初中數(shù)學(xué)十大解題方法 (1)

1、下面介紹的解題方法，都是初中數(shù)學(xué)中最常用的，有些方法也是中學(xué)教學(xué)大綱要求掌握的。 1、配方法 所謂配方，就是把一個(gè)解析式利用恒等變形的方法，把其中的某些項(xiàng)配成一個(gè)或幾個(gè)多項(xiàng)式正整數(shù)次冪的和形式。通過(guò)配方解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是數(shù)學(xué)中一種重要的恒等變形的方法，它的應(yīng)用十分非常廣泛，在因式分解、化簡(jiǎn)根式、解方程、證明等式和不等式、求函數(shù)的極值和解析式等方面都經(jīng)常用到它。 例題：用配方法解方程x2+4x+1=0，經(jīng)過(guò)配方，得到()A(x+2) 2=5 B(x2) 2=5 C(x2) 2=3 D(x+2) 2=3【分析】配方法：若二次項(xiàng)系數(shù)為1，則常數(shù)項(xiàng)是

2、一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則可先提取二次項(xiàng)系數(shù)，將其化為1后再計(jì)算。【解】將方程x2+4x+1=0，移向得：x2+4x=1，配方得：x2+4x+4=1+4，即(x+2) 2=3；因此選D。2、因式分解法 因式分解，就是把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式乘積的形式。因式分解是恒等變形的基礎(chǔ)，它作為數(shù)學(xué)的一個(gè)有力工具、一種數(shù)學(xué)方法在代數(shù)、幾何、三角等的解題中起著重要的作用。因式分解的方法有許多，除中學(xué)課本上介紹的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，還有如利用拆項(xiàng)添項(xiàng)、求根分解、換元、待定系數(shù)等等。 例題：若多項(xiàng)式x2+mx-3因式分解的結(jié)果為（x-1）（x+3），則m的值為（

3、）A-2 B2 C0 D1【分析】根據(jù)因式分解與整式乘法是相反方向的變形，先將（x-1）（x+3）乘法公式展開(kāi)，再根據(jù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等求出m的值?！窘狻縳2+mx-3因式分解的結(jié)果為（x-1）（x+3），即x2+mx-3=（x-1）（x+3），x2+mx-3=（x-1）（x+3）=x2+2x-3，m=2；因此選B。3、換元法 換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法。我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱(chēng)為元，所謂換元法，就是在一個(gè)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)式子中，用新的變?cè)ゴ嬖降囊粋€(gè)部分或改造原來(lái)的式子，使它簡(jiǎn)化，使問(wèn)題易于解決。 例題：已知(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8，則x2+y2的值為

4、（）A-5或1 B1 C5 D5或-1【分析】解題時(shí)把x2+y2當(dāng)成一個(gè)整體來(lái)考慮，再運(yùn)用因式分解法就比較簡(jiǎn)單【解】設(shè)x2+y2=t，t0，則原方程變形得 (t+1)(t+3)=8，化簡(jiǎn)得： (t+5)(t-1)=0， 解得：t1=-5，t2=1 又t0 t=1 x2+y2的值為只能是1 因此選B4、判別式法與韋達(dá)定理 一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a0）根的判別，=b2-4ac，不僅用來(lái)判定根的性質(zhì)，而且作為一種解題方法，在代數(shù)式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數(shù)乃至幾何、三角運(yùn)算中都有非常廣泛的應(yīng)用。 韋達(dá)定理除了已知一元二次方程的一個(gè)根，求另一根；已知兩個(gè)數(shù)的和

5、與積，求這兩個(gè)數(shù)等簡(jiǎn)單應(yīng)用外，還可以求根的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，計(jì)論二次方程根的符號(hào)，解對(duì)稱(chēng)方程組，以及解一些有關(guān)二次曲線的問(wèn)題等，都有非常廣泛的應(yīng)用。 注意：=b2-4ac0，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，即無(wú)解；=b2-4ac =0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；=b2-4ac0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。例題：當(dāng)為什么值時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)根。【分析】題設(shè)中的方程未指明是一元二次方程，還是一元一次方程，所以應(yīng)分0和0兩種情形討論?！窘狻慨?dāng)0即時(shí)，0，方程為一元一次方程，總有實(shí)根；當(dāng)0即時(shí)，方程有根的條件是：0，解得當(dāng)且時(shí)，方程有實(shí)根。綜上所述：當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根。5、待定系數(shù)法 在解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若先判斷所求的結(jié)果具有某種確定

6、的形式，其中含有某些待定的系數(shù)，而后根據(jù)題設(shè)條件列出關(guān)于待定系數(shù)的等式，最后解出這些待定系數(shù)的值或找到這些待定系數(shù)間的某種關(guān)系，從而解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種解題方法稱(chēng)為待定系數(shù)法。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的方法之一。 例題：例1. 已知函數(shù)y的最大值為7，最小值為1，求此函數(shù)式?！痉治觥壳蠛瘮?shù)的表達(dá)式，實(shí)際上就是確定系數(shù)m、n的值；已知最大值、最小值實(shí)際是就是已知函數(shù)的值域，對(duì)分子或分母為二次函數(shù)的分式函數(shù)的值域易聯(lián)想到“判別式法”?！窘狻?函數(shù)式變形為： (ym)x4x(yn)0， xR, 由已知得ym0 (4)4(ym)(yn)0 即： y(mn)y(mn12)0 不等式的解集為(-1,7)，則1、7

7、是方程y(mn)y(mn12)0的兩根，代入兩根得： 解得：或 y或者y此題也可由解集(-1,7)而設(shè)(y1)(y7)0,即y6y70，然后與不等式比較系數(shù)而得：，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng)。6、構(gòu)造法 在解題時(shí)，我們常常會(huì)采用這樣的方法，通過(guò)對(duì)條件和結(jié)論的分析，構(gòu)造輔助元素，它可以是一個(gè)圖形、一個(gè)方程(組)、一個(gè)等式、一個(gè)函數(shù)、一個(gè)等價(jià)命題等，架起一座連接條件和結(jié)論的橋梁，從而使問(wèn)題得以解決，這種解題的數(shù)學(xué)方法，我們稱(chēng)為構(gòu)造法。運(yùn)用構(gòu)造法解題，可以使代數(shù)、三角、幾何等各種數(shù)學(xué)知識(shí)互相滲透，有利于問(wèn)題的解決。 例題：如圖，在ABC中，B=2C，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D。求證：ABBDAC【分析

8、】若遇到三角形的角平分線時(shí)，常構(gòu)造等腰三角形，借助等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，往往能夠找到解題途徑?！窘狻垦娱L(zhǎng)CB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接AF，則BAF為等腰三角形，且F=1.再根據(jù)三角形外角的有關(guān)性質(zhì)，得出ABD=1+F , 即ABD=21=2F，而ABD=2C，所以C=1=F ， AFC為等腰三角形，即AF=AC，又可得FAD為等腰三角形,因此 ，AF=DF=DB+BF=DB+AB,即ABBDAC。7、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)

9、論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類(lèi)型：與已知條件矛盾；與已知

10、的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。 例題：若P是兩條異面直線l、m外的任意一點(diǎn)，則()A過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都平行B過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都垂直C過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都相交D過(guò)點(diǎn)P有且僅有一條直線與l、m都異面【分析】對(duì)于A，若存在直線n，使nl且nm則有l(wèi)m，與l、m異面矛盾；對(duì)于C，過(guò)點(diǎn)P與l、m都相交的直線不一定存在，反例如圖(l)；對(duì)于D，過(guò)點(diǎn)P與l、m都異面的直線不唯一【答案】B8、面積法 平面幾何中講的面積公式以及由面積公式推出的與面積計(jì)算有關(guān)的性質(zhì)定理，不僅可用于計(jì)算面積，而且用它來(lái)證明平面幾何題有時(shí)會(huì)收到事半功倍的效果。運(yùn)用面積關(guān)系

11、來(lái)證明或計(jì)算平面幾何題的方法，稱(chēng)為面積方法，它是幾何中的一種常用方法。 用歸納法或分析法證明平面幾何題，其困難在添置輔助線。面積法的特點(diǎn)是把已知和未知各量用面積公式聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)運(yùn)算達(dá)到求證的結(jié)果。所以用面積法來(lái)解幾何題，幾何元素之間關(guān)系變成數(shù)量之間的關(guān)系，只需要計(jì)算，有時(shí)可以不添置補(bǔ)助線，即使需要添置輔助線，也很容易考慮到。 例題：如圖2，C是線段AB上的一點(diǎn)，ACD、BCE都是等邊三角形，AE、BD相交于O。求證：AOC=BOC。圖2證明：過(guò)點(diǎn)C作CPAE，CQBD，垂足分別為P、Q。因?yàn)锳CD、BCE都是等邊三角形，所以AC=CD，CE=CB，ACD=BCE，所以ACE=DCB所以ACE

12、DCB所以AE=BD，可得CP=CQ所以O(shè)C平分AOB即AOC=BOC9、幾何變換法 在數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究中，常常運(yùn)用變換法，把復(fù)雜性問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單性的問(wèn)題而得到解決。所謂變換是一個(gè)集合的任一元素到同一集合的元素的一個(gè)一一映射。中學(xué)數(shù)學(xué)中所涉及的變換主要是初等變換。有一些看來(lái)很難甚至于無(wú)法下手的習(xí)題，可以借助幾何變換法，化繁為簡(jiǎn)，化難為易。另一方面，也可將變換的觀點(diǎn)滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中。將圖形從相等靜止條件下的研究和運(yùn)動(dòng)中的研究結(jié)合起來(lái)，有利于對(duì)圖形本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。 幾何變換包括：（1）平移；（2）旋轉(zhuǎn)；（3）對(duì)稱(chēng)。 例題：1.平移變換 把圖形中的某一個(gè)線段或者一個(gè)角移動(dòng)到一個(gè)新的位置，使圖形中分散的

13、條件緊密地結(jié)合到一起。一般有2種方法： 1.平移已知條件 2.平移所求問(wèn)題，把所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化，其實(shí)就是逆向證明。幾何題多數(shù)都是逆向思考的。例 ：在三角形ABC中，BD=CE,求證：AB+AC大于AD+AE。這是典型的平移條件問(wèn)題?！窘狻课覀儼讶切蜛EC平移到如圖所示的FBD位置。這里用了BD=EC的條件 。設(shè)AB與FD交于P 這樣，容易構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形AEC,FBD 由于 PA+PD大于AD PF+PB大于BF 兩式相加PA+PB+PD+PF大于AD+BF 又因?yàn)锽F=AE，AC= FD所以AB+AC大于AD+AE2.旋轉(zhuǎn)變換 把平面圖形繞旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)一個(gè)定角，使分散的條件集中在一起.

14、例：如圖,等腰直角三角形ABC中,AB=AC,A=90,M,N為斜邊BC上兩點(diǎn)且MAN=45,求證:BM2+CN2=MN2【解】要證BM2+CN2=MN2,容易想到勾股定理.但是BM,CN,MN都不在同一個(gè)三角形上,所以,我們就設(shè)法將BM,CN,MN移到同一三角形上?？紤]到ABC是等腰三角形，且是直角三角形，將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90.使AB與AC重合.得到ACD ，則NCD為直角三角形 只需證明MN=ND即可 因?yàn)镸AN=45,所以BAM+NAC=45 ，即NAD=45又因?yàn)锳M=AD所以ANDAMN 所以MN=ND，在直角NDC中，有ND2=NC2+DC2，所以BM2+CN2=MN23.

15、對(duì)稱(chēng)變換 通過(guò)作關(guān)于某一直線或一點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)圖，把圖形中的圖形對(duì)稱(chēng)到另一個(gè)位置上，使分散的條件集中在一起。 當(dāng)出現(xiàn)以下兩種情況時(shí)，經(jīng)常考慮用此變換：1.出現(xiàn)了明顯的軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)條件時(shí)。2.出現(xiàn)了明顯的垂線條件時(shí)。例ABC中,BAC=90, ACD為等邊三角形，已知DBC=2DBA，求DBA。【解】由對(duì)稱(chēng)可知，BAE全等于BAD ，DEAB, 所以BE=BD,AE=AD, ABE=ABD 因?yàn)镈BC=2DBA 所以DBC=DBE 在BC上取點(diǎn)F，使BF=BE 又因?yàn)锽AC=90，DEAB 所以DEBC ，ADE=DAC=60 所以ADE是等邊三角形 DE=AD=DC 因?yàn)镋F關(guān)于BD對(duì)稱(chēng) 所以D

16、F=DE=DC,BF=BE=BD, 設(shè)DBA=a則DBF=2a 因?yàn)锽F=BD，所以BFD=（180-2a）/2=90-a 由于DF=DC，所以DCF=90-a ACB=180-60-（90-a）=30+a 因?yàn)锳BC+ACB=90，即a+2a+30+a=90 ，a=15所以DBA=a=1510.客觀性題的解題方法 選擇題是給出條件和結(jié)論，要求根據(jù)一定的關(guān)系找出正確答案的一類(lèi)題型。選擇題的題型構(gòu)思精巧，形式靈活，可以比較全面地考察學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，從而增大了試卷的容量和知識(shí)覆蓋面。 填空題是標(biāo)準(zhǔn)化考試的重要題型之一，它同選擇題一樣具有考查目標(biāo)明確，知識(shí)復(fù)蓋面廣，評(píng)卷準(zhǔn)確迅速，有利于考查學(xué)生的分析判斷能力和計(jì)算能力等優(yōu)點(diǎn)，不同的是填空題未給出答案，可以防止學(xué)生猜估答案的情況。 要想迅速、正確地解選擇題、填空題，除了具有準(zhǔn)確的計(jì)算、嚴(yán)密的推理外，還要有解選擇題、填空題的方法與技巧。下面通過(guò)實(shí)例介紹常用方法。 （1）直接推演法：直接從命題給出的條件出發(fā)，運(yùn)用概念、公式、定理等進(jìn)行推理或運(yùn)算，得出結(jié)論，選擇正確答案，這就是傳統(tǒng)的解題方法，這種解法叫直接推演法。 （2）驗(yàn)證法：由題設(shè)找出合適的驗(yàn)證條件，再通過(guò)驗(yàn)證，找出正確答案，亦可將供選擇的答案代入條件中去驗(yàn)證，找出正確答案，此法稱(chēng)為驗(yàn)證法（也稱(chēng)代入