《理論力學(xué)》第十章 質(zhì)心運(yùn)動定理

1、質(zhì)心運(yùn)動定理 動量定理,第十章,質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動微分方程：,求解單個質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)問題、簡單質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題,動力學(xué)普遍定理：,動量定理、動量矩定理、動能定理等,在許多實際問題中，并不需要求出質(zhì)點(diǎn)系中每個質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動，而只有知道整個質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動的某些特征就夠了。因此，本章將建立描述描述整個質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動特征的一些物理量（如動量、動量矩、動能等），并建立作用在質(zhì)點(diǎn)系上的力與這些物理量的變化率之間的關(guān)系，這些關(guān)系統(tǒng)稱為動力學(xué)普遍定理,質(zhì)點(diǎn)系在力的作用下，其運(yùn)動狀態(tài)不但與各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量有關(guān)，而且與質(zhì)量的分布情況有關(guān)。,1 質(zhì)心運(yùn)動定理,質(zhì)量中心是反映質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布特征的物理量之一。,（一）質(zhì)量中心（質(zhì)心或慣性中心）,問題

2、：,系統(tǒng)由幾個剛體構(gòu)成，每個剛體質(zhì)心位置已知， 1. 系統(tǒng)質(zhì)心如何確定？,2. 質(zhì)心的速度如何確定？,3. 質(zhì)心的加速度如何確定？,在重力場內(nèi)，質(zhì)心與重心重合,質(zhì)心坐標(biāo),質(zhì)心是永遠(yuǎn)存在，而重心只有在重力場中才存在,（二）質(zhì)心運(yùn)動定理,對每個質(zhì)點(diǎn),求和,系統(tǒng)外部對i質(zhì)點(diǎn)的合力,系統(tǒng)內(nèi)部其它所有質(zhì)點(diǎn)對i質(zhì)點(diǎn)的合力,質(zhì)心運(yùn)動定理,質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心就像一個質(zhì)點(diǎn)那樣運(yùn)動，這個質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)量，而且在這個質(zhì)點(diǎn)上作用著質(zhì)點(diǎn)系的所有外力。,對于剛體系統(tǒng)：,結(jié)論：,2. 無論剛體（系）、質(zhì)點(diǎn)系做何形式的運(yùn)動，此定理成立。,1. 質(zhì)心“像一個質(zhì)點(diǎn)一樣遵循牛頓第二定理”。,質(zhì)心運(yùn)動定理,3. 質(zhì)心的運(yùn)動僅與質(zhì)

3、系的外力有關(guān)，與內(nèi)力無關(guān)。,根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動定理，某些質(zhì)點(diǎn)系動力學(xué)問題可以直接用質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)理論來解答。如剛體平移。剛體平移問題完全可以看作為質(zhì)點(diǎn)問題來求解。,質(zhì)點(diǎn)系的復(fù)雜運(yùn)動總可以看作隨同質(zhì)心的運(yùn)動與相對于質(zhì)心的運(yùn)動（相對于隨同質(zhì)心平移的坐標(biāo)系的運(yùn)動）兩部分合成的結(jié)果。應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理求出質(zhì)心的運(yùn)動，也就確定了質(zhì)點(diǎn)系隨同質(zhì)心的平移。,直角坐標(biāo)表示法：,自然表示法：,質(zhì)心運(yùn)動定理的表示方法,直角坐標(biāo)表示法：,自然表示法：,質(zhì)心運(yùn)動定理的表示方法(剛體),特殊情形：,1、若,則,這表明若作用于質(zhì)系的所有外力矢量和恒為零，則質(zhì)心作慣性運(yùn)動。,這表明若作用于質(zhì)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和恒為零，則

4、質(zhì)心速度在該軸上的投影保持不變。,這兩個結(jié)論稱為質(zhì)心運(yùn)動守恒定理。,2、若,則,外力為零速度為常數(shù),問題1：兩個相同均質(zhì)圓盤，初始時刻皆靜止于光滑的桌面上。受大小、方向相同的力作用，但作用位置不同（如圖示），哪個圓盤跑得更快？,問題2：AB、AC為兩相同的均質(zhì)桿，每根質(zhì)量為m。系統(tǒng)初始時刻靜止于光滑的水平桌面，受大小為F的力作用如圖示。問A點(diǎn)的加速度等于？,例1：圖示機(jī)構(gòu)，地面光滑，初始時刻系統(tǒng)靜止。問m1下降h時，m4水平移動多少？,解：,1.建立坐標(biāo)系,記四個物塊的質(zhì)心初始時刻坐標(biāo)分別為x1、 x2、 x3、 x4。,2.質(zhì)心運(yùn)動定理,而初始時刻系統(tǒng)靜止,所有的外力都豎直向下，所以,初始時

5、刻質(zhì)心坐標(biāo)：,m1下降h時，假設(shè)m4向左水平移動S:,解：,例1：圖示機(jī)構(gòu)，地面光滑，初始時刻系統(tǒng)靜止。問m1下降h時，m4水平移動多少？,記四個物塊的質(zhì)心初始時刻坐標(biāo)分別為x1、 x2、 x3、 x4。,Fy,例2:電動機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機(jī)軸以勻角速轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機(jī)的最大總水平力及鉛直力。,解：,1.取坐標(biāo)系Oxy,2.任意時刻質(zhì)心坐標(biāo),Fx,W1,W3,W2,例2:電動機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機(jī)

6、軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機(jī)軸以勻角速轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機(jī)的最大總水平力及鉛直力。,解：,3. 質(zhì)心加速度,Fy,Fx,W1,W3,W2,4. 質(zhì)心運(yùn)動定理,例2:電動機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機(jī)軸以勻角速轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機(jī)的最大總水平力及鉛直力。,Fx,W1,W3,W2,解：,例2:電動機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上，如圖所示。另有一均質(zhì)桿，長l，重W2，一端固連在電動機(jī)軸上，并與機(jī)軸垂直，另一端剛連一重W3的小球。設(shè)電動機(jī)軸以勻

7、角速轉(zhuǎn)動，求螺栓和基礎(chǔ)作用于電動機(jī)的最大總水平力及鉛直力。,Fx,W1,W2,W3,蛙式打夯機(jī),振動塊,解：另外一種解法,aC2,aC3,同理，求得,Fy,Fx,W1,W3,W2,a3,a2,解：,例3: 質(zhì)量m，半徑r的均質(zhì)圓輪在一個力偶作用下，沿水平面純滾動。已知某時刻輪上最前點(diǎn)A的加速度為aA，方向如圖。試求：（1）質(zhì)心的加速度；（2）圓輪所受摩擦力的大小。,1運(yùn)動分析(輪作平面運(yùn)動)2、質(zhì)心加速度,以O(shè)為基點(diǎn),其中,解得,求加速度必須用基點(diǎn)法,2.受力分析,3.質(zhì)心運(yùn)動定理,解：,例3: 質(zhì)量m，半徑r的均質(zhì)圓輪在一個力偶作用下，沿水平面純滾動。已知某時刻輪上最前點(diǎn)A的加速度為aA，方

8、向如圖。試求：（1）質(zhì)心的加速度；（2）圓輪所受摩擦力的大小。,練習(xí)1： 質(zhì)量50kg，長度2 m的均質(zhì)桿A端擱在光滑水平面上，另一端B與水平桿BD鉸接并用鉛直繩BE懸掛。已知系統(tǒng)靜止于圖示位置，在繩突然剪斷瞬間，B點(diǎn)的加速度為7.35m/s2，方向鉛垂向下。試求此瞬時水平面對AB桿的反力。BD桿質(zhì)量不計。,解：,1. 受力分析；,2. 運(yùn)動分析；,以B為基點(diǎn)，分析A點(diǎn)加速度：,再以B為基點(diǎn)，分析C點(diǎn)加速度：,解：,aCy,3. 質(zhì)心運(yùn)動定理；,得：,練習(xí)1： 質(zhì)量50kg，長度2 m的均質(zhì)桿A端擱在光滑水平面上，另一端B與水平桿BD鉸接并用鉛直繩BE懸掛。已知系統(tǒng)靜止于圖示位置，在繩突然剪斷

9、瞬間，B點(diǎn)的加速度為7.35m/s2，方向鉛垂向下。試求此瞬時水平面對AB桿的反力。BD桿質(zhì)量不計。,2 質(zhì)點(diǎn)系動量、沖量,1. 質(zhì)點(diǎn)的動量,2. 質(zhì)點(diǎn)系動量,質(zhì)系在某瞬時的動量等于該瞬時質(zhì)系所有質(zhì)點(diǎn)動量的矢量和。,也等于質(zhì)系質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。,量綱：ML/T,單位：kgm/s 或 Ns,2 質(zhì)點(diǎn)系動量、沖量,質(zhì)點(diǎn)系動量,對于剛體系統(tǒng)，若各剛體質(zhì)心的速度已知，則整個剛體系統(tǒng)的動量為：,例4：均質(zhì)丁字桿重W，ABOD2a，已知，求桿在圖示瞬時的動量。,OC = a/2,解：解法一,解法二,方向沿vC,先確定剛體的質(zhì)心位置：,則：,由于AB部分質(zhì)心在O點(diǎn)，因此動量為零，則：,方向沿vC,練習(xí)2

10、：已知物體A的速度，求圖示剛體系統(tǒng)的動量。設(shè)繩與輪間無滑動。,解：,R,2 質(zhì)點(diǎn)系動量、沖量,1. 常力的沖量：,沖量是力在一段時間內(nèi)作用的累積的度量。物理學(xué)中稱之為過程量。量綱及單位與動量相同。Kg.m/s 或N.s,2 質(zhì)點(diǎn)系動量、沖量,元沖量,沖量,2. 變力的沖量：,將上式向固定坐標(biāo)軸上投影：,元沖量,沖量,2. 變力的沖量：,在任一段時間內(nèi)，合力的沖量等于所有分力的沖量的矢量和。,若作用于質(zhì)點(diǎn)的力是若干個分力的合力，有：,2 質(zhì)點(diǎn)系動量、沖量,例5：已知力F15kN，F(xiàn)22sin(t)kN，求二力在4s內(nèi)的合沖量。,解：,3 動量（沖量）定理,質(zhì)點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)系,質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：質(zhì)點(diǎn)系的

11、的動量對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力的矢量和,動量定理在直角坐標(biāo)系的投影,其中,質(zhì)點(diǎn)系動量定理的積分形式（質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理）,積分形式的質(zhì)點(diǎn)系動量定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理：質(zhì)點(diǎn)系動量在某個時間間隔內(nèi)的改變量等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的沖量。,微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動量定理：質(zhì)點(diǎn)系的動量對時間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系所受外力的矢量和。,若作用于質(zhì)系上外力的矢量和恒為零，則質(zhì)系動量守恒。,例6：三棱柱質(zhì)量m2，置于光滑地面上；質(zhì)量m1、半徑r的圓柱在其上純滾動，系統(tǒng)初始時刻靜止。試求圓心C相對于三棱柱速度為vr時，三棱柱的速度。,解：由受力分析可知系統(tǒng)水平方向的動量守恒，即px=const。,由初始條件可知

12、， px=0。,以C為動點(diǎn)，三棱柱為動系，可知：,質(zhì)心的速度為絕對速度,解：動量定理求解,例8：水流流過彎管時，在AB、CD面處平均流速分別為 、 （大小以m/s計），已知體積流量 qv(m3/s),水密度為（kg/m3）,若水流是恒定的即水流流過管內(nèi)每一點(diǎn)的速度不隨時間改變，因而流量是常量。求水流對彎管的動壓力。,解：,對于水之類的流體，分析時總是假想取出其中的一部分作為質(zhì)點(diǎn)系來考察?，F(xiàn)在知道水流在AB、CD兩斷面處的速度，所以,取AB、CD兩斷面之間的流體ABCD作為考察的質(zhì)點(diǎn)系。因為是根據(jù)速度的變化來求動壓力，所以用動量定理來求解。設(shè)經(jīng)過t后，流體由ABCD位置運(yùn)動到abcd位置.l流體

13、在兩個位置的速度不同，動量也相應(yīng)改變，根據(jù)動量的改變可以求出管壁作用于流體的力，就是流體作用于管壁的力。,計算質(zhì)點(diǎn)系動量的改變,因水流是恒定的，流量是常量，故在時間t內(nèi)流經(jīng)AB、CD兩斷面的體積都是qVt，質(zhì)量都是 qVt，由于時間隔很小可認(rèn)vAB=vab=v1, vCD=vcd=v2。因此,流體ABCD所受的外力重力P、管壁的約束力F、其他部分流體的作用力F1、F2,為使流體改變方向管壁必須作用于流體的力應(yīng)為,動量定理建立了動量改變量與外力沖量間的關(guān)系，因此，一些求速度、外力和時間這些量之間關(guān)系的動力學(xué)問題，可用動量定理解決。應(yīng)用是一般列出動量定理或其守恒定律的投影式。只能求出約束力的主矢量，求不出作用點(diǎn)。,質(zhì)心運(yùn)動定理在形式上與動力學(xué)基本方程相同，因此在已知質(zhì)心運(yùn)動時來求外力或已知外力求質(zhì)心的運(yùn)動規(guī)律這些問題中，可考慮用質(zhì)心運(yùn)動定理或其守恒定理,應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動定理解題步驟一般如下：,1、選定研究對象，根據(jù)題意，適當(dāng)選取