基變換與坐標變換

1、第六章 線性空間,2 線性空間的定義 與簡單性質(zhì),3 維數(shù)基與坐標,4 基變換與坐標變換,1 集合映射,5 線性子空間,7 子空間的直和,8 線性空間的同構,6 子空間的交與和,主要內(nèi)容,基變換,第四節(jié) 基變換與坐標變換,坐標變換公式,舉例,向量的形式意義及運算,我們知道，在n維線性空間V中，任意n個線性無關的向量都可取作線性空間V的一組基V中任一向量在某一組基下的坐標是唯一確定的，但是在不同基下的坐標一般是不同的因此在處理一些問題是時，如何選擇適當?shù)幕刮覀兯懻摰南蛄康淖鴺吮容^簡單是一個實際的問題為此我們首先要知道同一向量在不同基下的坐標之間有什么關系，即隨著基的改變，向量的坐標是如何變化

2、的.,2）,一、向量的形式意義及運算,3）,1）若有兩組向量,為V 中的一組向量，記作 ， 稱之為向量矩陣,給出定義：,定義1 V為數(shù)域 P上的 n 維線性空間，,1.定義,4）V為數(shù)域 P上的 n 維線性空間， 為,V 中的一組向量， ，若,則記作,則記作,5）V為數(shù)域 P 上 n 維線性空間， ；,為V中的兩組向量，若,1),2.運算規(guī)律,2) ； 為V中的兩組向量，,矩陣 ，則,；,；,；,二、基變換,為V 中的一組線性無關向量，而,引理 V為數(shù)域 P上的 n 維線性空間，,則 線性無關,1. 定義,定義2 設 1 , 2 , , n 與1 , 2 , , n 是,n維線性空間 V 中兩

3、組基，它們的關系是,稱 (1) 為基變換公式.,2. 基變換公式的矩陣形式,為了寫起來方便，我們引入一種形式的寫法.,把基寫成一個 1 n 矩陣，于是 (1) 可寫成如下矩,陣形式：,矩陣,稱為由基 1 , 2 , , n 到1 , 2 , , n 的過渡矩,陣.,由于1 , 2 , , n 是線性無關的，所以過渡,矩陣 A 的列向量組線性無關，因此，過渡矩陣 A,是可逆的.,注意 :,1) 基變換公式的矩陣形式是“形式的”.,因為,在這里把向量作為矩陣的元素，一般來說沒有意義.,不過在這個特殊的情況下，這種約定的用法是不會,出毛病的.,2) 過渡矩陣 A 的第 j 列 (a1j , a2j

4、, , anj ),就是第二組基向量 j 在第一組 1 , 2 , , n下的,坐標.,3）過渡矩陣都是可逆矩陣；反過來，任一可逆,矩陣都可看成是兩組基之間的過渡矩陣,4）若由基 過渡矩陣為A,則由基 過渡矩陣為A-1.,5）若由基 過渡矩陣為A,由基 過渡矩陣為B，則,由基 過渡矩陣為AB.,3. 運算規(guī)律,設 1 , 2 , , n 和 1 , 2 , , n 是 V 中兩個,向量組， A = ( aij ) , B= ( bij ) 是兩個 n n 矩陣，則,1) (1 , 2 , , n )A)B=(1 , 2 , , n )(AB),2) (1 , 2 , , n )A + (1 ,

5、 2 , , n )B = (1 , 2 , , n ) (A+B) ；,3) (1 , 2 , , n )A + (1 , 2 , , n )A = (1 + 1 , 2 + 2 , , n + n ) A .,定理2 設 Vn 中的元素 , 在基 1 , 2 , , n,系式 (1) , 則有坐標變換公式,下的坐標為 (x1 , x2 , , xn )T.,下的坐標為 (x1 , x2 , , xn)T , 在基 1, 2 , , n,若兩個基滿足關,三、坐標變換公式,證明： 因,由于 線性無關, 故即有關系式 (2). 證畢,換公式 (1).,兩種坐標滿足坐標變換公式 (2), 則兩個基

6、滿足變,這個定理的逆命題也成立.,即若任一元素的,過渡矩陣的求法,下坐標，得到A 的第 j 列 (a1j , a2j , , anj ),可得到過渡矩陣A.,方法1：求出j （j=1,2,n）在舊基 1 , 2 , , n,方法2：直接利用矩陣來計算.,方法3：利用矩陣的初等變換計算.,方法4：利用單位基計算.,例 1 在 R 2 中旋轉(zhuǎn)變換,四、舉例,過渡矩陣其中,解：,并求向量 在基 下的坐標.,而，,在基 下的坐標就是,設 在基 下的坐標為 ，則,所以 在基 下的坐標為,例 3 在 P x 4 中取兩個基,及,求由基1 , 2 , , n 到 1 , 2 , , n的過渡矩陣 和坐標變換

7、公式.,解 將 1 , 2 , 3 , 4 用 1 , 2 , 3 , 4 表示.,其中,由,得,故過渡矩陣為 A-1B ，坐標變換公式為,用矩陣的初等變換求 B-1A :,行變換,中的 B 變成 E , 則 A 即變成 B-1A .,計算如下:,把矩陣 ( B | A ),即得,例 4 在 P 3 中求向量,在基,下的坐標.,解 求向量 在基 1 , 2 , 3 下的坐標,即,陣即得.,矩陣 A 實施初等行變換 , 使之成為行最簡形矩,換來求解:,先構造矩陣 A = (1 , 2 , 3 , ),再對,用基 1 , 2 , 3 表示向量 .,用矩陣的初等行變,行變換,所以,則所求坐標為,小 結,1.向量形式定義,2.基變換,3.坐標變換,的