中國石油大學計算方法模擬考試題

1、1.計算方法實際計算時.由于受計算機字長限制而導致的誤差稱為 舍入誤差 。2.x*=1.1021是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù).有 5 位有效數(shù)字.相對誤差限為 0.5*10-4 。3.利用二分法求方程1-x-sinx=0在0,1內的根要二分 15 次。（e0.5*10-4）4.寫出用Newton法建立求的迭代公式 xk+1=(xk2+b)/2xk 。5.使用矩陣分解法求解線性方程組時.平方根法適用于 系數(shù)矩陣為對稱正定矩陣的方程組 .追趕法適用于 系數(shù)矩陣為三對角陣的方程組 。6.設線性方程組Ax=b.為.則|A|2= 14.933 ,Cond(A)為 289 .若右端向量有擾動db=(0.01

2、,-0.01)T.則解的相對誤差限為 2.89 。7.求解數(shù)值積分的Simpson公式的代數(shù)精度為： 3 .若將積分區(qū)間n等分.步長為h, 則復化Simpson公式的截斷誤差為h的幾階無窮小,即 O(h ？ 4 )8.應用龍貝格求積公式求積分.其整個計算過程的特點是：將積分區(qū)間逐次分半.并將每一公式先后兩次的計算結果按一定線性組合構成新的精度較高近似值。9.常微分方程初值問題的數(shù)值解法分為單步和多步.顯式和隱式.下列方法屬于哪一類？龍格-庫塔法： 單步、顯式 .阿當姆斯內插公式： 多步、隱式 。10.若s(x)=.是以0,1,2為節(jié)點的三次樣條函數(shù).則b= -2 .c= 3 。得分二、解答題（

3、24分.每題6分）1.看書上或課件定義2.-1 4 22 -3 105 2 1x1x2x3598對于方程組試構造一收斂的高斯-賽德爾迭代格式.并說明收斂理由。5 2 1-1 4 22 -3 10x1x2x3859解：將方程組變換為：系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)陣.則方程組存在收斂的高斯-賽德爾迭代格式。把方程組等價變形為：收斂的高斯-賽德爾迭代格式為：3.以線性擬合為例簡述最小二乘原理。答：設近似函數(shù)為y=a+bx.R=。根據(jù)極值理論.要使R達到最小.必有：.由方程組可以解出a.b的值.從而得到擬和曲線的表達式。4.確定下列求積公式的常數(shù)a.使其代數(shù)精度盡量高.并判定其具有的代數(shù)精度。 解：當f(x

4、)=1時：當f(x)=x時：當f(x)=x2時：.解得：a=1/12當f(x)=x3時：當f(x)=x4時：說明所求求積公式具有三次代數(shù)精度。得分三、證明題（16分.每題8分）1.若f(x)=(x-x0)(x-x1).(x-xn).xi互異.證明當k=n+1時fx0,x1,.,xk=1。證明：由差商性質：當k=n時=當k=n+1時= 0 + 2.證明對于牛頓-科特斯求積公式的科特斯系數(shù)有。證明：由牛頓-科特斯求積公式： 設f(x)=1則=0。 所以：.即： 得分四、計算題（26分）1.（10分）給出sinx在0.4,0.7的數(shù)值表x0.40.50.60.7sinx0.389 420.479 4

5、30.564 640.644 22如果使用二次插值求sin0.63891的近似值.問如何選取結點.才使其近似值的誤差較??？并求該近似值.小數(shù)點后保留5位數(shù)字。（注意：拉格朗日插值與牛頓插值兩種方法任選.若采用牛頓插值.構造出差商表）解：應選三個節(jié)點.使截斷誤差|R2(x)|=|f(3)(x)|(x-x0)(x-x1)(x-x2)|盡量小。故最靠近0.63891的三個節(jié)點一定滿足要求。顯然.取0.5,0.6,0.7。（1）采用拉格朗日插值：L2(x) = = 所以：sin0.63891 L2(0.63891)=0.59627（2）采用牛頓差值：xiyi一階差商二階差商0.50.479 430.6

6、0.564 640.85210.70.644 220.7958-0.2815N2(x) = 0.479 43 + 0.8521(x-0.5) - 0.2815(x-0.5)(x-0.6)所以sin0.63891 N2(0.63891) = 0.479 43 + 0.8521*(0.63891-0.5) - 0.2815*(0.63891-0.5)*( 0.63891-0.6)=0.479 43 + 0.8521*0.13891 - 0.2815*0.13891*0.03891=0.479 43 + 0.11837 - 0.00152=0.596282.（8分）設max|f(x)|=,x2,8.

7、用復化梯形公式計算的近似值時.為使截斷誤差的絕對值不超過.至少應將2,8分為多少等份？解：用復化梯形公式.截斷誤差：Rn(f) = 因為max|f(x)|=所以| Rn(f) |=671所以至少分為671等份。3.（8分）用歐拉預報-校正法求初值問題在x=0.3.0.6處的數(shù)值解.步長h=0.3.小數(shù)點后保留5位數(shù)字。解：由預報-校正公式有： h=0.3,n=0,1,2,.利用上述公式.及y(0)=0得：y(0.3)y1=0.3138y(0.6) y2=0.69026一.填空k1已知=3.1415926若其近似值的絕對誤差限為0.510-5, 則該近似值是什么？ 2、對于充分接近90度的x,

8、為不損失有效數(shù)字.應對公式1- sin(x) 做何變化？ 3、對于不動點迭代Xk+1=(X k) , 若在不動點x*滿足(x*)0.則該迭代格式是幾階收斂的 4、牛頓迭代法的特點是什么 ？ 對于單根.它是幾階收斂的？ 5、關于線形方程組系數(shù)矩陣的條件數(shù) a、 反映絕對誤差放大倍數(shù)b、 反映相對誤差放大倍數(shù)c、 條件數(shù)越大.方程組越呈“良”態(tài)6、寫出兩種非線形方程的解法 7、追趕法適合解系數(shù)矩陣為 的方程組8、設xi (i=0.1,2,3.4)為互異結點 .li(x)為對應的插值基函數(shù)則：= = 9、什么是三次樣條插值函數(shù)？.寫出三個要點10、A= 1 a ,當a=.A可做T分解. 1 2其中的

9、元素滿足11、向量X=（x1,x2,x3）T , 則 | x1+2x2|+| x1+x3| 是不是一種向量范數(shù)？ 二解答：1、 當A有擾動A和b有擾動b時.如何用矩陣A的條件數(shù)去估計方程組的相對誤差|x| / |x|?2寫出gauss列主元的算法描述三、解方程組已知方程組 Ax=b , 其中A= 1 2 b= 1 0.3 1 2(1) 寫出解此方程組的Jacobi迭代公式.討論用Jacobi迭代解此方程組的收斂性(2) 寫出解此方程組的Gauss-Seidel迭代公式.討論用Gauss-Seidel迭代解此方程組的收斂性四求形如 y=ae bx ( a, b 為常數(shù).且a0 ) 的經(jīng)驗公式.使

10、它能和下表數(shù)據(jù)相擬合：xi1.001.251.501.752.00yi5.105.796.537.458.46已知對數(shù)表x5.105.796.537.458.46lnx1.631.761.882.012.12五、已知函數(shù)表：x1246y0311231、 構造差商表.寫出Newton插值多項式2、 寫出Laglanre插值多項式3、 寫出該插值多項式的余項六、 設 f (x) =g(x)h(x) 證明 ： f x0 , x1 = g(x0) hx0 , x1 + g x0 ,x1 h(x1)七、用最小二乘法解矛盾方程組 2x + 3y = 6x + y = 22x + y = 42補充Newton迭代的大范圍收斂性定理.并完成所給問題（8分）（1）Newton迭代收斂性定理如下：設f(x)在區(qū)間a,b上二階導數(shù)存在.且對于xa,b滿足：則Newton迭代法收斂于f(x)=0在a,b上的唯一根。（2）說明該定理每個條件的作用（3）圖示Newton迭代法的幾何意義（4）推導用Newton迭代法求正數(shù)a的平方根的迭代格式2補充Newton迭代的大范圍收斂性定理.并完成所給問題（8分）（1）Newton迭代收斂性定理如下：設f(x)在區(qū)間a,b上二階導數(shù)存在.且對于xa,b滿足：f(a)f(b)0（2分）則Newto