脈動值乘積的時均值，這

23、在理論上是一個不封閉的困難。該模型在四個脈動值乘積這一層次上，加了一個渦量脈動平方平均值的方程式，從而使Reynolds應力方程封閉。這是一個17方程模型，因而對計算機要求較高，但它克服了渦粘模型的一些缺點，可能是目前最有發(fā)展前途的一類湍流模型。出于計算量考慮，將Reynolds應力及熱力密度用代數(shù)方程而不是微分方程來求解，從而大大減輕計算量，這就是代數(shù)應力模型(ASM)。26.簡述雷諾平均法處理湍流數(shù)學問題的基本思想。解答：在這類方程中，將非穩(wěn)態(tài)N-S方程作時間平均，即把湍流運動看成二個流動的疊加，一是時間平均流動，二是瞬時脈動流動。于是在所得的時均的N-S方程中包含了脈動量乘積的時均值等未

24、知量，稱為Reynolds應力。要讓方程封閉，必須作出假設。按照假設的不同，Reynolds平均法又可分為Reynolds應力模型及渦粘模型(湍流粘性系數(shù)法)。27.畫出分離解法與耦合解法的計算流程圖，并配合流程圖分別說明兩種方法的求解步驟。解答：步驟見18,1928.簡述湍流的零方程模型、一方程模型與兩方程模型。解答：依據(jù)確定的微分方程數(shù)目的多少，渦粘就分為零方程模型、一方程模型、兩方程模型。零方程模型：不需要微分方程而是用代數(shù)關系式把湍流粘性系數(shù)與時均值聯(lián)系起來的模型。一方程模型改進了這一缺點。它引入了湍流脈動動能的平方根，作為湍流脈動速度的代表。為此，再引入一個耗散率的概念，用來表示各向

25、同性的小尺度渦的機械能轉(zhuǎn)化為熱能的速率。為計算的封閉性，引入耗散率的控制方程，即k-兩方程模型。29.簡述利用Gambit進行網(wǎng)格劃分的思路與基本步驟。解答：見PDF第15題30.簡述利用Ansys-Fluent求解流體力學相關問題的基本步驟。解答：見PDF第16題31.SIMPLEC算法與SIMPLER算法的計算步驟解答：見PDF第8題32.簡述差分格式的相容性、穩(wěn)定性和收斂性，以及Lax等價性定理。解答：相容性：差分問題的提法與定解的微分問題在提法上的近似與否。即差分方程以及相應的定解條件的數(shù)值處理與微分方程及其定解條件是否逼近的問題。定義：若微分源方程與相應的差分方程之間的截斷誤差項為，當 時，則稱差分方程與微分源方程相容。若 僅在在滿足某種條件下趨于零時才成立，則稱為條件相容。穩(wěn)定性：對同一個微分物理問題可以形成各種不同的差分計算格式；差分計算格式包含；差分方程、初邊值條件的數(shù)值處理、（離散處理）網(wǎng)格劃分的形成，所有這些因素的綜合形成一個差分計算格式，對應這一格式的解稱之差分數(shù)值解；差分計算格式對有界的初值條件，其數(shù)值解可能仍