《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》教學(xué)課件

1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,數(shù)列an前n項(xiàng)和的定義:,叫做數(shù)列 的前n項(xiàng)和。,Sn= a1+ a2 + a3 + +an-2+an-1+an,等差數(shù)列： 公 差 ： 通項(xiàng)公式： 等差中項(xiàng)：,復(fù)習(xí),高斯，(17771855） 德國(guó)著名數(shù)學(xué)家。,引入,1+2+3+98+99+100=？ 高斯10歲時(shí)曾很快算出這一結(jié)果，如何算的呢？,我們先看下面的問題。,an+1-an=d（常數(shù)）,d,an=a1+(n-1)d,2A=a+b,怎樣才能快速計(jì)算出一堆鋼管有多少根呢？,一,二,4+10=14,三,5+9=14,6+8=14,四,7+7=14,五,8+6=14,六,9+5=14,七,10+4=14,(1)先算出各

2、層的根數(shù)，,每層都是14根；,(2)再算出鋼管的層數(shù)，共7層,所以鋼管總根數(shù)是：,問題？,下面再來看1+2+3+98+99+100的高斯算法。,設(shè)S100=1 + 2 + 3 +98+99+100,反序S100=100+99+98+ 3+ 2+ 1,多少個(gè)101 ?,100個(gè)101,所以S100=,(1+100)100,？,？,首項(xiàng),尾項(xiàng),？,總 和,？,項(xiàng)數(shù),這就是等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式！,=5050,2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ +(a1+an),多少個(gè)(a1+an) ?,共有 n 個(gè)(a1+an),把+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(a

3、n+a1) ,由等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)m+n=p+q時(shí)， am+an=ap+aq 知：,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1，所以式可化為：,= n(a1+an),這種求和的方法叫倒序相加法！,因此，,以下證明 an是等差數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，則,證：Sn= a1+ a2 + a3 + +an-2+an-1+an,即Sn=,a1,an,+ a2 +,+an-1+,a3,an-2,+,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的其它形式,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例題,想一想,在等差數(shù)列 an 中，如果已知五個(gè)元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三個(gè), 請(qǐng)問: 能否求出其余兩個(gè)量 ?,結(jié)論：知 三

4、 求 二,解題思路一般是:建立方程(組)求解,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和例題,1. 根據(jù)下列條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列 的,練習(xí)1 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列an的Sn：,(1)a1=5, an=95,n=20;,(2)a1=100, d=2,n=50;,S10=1000,S50=2550,(3)在等差數(shù)列中S10=120，求 a3+a8的值。,由已知得a1+a10=24,故a3+a8=24,練習(xí)2 等差數(shù)列10，6，2，2，前多少項(xiàng)的和是54？,解: 設(shè)題中的等差數(shù)列為an，前n項(xiàng)和是Sn，則a1-10，d-6（-10）4令Sn54，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，得：,=54,解得： n1=9,

5、n2=3,整理得：,答： 等差數(shù)列10，6，2，2，前9項(xiàng)的和是54。,（舍去）,例4 在等差數(shù)列an中，已知第1項(xiàng)到第10項(xiàng)的和為310，第11項(xiàng)到第20項(xiàng)的和為910，求第21項(xiàng)到第30項(xiàng)的和。,思考：在例4中，我們發(fā)現(xiàn)S10，S20 S10， S30 S20也成等差數(shù)列，你能得到更一般的結(jié)論嗎？,例5 某種卷筒衛(wèi)生紙繞在盤上，空盤時(shí)盤芯直徑40mm，滿盤時(shí)直徑120mm，已知衛(wèi)生紙的厚度無(wú)0.1mm，問：滿盤時(shí)衛(wèi)生紙的總長(zhǎng)度大約是多少米？（精確到1m）,例6 教育儲(chǔ)蓄是一種零存整取定期儲(chǔ)蓄存款，它享受整存整取利率，利息免稅.教育儲(chǔ)蓄的對(duì)象為在校小學(xué)四年級(jí)（含四年級(jí)）以上的學(xué)生。假設(shè)零存整取3年期儲(chǔ)蓄的月利率為2.1 （1）欲在3年后一次支取本息合計(jì)2萬(wàn)元，每月大約存入多少元? （2）零存整取3年期教育儲(chǔ)蓄每月至少存入多少元?此時(shí)3年后本息合計(jì)約為多少元?（精確到1元）,.,練習(xí)3 ： 一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放1支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放120支. 這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？,解：由題意可知，這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆，,且自下而上各層的鉛筆數(shù)組成等差數(shù)列，記為,答：V形架上共放著7260支鉛