幾種創(chuàng)新思維方法

1、幾種創(chuàng)新思維方法,重要的科學(xué)思維方式之一是創(chuàng)新思維，創(chuàng)新思維是創(chuàng)新能力的核心與靈魂。,現(xiàn) 實 世 界,數(shù) 學(xué) 世 界,建立數(shù)學(xué)模型,推理演繹求解,翻譯為實際解答,實際解答：如對現(xiàn)實對象的分析、預(yù)報、 決策、控制等結(jié)果。,始于現(xiàn)實世界并終于現(xiàn)實世界,數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界與數(shù)學(xué)世界的理想橋梁，,* 數(shù)學(xué)建模沒有普遍適用的方法與技巧.,* 有一些普遍適用的思想方法與思維方式.,整個數(shù)學(xué)建模過程由若干個有 明顯差別的階段性工作組成,怎樣構(gòu)架這座橋梁？,數(shù)學(xué)建模過程是一種創(chuàng)新過程，在思考方法和思維方式上與學(xué)習(xí)其他課程有很大差別。,數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維,.等等.,類比思維,歸納思維,逆向思維,發(fā)散思維,猜測思維,掌

2、握幾類方法：問題解決法、思想表達法、創(chuàng)造發(fā)明法.,方法的共同特點： 不輕易否定別人的意見， 懷疑一般常識， 努力發(fā)現(xiàn)別人尚未察覺的事物等,以下介紹幾種（個體和集體的）創(chuàng)造性思維方法,對于創(chuàng)造能力的培養(yǎng)不可或缺,一、打開思路的方法,面對新問題，應(yīng)盡量打開自己的思路：,發(fā)散性思維和猜測思維是創(chuàng)造性思維方式的重要組成部分,1. 不要輕易沿一條思路深入，不要輕易做出結(jié)論.,2. 盡量多一些想法，多一些猜測。,思考、思考、再思考.,幫助展開思路的方法：,關(guān)鍵詞聯(lián)想法,提問題法,1.提問題法,面臨難題, 束手無策時通過提出一系列問題來導(dǎo)出一些想法或一個好的方案.,如：,(l) 這個問題和什么問題相類似？,

3、(2) 假如變動問題的某些條件將會怎樣？,借助于一系列問題來展開思路.,(4) 重新組合又會怎樣？,(3) 將問題分解成若干部分再考慮會怎樣？,為進一步打開思路可提以下問題：,(5) 我們還可以做什么工作？,(6)有無需要進一步完善的內(nèi)容？,(7) 可否換一種數(shù)學(xué)工具來解決此問題？,針對問題和初始方案可以先設(shè)計出類似的 問題清單，然后反復(fù)展開。,例1 穿越公路問題,一條公路交通不太擁擠,以致人們養(yǎng)成“沖”過馬路的習(xí)慣,不愿行走到鄰近較遠處的“斑馬線”.當?shù)亟煌ü芾聿块T不允許任意橫穿公路,為方便行人，準備在一些特殊地點增設(shè)“斑馬線”,讓行人可穿越公路,并且還要保證行人的平均等待時間不超過15秒.

4、,增設(shè)“斑馬線”需考慮哪些方面的問題？,1. 考慮問題的立場, 司機或行人的哪方面的 利益更為重要？,公路情況: 是否有彎道？車道間是否設(shè) 有安全隔離帶？,3. 車流情況：車流的密度大??？,4. 行人情況: 穿越公路的速度大?。看┰焦?路的人群密度？穿越公路者的性質(zhì)？,問題分析 此問題的特點是機理復(fù)雜,受到較多隨機因素的影響, 類似于渡口模型,可采用統(tǒng)計模擬方法加以解決.,一種新產(chǎn)品剛面世，廠家和商家總是采取各種措施促進銷售，比如不惜血本大做廣告等等.他們都希望對這種新產(chǎn)品的推銷速度做到心中有數(shù),廠家用于組織生產(chǎn)，商家便于安排進貨.,例2 電飯煲銷售問題,怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型描述新產(chǎn)品(電飯煲

5、)推銷速度，并由此分析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn).,想一想 此問題與我們遇到的哪一個建模問題 相類似？,分析 Logistic人口模型，t 時刻的人口數(shù)為,t0,改寫為,數(shù)學(xué)分析,1. 若 r0，則S0，隨著 ,則,2. 若 r0，討論Logistic曲線特征,N(t) 是單調(diào)上升函數(shù).,K是使得人口凈增長率 r(K)=0 的人口數(shù)，可理解為該地區(qū)能容納的人口上限.,人口不會無限增長，存在一個轉(zhuǎn)折時間點t0 ，過此點以后增長速度會減緩。,(1) 一般每戶只需用12只電飯煲就足夠,一個地區(qū)的需求量是有限的；,電飯煲的銷售情況類似于人口增長情況,可 利用類比方法建立模型.,Logistic模型特點

6、：初期高速增長，過一個特 定時間點后增長速度減緩，且有上界控制.,對原問題的分析：,(2) 初期在廣告之類推銷作用下銷售速度較快,商品趨于飽和時銷售速度會減緩.,記x(t)為t 時刻已售出的電飯煲總數(shù),市場的飽和量(最大需求量)為M,利用Logistic模型,來描述電飯煲的銷售速度變化情況.,實際情況與Logistic銷售曲線十分吻合,思考 請考慮現(xiàn)實中哪些變量的變化可用 Logistic模型進行描述？,現(xiàn)代化都市里大樓林立,這些拔地而起的摩天大樓安全性不容忽視,我們經(jīng)常耳聞目睹大樓內(nèi)發(fā)生意外情況,造成令人震驚的人員傷亡和財產(chǎn)損失. 大樓內(nèi)居住人員的安全保障在于無論發(fā)生什么情況,都能使人員有組

7、織,有秩序地進行疏散撤離.,例3 “9.11”事件的反思,一座大樓的管委會想進行一次緊急疏散 人員的演習(xí).,問題分析 演習(xí)之前需要考慮許多方面,如大樓內(nèi)的設(shè)施、人員的分布情況、撤離路線的設(shè)計、撤離的步驟等等，這是一個較龐大的系統(tǒng)工程,應(yīng)考慮將此問題分解成為若干個子問題，如,* 一個房間內(nèi)人員的撤離；,* 一個通道的撤離；,* 一層樓人員的撤離；,最后，將各個子問題重新組合起來.,2.關(guān)鍵詞聯(lián)想法,主要步驟如下：,(1) 抓住問題或方案的關(guān)鍵詞,不受任何約束地進行聯(lián)想；,(2) 把聯(lián)想到的內(nèi)容用關(guān)鍵詞的方式登記在卡片上,進一步激發(fā)產(chǎn)生新的想法,進一步想出新的主意；,(3) 再把積攢的卡片相互搭配

8、,形成解決問題 的初步思路與步驟.,一種有效的發(fā)散思維方式.,例4一場筆墨官司（放射性廢物的處理問題）,美國原子能委員會（現(xiàn)為核管理委員會）處理濃縮放射性廢物，是將廢物放入密封性能很好的圓桶中，然后扔到水深300英尺的海里.他們這種做法安全嗎？,分析：可從各個角度去分析造成危險的因素，這里僅考慮圓桶泄露的可能.,聯(lián)想：安全 、危險,問題的關(guān)鍵,*圓桶至多能承受多大的沖撞速度？(40英尺/秒); *圓桶和海底碰撞時的速度有多大？,新問題：求這一種桶沉入300英尺的海底時的末速度.（原問題是什么?）,可利用的數(shù)據(jù)條件：,圓桶的總重量 W=527.327（磅）,圓桶受到的浮力 B =470.327（

9、磅）,圓桶下沉?xí)r受到的海水阻力 D=Cv，C=0.08,可利用牛頓第二定律，建立圓桶下沉位移滿足的微分方程：,方程的解為,計算碰撞速度，需確定圓桶和海底的碰撞時間t0 ?,分析：考慮圓桶的極限速度,713.86（英尺/秒）40（英尺/秒）,原問題得到解決了嗎?,極限速度與圓桶的承受速度相差巨大！,結(jié)論：解決問題的方向是正確的.,解決思路：避開求t0的難點,令 v(t)=v(y(t), 其中 y=y(t) 是圓桶下沉深度.,代入（1）得,兩邊積分得函數(shù)方程：,若能求出函數(shù)v=v(y),就可求出碰撞速度v(300).(試一試),* 用數(shù)值方法求出v(300)的近似值為,v(300)45.41(英尺

10、/秒)40(英尺/秒),* 分析 v=v(y) 是一個單調(diào)上升函數(shù)，而v 增大,y 也增大,可求出函數(shù) y = y(v),令 v=40(英尺/秒)，g=32.2(英尺/秒),算出,y= 238.4 (英尺)300(英尺),問題的實際解答：,美國原子能委員會處理放射性廢物的做法是極其危險的，必須改變.,在約10,000米高空的某邊長160公里的正方形區(qū)域內(nèi)，經(jīng)常有若干架飛機作水平飛行.區(qū)域內(nèi)每架飛機的位置和速度均由計算機記錄其數(shù)據(jù),以便進行飛行管理.當一架欲進入該區(qū)域的飛機到達區(qū)域邊緣,記錄其數(shù)據(jù)后，要立即計算并判斷是否會與區(qū)域內(nèi)的飛機發(fā)生碰撞.如果會碰撞,則應(yīng),例5 飛行管理問題, 請你對這個

11、避免碰撞的飛行管理問題建立數(shù) 學(xué)模型,列出計算步驟,對以下數(shù)據(jù)進行計算 (方向角誤差不超過0.01度).要求飛機飛行方 向角調(diào)整的幅度盡量小.記錄數(shù)據(jù)為： 試根據(jù)實際應(yīng)用背景對你的模型進行評價 與推廣.,計算如何調(diào)整各架（包括新進入的）飛機飛行方向角，以避免碰撞.現(xiàn)假定條件如下：,* 對問題仔細閱讀, 首先抓住題目中的關(guān)鍵詞“管理”進行聯(lián)想.,* 抓住諸如“碰撞”、“調(diào)整”、“避免碰撞”、 “立即”、“判斷”等等詞語.,* 聯(lián)系解決問題的方案,不加約束繼續(xù)聯(lián)想，再將關(guān)鍵詞搭配起來.,立即 判斷,碰撞,條件,實時,算法,避免 碰撞,調(diào)整 方向角,實時,幅度盡量小,相對,距離,優(yōu)化問題,優(yōu)化算法,

12、優(yōu)化調(diào)整方案,問題的初步理解和想法:,飛行管理問題是優(yōu)化問題,在調(diào)整方向角的幅度盡量小的同時，還必須注意調(diào)整方案及算法的實時性.,思考題：嘗試讀題與分析,強烈的碰撞,美國國家航空和航天局(NASA)從過去某個時間以來一直在考慮一顆大的小行星撞擊地球會產(chǎn)生的后果。 作為這種努力的組成部分，要求你們隊來考慮這種撞擊的后果，假如該小行星撞擊到了南極洲的話。人們關(guān)心的是撞到南極洲比撞到地球的其他地方可能會有很不同的后果。,假如小行星的直徑大約為1000米，還假設(shè)它正好在南極與南極洲大陸相撞。 要求你們隊對這樣一顆小行星的撞擊提供評估。特別是，NASA希望有一個關(guān)于這種撞擊下可能的人類人員傷亡的數(shù)量和所

13、在地區(qū)的估計，對南半球海洋的食物生產(chǎn)區(qū)域造成的破壞的估計，以及由于南極洲極地冰巖的大量融化造成的可能的沿海岸地區(qū)的洪水的估計。,強烈的碰撞讀題分析,撞擊,爆炸？,后果,沖擊波,地震、海嘯、颶風(fēng),熱能釋放,冰融,海岸線上升,洪水,放射物,粉塵放射,減少日照、大氣層變化,人員傷亡,所在地區(qū),沿海,海嘯、地震、洪水、放射物,食物生產(chǎn)區(qū)的破壞,冰融,對地球運行軌跡的影響,相關(guān)因素：,小行星形狀、成分與密度,撞擊角度、速度、位置（運行軌跡）,太陽、地球、月亮軌道,能量來源,引力、動能,南極冰蓋的成分（深度、密度、溫度）,冰融的估算,以及冰蓋下的成分,大氣環(huán)流,粉塵的傳送,溫室效應(yīng),相關(guān)理論：,Newto

14、n引力模型,軌跡,碰撞的動力學(xué),冰的熱力學(xué)（冰融、汽化）、熱傳導(dǎo),生態(tài)系統(tǒng)（磷蝦.krill）,水溫,后期工作：,預(yù)測與預(yù)警,二、整體把握問題的方法,有兩種把握住問題的全貌的有效方法：,(1) 層次結(jié)構(gòu)法,(2) 問題分解法,有專著介紹,問題分解法是一種簡單而有效的把握問題整體的方法.,將問題分解為“三要素”的三個部分.,問題分解三要素,初態(tài),目標態(tài),過程,覺察到的現(xiàn)在狀態(tài)(目前“有什么”，如條件、數(shù)據(jù)等).,覺察到的希望目標(想要什么、 希望達到什么等).,能在“初態(tài)”和“目標態(tài)”之間發(fā)生 作用的行動(能做什么).,常見數(shù)學(xué)題目模式,已知,求（證）,解題,初態(tài),目標態(tài),過程,主要目標,* 解

15、決實際問題時，分析出問題的初態(tài)和 目標態(tài)很困難.,* 未清晰地描述出問題的“初態(tài)”和“目標態(tài)”之前，過早地進入解決問題的階段，會條件不清、目標不明.,盡量拓展思路的基礎(chǔ)上, 再進行充分分析 得到的問題分解結(jié)果：,飛行管理問題,初態(tài)：現(xiàn)有飛機的飛行狀態(tài)（數(shù)據(jù)）與碰撞條件,過程：建立碰撞的判別準則，優(yōu)化管理方案及相應(yīng)算法.,目標態(tài)：實時調(diào)整，避免碰撞。,課后練習(xí)題目：“氣象觀察站調(diào)整問題”前期問題分析與問題分解。,氣象觀察站調(diào)整問題,某地區(qū)內(nèi)有12個氣象觀察站（位置如圖),有10年各觀察站的年降水量數(shù)據(jù).為了節(jié)省開支，想要適當減少氣象站.,問題：減少哪些觀察站可以使得到的降水量的信息量仍然足夠大？

16、,如何利用熵的概念解決此問題，給出解決問題的思路。,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,問題：怎樣比較信息的大??？ 信息的多少能不能度量？,降水量的信息量仍然足夠大？,學(xué)生作業(yè)總結(jié)評講,1. 問題分析,首先找出問題中的關(guān)鍵詞，進行聯(lián)想.,減少 站數(shù),刪除 原則,各站 關(guān)系,降水 數(shù)據(jù),保持 信息量,足夠大,衡量 指標,衡量 指標,熵,降水 數(shù)據(jù),2. 問題的分解,初態(tài)：12個氣象站的年降水數(shù)據(jù)。,（無日或月的降水數(shù)據(jù)，也無地理、氣候等其 它條件.）,目標態(tài)：減少氣象站數(shù)，并保持降水量足夠大的信息量.,過程：（將做的事情）,(1) 信息量的衡量（用熵）；,(2) 給出刪除氣象站的條件及原則；,(3) 建立保持足夠信息量的判別條件；,解決問題的 惟一出發(fā)點,(1) 確定各氣象站的年降水量：,的概率分布，并計算各個氣象站降水量的熵值.,(2) 分析判斷各站年降水量(兩兩之間