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文檔簡介

1、2.3.1 平面向量基本定理 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標表示,問題提出,1.怎樣理解向量的數(shù)乘運算a?,(1)|a|=|a|;,(2)0時,a與a方向相同;,0時,a與a方向相反;,=0時,a=0.,2.平面向量共線定理是什么?,4.在物理中,力是一個向量,力的合成就是向量的加法運算.力也可以分解,任何一個大小不為零的力,都可以分解成兩個不同方向的分力之和.將這種力的分解拓展到向量中來,就會形成一個新的數(shù)學(xué)理論.,探究(一):平面向量基本定理,思考1:給定平面內(nèi)任意兩個向量e1,e2,如何求作向量3e12e2和e12e2?,思考2:如圖,設(shè)OA,OB,OC為三條共點射線,P為OC上一

2、點,能否在OA、OB上分別找一點M、N,使四邊形OMPN為平行四邊形?,思考3:在下列兩圖中,向量 不共線,能否在直線OA、OB上分別找一點M、N,使 ?,思考5:若上述向量e1,e2,a都為定向量,且e1,e2不共線,則實數(shù)1,2是否存在?是否唯一?,思考6:若向量a與e1或e2共線,a還能用1e12e2表示嗎?,a=1e1+0e2,a=0e1+2e2,思考7:根據(jù)上述分析,平面內(nèi)任一向量a都可以由這個平面內(nèi)兩個不共線的向量e1,e2表示出來,從而可形成一個定理.你能完整地描述這個定理的內(nèi)容嗎?,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,則對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,

3、使a1e12e2.,思考8:上述定理稱為平面向量基本定理,不共線向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底. 那么同一平面內(nèi)可以作基底的向量有多少組?不同基底對應(yīng)向量a的表示式是否相同?,若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,則對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1,2,使a1e12e2.,探究(二):平面向量的正交分解及坐標表示,0,180,思考2:如果向量a與b的夾角是90,則稱向量a與b垂直,記作ab. 互相垂直的兩個向量能否作為平面內(nèi)所有向量的一組基底?,思考3:把一個向量分解為兩個互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如圖,向量i、j是兩個互相垂直的單位向量,向量a

4、與i的夾角是30,且|a|=4,以向量i、j為基底,向量a如何表示?,思考4:在平面直角坐標系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,對于平面內(nèi)的一個向量a,由平面向量基本定理知,有且只有一對實數(shù)x、y,使得 axiyj.我們把有序數(shù)對(x,y)叫做向量a的坐標,記作a(x,y).其中x叫做a在x軸上的坐標,y叫做a在y軸 上的坐標,上式叫做向量 的坐標表示.那么x、y的 幾何意義如何?,思考5:相等向量的坐標必然相等,作向量 a,則 (x,y),此時點A的坐標是什么?,A(x,y),理論遷移,例1 如圖,已知向量e1、e2,求作向量2.5e13e2.,例2 如圖,寫出向量a,b,c,d的坐標.,a=(2,3),b=(-2,3),c=(-2,-3),d=(2,-3),例3 如圖,在平行四邊形ABCD中, =a, =b,E、M分別是AD、DC的中點,點F在BC上,且BC=3BF,以a,b為基底分別表示向量 和 .,小結(jié)作業(yè),1.平面向量基本定理是建立在向量加法和數(shù)乘運算基礎(chǔ)上的向量分解原理,同時又是向量坐標表示的理論依據(jù),是一個承前起后的重要知識點.,2.向量的夾角是反映兩個向量相對位置關(guān)系的一個幾何量,平行向量的夾角是0或180,垂直向量的夾角是90.,3.向量的坐標表示是一種向量與坐標的對應(yīng)關(guān)系,它使得向量具有代數(shù)

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