高中數(shù)學必修5 用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式

1、用構(gòu)造法求數(shù)列的通項公式 在高中數(shù)學教材中，有很多已知等差數(shù)列的首項、公比或公差(或者通過計算可以求出數(shù)列的首項,公比),來求數(shù)列的通項公式。但實際上有些數(shù)列并不是等差、等比數(shù)列,給出數(shù)列的首項和遞推公式,要求出數(shù)列的通項公式。而這些題目往往可以用構(gòu)造法，根據(jù)遞推公式構(gòu)造出一個新數(shù)列，從而間接地求出原數(shù)列的通項公式。對于不同的遞推公式，我們當然可以采用不同的方法構(gòu)造不同的類型的新數(shù)列。下面給出幾種我們常見的構(gòu)造新數(shù)列的方法：一 利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造數(shù)列。例如：中，若求an+4,即，是等差數(shù)列。可以通過等差數(shù)列的通項公式求出,然再求后數(shù)列 an 的通項。練習：1)數(shù)列 an 中，an0，且滿足求an

2、2)數(shù)列 an 中，求an通項公式。3)數(shù)列 an 中,求an.二 構(gòu)造形如的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列 an 中，若 解：設(shè) 練習：已知正數(shù)數(shù)列 an 中，,求數(shù)列 an 的通項公式。三 構(gòu)造形如的數(shù)列。例：正數(shù)數(shù)列 an 中，若a1=10,且求an.解：由題意得：，即 .即練習：（選自2002年高考上海卷）數(shù)列 an 中，若a1=3,n是正整數(shù)，求數(shù)列 an 的通項公式。四 構(gòu)造形如的數(shù)列。例：數(shù)列 an 中，若a1=6,an+1=2an+1, 求數(shù)列 an 的通項公式。解：an+1+1=2a n+2, 即an+1+1=2（an+1）設(shè) bn= an+1, 則bn = 2 bn-1則數(shù)列 bn 是

3、等比數(shù)列，公比是2,首項b= a+17,，構(gòu)造此種數(shù)列，往往它的遞推公式形如：。如：an+1c an+d,設(shè)可化成an+1+x=c(an+x),an+1=c an+(c-1)x用待定系數(shù)法得：(c-1)xdx=.又如：n+an=n+2, 則n-1+an-1=n+1,二式相減得：nn-1 +a na n-1 =，即a n +a na n-1 =， 2 anan-1=，an =an-1+.如上提到bn = an d = an 1練習：1.數(shù)列 an 滿足an+1=3an+2, 求an2.數(shù)列 an 滿足n+an=2n+1,求an五 構(gòu)造形如的數(shù)列。例：數(shù)列 an 中，若a1=，a=3,an+2 +

4、 4 an+1 - 5an=0 (nN),求an。解： an+2 + 4 an+1 - 5an=0得： an+2 an+1 = - 5（an an ） 設(shè)bn = an an，則數(shù)列 bn 是等比數(shù)列，公比是-5,首項b= a2- a12,an an=2(-5)n-1即a a=2(-5)a a=2(-5)a a=2(-5)an an=2(-5)n-2以上各式相加得：an a=2（-5）(-5)(-5)（-5）n-1即：an a=2，即，（n當遞推公式中，an與an的系數(shù)相同時，我們可構(gòu)造bn = an an，然后用疊加法得：b1+b2+b3+b4+bn = an-a1通過求出數(shù)列bn前n-1項

5、和的方法，求出數(shù)列 an 的通項公式。1) 當遞推公式中形如:an+1=a n+an+b ; an+1=a n+qn(q1) ; an+1=a n+qn +an+b 等情形時，可以構(gòu)造bn = anan ,得: bn = an+b； bn = qn; bn =qn +an+b。求出數(shù)列前n-1項的和Tn-1, Tn-1=; Tn-1=；Tn-1=+即： an a=; an a=; an a=+從而求出 an =a+; an= a+;an =a+。2）當遞推公式中形如: an+1=a n+；an+1=a n+；an+1=a n+等情形可以構(gòu)造bn = anan ,得:：bn =；bn =；bn

6、=即bn =；bn =；bn =從而求出求出數(shù)列前n-1項的和Tn-1,Tn-1=；Tn-1=；Tn-1=即： an a=; an a=; an a=從而求出 an =a+; an= a+;an =a+ 練習：1）數(shù)列 an 中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通項an.2）數(shù)列 an 中，若a1=1，an+1-a n=2n, 求通項an.3) 數(shù)列 an 中，若a1=2，求通項an.六 構(gòu)造形如的形式。例：數(shù)列 an 中，若a1=1，求an.解：由得： ， ， ，用累乘法把以上各式相乘得： 。當遞推公式形如：；等形式，我們可以構(gòu)造?？傻? ;.然后用疊乘法得：。令數(shù)列bn的前n-1項的積為An-1,則 ；;從而得到：； ；。練習：1）數(shù)列 an 中，若a1=2，求an.七 構(gòu)造形如的形式。例：數(shù)列 an 中，a1=2，Sn=4an-1+1，求an.解：Sn=4an-1+1，Sn-1=4an-2+1二式相減：Sn-Sn-1=4an-1-4an-2 an =4an-1-4an-2an -2an-1=2（an-1-an-2）設(shè)bn=an+1-2an，當遞推公式形如 Sn+1=4an+2;an+2=pan+1+qan(p+q=1) 等形式時，因an-2an+1=2(an+1-2an);an+2-an+1=(p-1)(an+1-an),我們構(gòu)造bn=an+1-2an;