平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐標表示

1、2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示,問題提出,1.怎樣理解向量的數(shù)乘運算a？,（1）|a|=|a|；,（2）0時，a與a方向相同；,0時，a與a方向相反；,=0時，a=0.,2.平面向量共線定理是什么？,4.在物理中，力是一個向量，力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解，任何一個大小不為零的力，都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來，就會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.,探究（一）：平面向量基本定理,思考1：給定平面內(nèi)任意兩個向量e1，e2，如何求作向量3e12e2和e12e2？,思考2：如圖，設(shè)OA，OB，OC為三條共點射線，P為OC上一

2、點，能否在OA、OB上分別找一點M、N，使四邊形OMPN為平行四邊形？,思考3：在下列兩圖中，向量 不共線，能否在直線OA、OB上分別找一點M、N，使 ？,思考5：若上述向量e1，e2，a都為定向量，且e1，e2不共線，則實數(shù)1，2是否存在？是否唯一？,思考6：若向量a與e1或e2共線，a還能用1e12e2表示嗎？,a=1e1+0e2,a=0e1+2e2,思考7：根據(jù)上述分析，平面內(nèi)任一向量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1，e2表示出來，從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎？,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，

3、使a1e12e2.,思考8：上述定理稱為平面向量基本定理，不共線向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組？不同基底對應(yīng)向量a的表示式是否相同？,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)1，2，使a1e12e2.,探究(二):平面向量的正交分解及坐標表示,0，180,思考2：如果向量a與b的夾角是90，則稱向量a與b垂直，記作ab. 互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底？,思考3：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如圖，向量i、j是兩個互相垂直的單位向量，向量a

4、與i的夾角是30，且|a|=4，以向量i、j為基底，向量a如何表示？,思考4：在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得 axiyj.我們把有序數(shù)對（x，y）叫做向量a的坐標，記作a(x，y).其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸 上的坐標，上式叫做向量 的坐標表示.那么x、y的 幾何意義如何？,思考5：相等向量的坐標必然相等，作向量 a，則 (x，y)，此時點A的坐標是什么？,A(x,y),理論遷移,例1 如圖，已知向量e1、e2，求作向量2.5e13e2.,例2 如圖，寫出向量a，b，c，d的坐標.,a=(2,3),b=(-2,3),c=(-2,-3),d=(2,-3),例3 如圖，在平行四邊形ABCD中， =a， =b，E、M分別是AD、DC的中點，點F在BC上，且BC=3BF，以a，b為基底分別表示向量 和 .,小結(jié)作業(yè),1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運算基礎(chǔ)上的向量分解原理，同時又是向量坐標表示的理論依據(jù)，是一個承前起后的重要知識點.,2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關(guān)系的一個幾何量，平行向量的夾角是0或180，垂直向量的夾角是90.,3.向量的坐標表示是一種向量與坐標的對應(yīng)關(guān)系，它使得向量具有代數(shù)