超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算,不錯的講義

1、第6章 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算,返回總目錄,力 法 位 移 法 力矩分配法 習(xí) 題,本章內(nèi)容,教學(xué)要求：本章要求學(xué)生了解簡單超靜定結(jié)構(gòu)的計算原理。掌握超靜定結(jié)構(gòu)的受力特性和超靜定次數(shù)的判斷。能用力法、位移法、力矩分配法求解簡單超靜定結(jié)構(gòu)。,力 法,一、超靜定結(jié)構(gòu),超靜定結(jié)構(gòu)，如圖6.1所示，又稱靜不定結(jié)構(gòu)。它是工程實際中常用的一類結(jié)構(gòu)。其幾何組成特征是具有多余約束的幾何不變體系；其靜力解答特征是它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件求出，必須補充變形條件。,圖6.1 超靜定結(jié)構(gòu),超靜定結(jié)構(gòu)的類型主要有以下幾種。 (1) 超靜定梁，如圖6.2所示。 (2) 超靜定剛架，如圖6.3所示。

2、(3) 超靜定拱，如圖6.4所示。,圖6.2 超靜定梁,圖6.3 超靜定剛架,圖6.4 超靜定拱,力 法,(4) 超靜定桁架，如圖6.5所示。 (5) 超靜定組合結(jié)構(gòu)，如圖6.6所示。,圖6.5 超靜定桁架,圖6.6 超靜定組合結(jié)構(gòu),超靜定結(jié)構(gòu)的計算方法很多，依據(jù)基本未知量選擇的不同可以分為兩類：一類是以多余未知力為未知量的力法，即本節(jié)將要介紹的；另一類是以結(jié)點位移為未知量的位移法。其他的計算方法大多由這兩種方法派生而來，比如力矩分配法等。,二、超靜定次數(shù)的確定,超靜定結(jié)構(gòu)多余約束力的數(shù)目，稱為超靜定次數(shù)。 結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)可以這樣來確定：如果結(jié)構(gòu)去掉 個多余約束后即變?yōu)殪o定結(jié)構(gòu)，則該結(jié)構(gòu)的超

3、靜定次數(shù)就為 。 解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束的方法主要有如下幾種： (1) 去掉一根支桿或切斷一根鏈桿，相當(dāng)于解除一個約束(如圖6.7(a)、(b)所示)。,力 法,(2) 去掉一個固定鉸支座或切開一個單鉸，相當(dāng)于解除兩個約束(如圖6.7(c)、(d)所示)。 (3) 去掉一個固定支座或切斷一根梁式桿件，相當(dāng)于解除三個約束(如圖6.7(e)、(f)所示)。 (4) 將固定支座改為固定鉸支座或?qū)⒘菏綏U件中某截面加一單鉸(剛結(jié)改成鉸結(jié))，相當(dāng)于解除一個約束(如圖6.7(g)、(h)所示)。 注意：(1)不能去掉必要約束，使剩余結(jié)構(gòu)成為幾何可變體系；(2)應(yīng)把多余約束全部去掉，不能只是去掉其中的一部分。

4、運用該方法確定超靜定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)時，應(yīng)盡量使解除多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)為我們所熟悉的簡支梁、懸臂梁等形式。,圖6.7 解除超靜定結(jié)構(gòu)多余約束,力 法,【例6.1】 確定如圖6.8(a)所示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。,圖6.8 超靜定結(jié)構(gòu),解 此結(jié)構(gòu)去掉與地面相連的三根支桿后，桁架內(nèi)部可看做兩剛片(如圖6.8(b)所示)用四根鏈桿相連，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。欲使其成為靜定結(jié)構(gòu)，在這四根鏈桿中任意去掉一根都可以。形成的靜定結(jié)構(gòu)如圖6.8(c)所示，被截斷的桿件的作用力以一對多余未知力x1代替。,三、力法的基本原理與力法的典型方程,現(xiàn)以一個二次超靜定剛架為例，說明力法的基本原理以及如何建立多次超靜定結(jié)構(gòu)的力法

5、方程；再進一步推廣到 次超靜定結(jié)構(gòu)，得到力法典型方程。 如圖6.9所示的剛架為二次超靜定結(jié)構(gòu)，分析時必須解除兩個多余約束?，F(xiàn)去掉鉸支座a ，相應(yīng)的代以多余約束力x1 ，x2得到如圖6.9(b)所示的基本體系，由于原結(jié)構(gòu)在支座a 處沒有水平位移和豎向位移，因此，基本結(jié)構(gòu)在荷載和多余未知力x1 、x2 的共同作用下，鉸支座a 處也沒有水平位移和豎向位移。即a 點沿x1 和x2 方向的位移：,力 法,1 0 ， 20,圖6.9 力法解二次超靜定剛架,力 法,設(shè)各單位未知力x1=1、x2=1 和荷載分別作用于基本結(jié)構(gòu)上，a點沿x1 方向的位移分別為11、 12、 1p ；沿x2 方向的位移分別為21、

6、 22、 2p (如圖6.9(c)、(d)、(e)所示。根據(jù)疊加原理，上述位移條件可表示為：,這就是二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程式。 對于n 次超靜定結(jié)構(gòu)，相應(yīng)地有n 個多余未知力，而對每一個多余未知力結(jié)構(gòu)總有一個已知的位移條件與之相對應(yīng)，故可建立一個含有n 個未知量的方程組，從而可以求解出n 個多余約束力。,(6-1),力 法,式(6-1)通常稱為力法典型方程，其物理意義是：基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，多余約束處的位移和原來超靜定結(jié)構(gòu)相應(yīng)的位移相等。 在上述方程中，主對角線上未知力的系數(shù)ii( i=1，2，n) 稱為主系數(shù)，它代表單位未知力xi=1 單獨作用在基本結(jié)構(gòu)上時，在i 處沿x

7、i 自身方向上所引起的位移，其值恒為正。其余的系數(shù)ij( ij ) 稱為副系數(shù)，它代表基本結(jié)構(gòu)在未知力xi 處，由未知力xj=1 單獨作用時引起的沿xi 方向的位移。自由項ip 表示外荷載(或溫度改變、支座移動)作用下，基本結(jié)構(gòu)沿未知力xi 方向所引起的位移。副系數(shù)ij( ij ) 和自由項ip 的值可以為正、負或零。根據(jù)位移互等定理，副系數(shù)存在以下關(guān)系： ij= ji 典型方程中的各系數(shù)和自由項，都是基本結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移計算，完全可以通過靜定結(jié)構(gòu)的位移計算求出。 將求得的系數(shù)與自由項代入力法典型方程，解出各多余未知力x1，x2， xn然后將已求得的多余未知力和荷載共同作用在基本結(jié)構(gòu)上

8、，利用平衡條件，求出其余的反力和內(nèi)力。在繪制原結(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力圖時，可利用基本結(jié)構(gòu)的單位內(nèi)力圖與荷載內(nèi)力圖按疊加法得到，即：,力 法,(6-2),式中， 分別為單位未知力xi=1作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩、剪力和軸力； 分別為外荷載作用在基本結(jié)構(gòu)上的彎矩、剪力和軸力。,四、簡單超靜定結(jié)構(gòu)的力法計算,用力法計算超靜定結(jié)構(gòu)可按下列步驟進行： (1) 確定超靜定次數(shù)，去掉多余約束并以多余未知力代替，得到原結(jié)構(gòu)的基本體系。 (2) 根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余未知力和荷載共同作用下，在所去掉各多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)位移相等的條件，建立力法的典型方程。 (3) 依次做出基本結(jié)構(gòu)在各單位未知力和荷載單獨作用下的內(nèi)力

9、圖，然后利用積分法(或圖乘法)計算典型方程中的各個系數(shù)以及自由項。 (4) 求解典型方程，得出各多余未知力。 (5) 按照分析靜定結(jié)構(gòu)的方法，由平衡條件和疊加原理繪制結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。 (6) 校核。,力 法,下面結(jié)合具體例子說明力法的運用。 【例6.2】 用力法計算如圖6.10(a)所示的剛架，各桿的ei 相等且為常數(shù)，繪制內(nèi)力圖。,圖6.10 超靜定剛架,解 (1) 由幾何組成分析知，該結(jié)構(gòu)是二次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉處的兩個多余約束，得到基本結(jié)構(gòu)，如圖6.10(b)所示。,力 法,(2) 由已知點的位移條件，列出力法的典型方程：,(3) 作基本體系的 圖，利用圖乘法求系數(shù)和自由項，并解方程求得x1

10、、x2。,力 法,將各系數(shù)、自由項代入典型方程，得,(4) 由公式 求各截面彎矩值，并繪制彎矩圖，如圖6.11(a)所示。,圖6.11 內(nèi)力圖,力 法,(5) 根據(jù)最后彎矩圖(如圖6.11(a)所示)，取隔離體，由平衡條件求得各桿端剪力和軸力，并作q 圖、n圖，如圖6.11(b)、(c)所示。 取ac，如圖6.12(a)所示，分別由ma=0 ，x=0 ，y=0 ，得,取cb，如圖6.12(b)所示，分別由mb=0 ， x=0 ，得：,取c結(jié)點，如圖6.12(c)所示，由y=0 得：,取結(jié)點b，由x=0 ，已知 得,圖6.12 求各桿軸力及剪力,力 法,同一超靜定結(jié)構(gòu)在求解時可選擇各種不同形式的

11、基本結(jié)構(gòu)，結(jié)果必然相同。,五、超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、支座移動時的內(nèi)力計算,對于超靜定結(jié)構(gòu)，即使沒有荷載作用時也可能產(chǎn)生內(nèi)力，如支座移動、溫度變化以及制造裝配方面的誤差都可以引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。用力法計算由于支座移動、溫度變化等引起結(jié)構(gòu)的內(nèi)力時，其基本思路、原理和步驟與荷載作用下的內(nèi)力計算基本相同，不同的只是力法的典型方程中自由項的計算。以下只以支座移動時的計算為例來講述。 【例6.3】 如圖6.13(a)所示的等截面梁 ，已知 端支座轉(zhuǎn)動角度為 ， 端支座下沉位移 。試求梁的彎矩圖。,圖6.13 例6.3圖,力 法,解 (1) ab為一次超靜定梁，去掉b支座多余約束，代以多余約束反力x1，基本體系

12、如圖6.13(b)所示。 (2) 在x1 和、a共同作用下，基本體系與原結(jié)構(gòu)受力相同。為了使兩者變形也相同，必須令基本體系在多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相同，即： 針對基本體系討論b點的豎直位移： 1a，負號表示支座位移a與x1 所設(shè)方向相反。 11x1 1c a 由圖6.13(c)知： 1c=l ，負號表示1c 與x1 假設(shè)方向相反。 由基本結(jié)構(gòu) 圖(如圖6.13(d)所示)得到：,代入力法方程，得：,(3) 求內(nèi)力。原超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力與基本體系相同，而支座移動在基本體系(靜定結(jié)構(gòu))中不引起內(nèi)力，所以最后彎矩為：,力 法,原結(jié)構(gòu)的彎矩圖如圖6.13(e)所示。 由此可以看出，計算超靜定結(jié)構(gòu)由于支座

13、移動引起的內(nèi)力時，其力法方程右端項應(yīng)等于原結(jié)構(gòu)相應(yīng)處的位移，而自由項為基本結(jié)構(gòu)由于支座移動產(chǎn)生的與多余未知力相應(yīng)的位移。該兩項可直接由基本結(jié)構(gòu)中變形關(guān)系求出。結(jié)構(gòu)的最后內(nèi)力全部由多余未知力引起。,六、超靜定結(jié)構(gòu)的位移計算,超靜定結(jié)構(gòu)的力法計算的基本思想是利用靜定的基本體系來計算多余未知力，基本體系的內(nèi)力、變形與原來超靜定結(jié)構(gòu)完全相同。因此，在求解超靜定結(jié)構(gòu)的位移時，仍可以借助于基本體系，把已求出的多余力當(dāng)作主動力來看待，采用前面的靜定結(jié)構(gòu)求位移的方法即可以求出基本體系的位移，該位移也就是原來超靜定結(jié)構(gòu)中相應(yīng)的位移。求超靜定結(jié)構(gòu)的位移仍可用單位荷載法，單位力可加在原結(jié)構(gòu)上，也可加在它的任一靜定基

14、本結(jié)構(gòu)上。,超靜定結(jié)構(gòu)有不同于靜定結(jié)構(gòu)的一些特性： (1) 由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力僅由靜力平衡條件不能確定，必須同時考慮變形條件才能求出，因此超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與材料性質(zhì)和截面尺寸有關(guān)，即與桿件的剛度有關(guān)。,七、超靜定結(jié)構(gòu)的特性,力 法,(2) 由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化和支座位移等因素的影響下一般會產(chǎn)生內(nèi)力；而靜定結(jié)構(gòu)除在荷載作用下會產(chǎn)生內(nèi)力外，在其他因素影響下不會產(chǎn)生內(nèi)力。這一特性在一定條件下對超靜定結(jié)構(gòu)帶來不利影響，例如，連續(xù)梁當(dāng)?shù)鼗A(chǔ)發(fā)生不均勻沉降時，會使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生過大的附加內(nèi)力。但另一方面也可以利用這一特性，通過改變支座的高度來調(diào)整結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，使其得到合理的內(nèi)力

15、分布。 (3) 由于存在多余約束，超靜定結(jié)構(gòu)的剛度一般比相應(yīng)靜定結(jié)構(gòu)的剛度要大些，而內(nèi)力和位移的峰值則小些，且分布趨于均勻。 (4) 超靜定結(jié)構(gòu)在多余約束破壞后，體系仍然是幾何不變體系，能繼續(xù)承受荷載；而靜定結(jié)構(gòu)中任何一個約束被破壞后，體系成為幾何可變從而喪失了承載能力。因此在抗震防災(zāi)、國防建設(shè)等方面，超靜定結(jié)構(gòu)具有較好的抵抗破壞的能力。,位 移 法,一、位移法的基本概念,用位移法分析結(jié)構(gòu)時，先將結(jié)構(gòu)離散成單個的桿件，進行桿件受力分析，然后考慮變形協(xié)調(diào)條件和平衡條件，將桿件在結(jié)點處組裝成整體結(jié)構(gòu)。 如圖6.14(a)所示的結(jié)構(gòu)在荷載的作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形，由于結(jié)點 為剛結(jié)點，桿件ab

16、、ac 在結(jié)點a處有相同的轉(zhuǎn)角a。此外，如果不考慮桿件的軸向變形和剪切變形，并假定彎曲變形是微小的，則可以假定受彎直桿兩端之間的距離在變形后仍然保持不變，故結(jié)點 a無線位移?？疾槊扛鶙U件的變形情況，可以做出各桿的變形圖(如圖6.14(b)所示)。其中ab桿相當(dāng)于一端固定、另一端鉸支的單跨梁，除承受荷載作用外，固定支座a 還產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角a 。桿件 相當(dāng)于兩端固定的單跨梁，固定端 產(chǎn)生了轉(zhuǎn)角 。這些單跨超靜定梁在支座位移和荷載作用下的反力和內(nèi)力可以用力法求得，不過，這里的轉(zhuǎn)角a 對于ab、ac 桿都是未知的。因此，對整個結(jié)構(gòu)來說，求解的關(guān)鍵是如何確定轉(zhuǎn)角a 。,圖6.14 位移法分析結(jié)構(gòu),位 移 法

17、,如圖6.15所示的結(jié)構(gòu)在受外荷載作用后，各桿的變形如圖中虛線所示，結(jié)點a、b處除了產(chǎn)生角位移外，還產(chǎn)生水平位移，由于變形很小，而且假定桿在彎曲后兩端的距離不變，可以認為a、b兩節(jié)點只有水平位移且兩點的水平位移相等。因此結(jié)構(gòu)既有角位移a 、 b，又有線位移 。,圖6.15 結(jié)構(gòu)變形,以上兩個例子說明，只要結(jié)構(gòu)的某些角位移、線位移先行求出，則各桿的內(nèi)力可以完全確定。如把結(jié)點位移作為基本未知量，由這些結(jié)點位移可求上述各單桿內(nèi)力和約束反力，由它們組裝成原結(jié)構(gòu)時應(yīng)滿足結(jié)點的平衡條件，從而可得到確定這些未知位移的方程。由此，位移法分析中應(yīng)解決以下幾個問題：,位 移 法,(1) 以結(jié)構(gòu)的哪些結(jié)點位移為基本

18、未知量。 (2) 確定桿件的桿端力與桿端位移以及荷載之間的關(guān)系。 (3) 建立求解基本未知量的位移法方程。,二、等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程,如前所述，用位移法計算超靜定結(jié)構(gòu)時，把桿件當(dāng)作單跨超靜定梁，則桿端位移可以看作單跨梁的支座位移。這樣，桿端內(nèi)力與桿端位移之間的關(guān)系可以利用力法求出。把桿件桿端內(nèi)力與桿端位移以及荷載之間的關(guān)系式，稱為轉(zhuǎn)角位移方程。本節(jié)利用力法計算結(jié)果，由疊加原理推導(dǎo)出位移法中常用的等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程。,1. 單跨超靜定梁的形常數(shù)和載常數(shù),常用的單跨超靜定梁的類型有：兩端固定的梁，如圖6.16(a)所示； 一端固定另一端鉸支的梁，如圖6.16(b)所示；一端固定另一端為定

19、 向支座的梁，如圖6.16(c)所示。,圖6.16 單跨超靜定梁類型,位 移 法,上述三種超靜定梁，無論是荷載作用還是支座位移所引起的內(nèi)力，都可以用力法求得。為了求解問題的方便，現(xiàn)將計算結(jié)果列于表6-1中，表中所列的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值，凡是由荷載作用產(chǎn)生的稱為載常數(shù)；由支座單位位移產(chǎn)生的均稱為形常數(shù)。表6-1中的桿端彎矩、桿端剪力及單位位移的正負號規(guī)定如下。 (1) mab、mba分別表示ab 桿a 端和b 端的彎矩，規(guī)定順時針為正，逆時針為負。 (2) qab、qba分別表示ab 桿ab 端和ba 端的剪力，規(guī)定使桿件順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。 (3) a表示固定端 的轉(zhuǎn)角，規(guī)定順時針為

20、正，逆時針為負。 (4) 表示ab桿兩端垂直于桿軸的相對線位移，規(guī)定使桿件順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。 在形常數(shù)中 ，稱為桿件的線剛度。在應(yīng)用表6-1時應(yīng)注意的是：表中的形常數(shù)和載常數(shù)是根據(jù)圖示的支座位移和荷載方向求得的。當(dāng)計算某一結(jié)構(gòu)時，應(yīng)根據(jù)其桿件兩端實際的位移方向和荷載方向，判斷形常數(shù)和載常數(shù)應(yīng)取的正負號。,位 移 法,2. 等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程,1) 兩端固定桿 如圖6.17所示兩端固定的等截面直桿，假如a、b 兩端的轉(zhuǎn)角分別為a 、b ，垂直于桿軸方向上的相對線位移是，梁上還存在外荷載的作用。梁ab 在上述四種外在因素共同作用下的桿端彎矩，應(yīng)該等于a、b、 和荷載單獨作用下的桿端彎

21、矩的疊加。利用表6-1可以得到：,式中， 為跨間荷引起ab桿的桿端彎矩。式(6-3)稱為兩端固定桿的轉(zhuǎn)角位移方程。,圖6.17 兩端固定的直桿,(6-3),位 移 法,2) 一端固定另一端鉸支桿 如圖6.18所示，設(shè)a 端轉(zhuǎn)角為a ，兩端相對位移是 ，梁上還作用有外荷載。利用表6-1可以得到：,式(6-4)稱為一端固定另一端鉸支桿的轉(zhuǎn)角位移方程。,圖6.18 一端固定、另一端鉸支桿,(6-4),位 移 法,圖6.18 一端固定、另一端鉸支桿,位 移 法,續(xù)表,位 移 法,3) 一端固定另一端定向支承桿 如圖6.19所示，設(shè)a 端轉(zhuǎn)角為a ，設(shè)b 端轉(zhuǎn)角為b ，梁上還作用有外加荷載。利用表6-1

22、可以得到：,式(6-5)稱為一端固定另一端定向支承桿的轉(zhuǎn)角位移方程。,(6-5),圖6.19 一端固定，另一端定向支承桿,位 移 法,以上得到了三種不同約束條件下等截面直桿的轉(zhuǎn)角位移方程式，它們都是桿端彎矩與荷載及桿端位移之間的關(guān)系。對于桿端剪力與桿端位移及荷載之間關(guān)系可根據(jù)靜力平衡條件求得：,式中， 分別表示相應(yīng)簡支梁在跨間荷載作用下的桿端剪力。 分別將式(6-3)、式(6-4)、式(6-5)代入式(6-6)，即可求得相應(yīng)單跨超靜定桿的桿端剪力與桿端位移及荷載的關(guān)系。,(6-6),三、位移法計算舉例,位移法方程實質(zhì)上反映了原結(jié)構(gòu)某一部分的靜力平衡條件。因此可以直接運用轉(zhuǎn)角位移方程得到桿端力與

23、桿端位移的關(guān)系式后，由原結(jié)構(gòu)的結(jié)點和某部分的平衡條件建立位移法方程，下面說明這種方法的過程和步驟。,位 移 法,【例6.4】 用位移法計算如圖6.20(a)所示剛架，繪制出最后彎矩圖。,圖6.19 一端固定，另一端定向支承桿,解 (1) 如圖6.20(a)所示的剛架結(jié)構(gòu)具有兩個基本未知量，即轉(zhuǎn)角1 和線位移 ，令z1= 1,z2= ，并假設(shè)位移均為正方向，如圖6.20(b)所示。 (2) 應(yīng)用轉(zhuǎn)角位移方程，將各桿桿端彎矩和桿端剪力表達為含結(jié)點位移及荷載的表達式，即：,位 移 法,(3) 由結(jié)點1的平衡條件m1=0和柱端剪力平衡條件x=0(如圖6.21所示)可以建立兩個方程式：,圖6.21 桿1

24、2的平衡,位 移 法,將上述有關(guān)桿端彎矩和桿端剪力代入，得,(4) 解方程組可得：,(5) 然后將z1=3.63、z2=8.93代回到各桿桿端彎矩的表達式中，則可以得到：,位 移 法,(6) 根據(jù)上述各桿的桿端彎矩及跨間荷載，可繪制出原結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖，如圖6.22所示。,圖6.22 剛架的最后彎矩圖,力矩分配法,一、力矩分配法的基本概念,前面介紹的力法和位移法是計算超靜定結(jié)構(gòu)的兩種基本方法。無論哪種方法都需要求解聯(lián)立方程組。力矩分配法采用逐步修正的計算步驟，不需要求解聯(lián)立方程組，可以直接求出桿端彎矩的近似值，比較適用于連續(xù)梁和無結(jié)點線位移的剛架的計算。 為了說明力矩分配法的概念和計算步驟，先

25、介紹幾個名詞： 1) 轉(zhuǎn)動剛度 桿端支承不同的桿件對于桿端轉(zhuǎn)動的抵抗能力是不同的。桿端轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)sab 的定義是：桿ab 的a端(或者稱近端)產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時， a端所需施加的力矩 值。此值不僅與桿件的彎曲線剛度 有關(guān)，而且與桿件的另一端 (或者稱遠端)的支承有關(guān)。不同支承情況的等截面直桿相應(yīng)的近端轉(zhuǎn) 動剛度系數(shù)可以從表6-1中查得，如圖6.23(a)圖6.23(c)所示，它們分 別為： 遠端為固定支座 sab =4i 遠端為鉸支座 sab =3i 遠端為定向支座 sab =i,圖6.23 轉(zhuǎn)動剛度,力矩分配法,如果把a端改成固定鉸支座或可動鉸支座，則sab 的數(shù)值不變?？梢园補 端看作可轉(zhuǎn)動

26、(但不能移動)的剛結(jié)點a，這時sab 就代表當(dāng)剛結(jié)點產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時在桿端ai 引起的桿端彎矩。 2) 傳遞系數(shù) 當(dāng)桿件ab 僅在a 端有轉(zhuǎn)角時，引起b端的彎矩mba 稱為傳遞彎矩，它與a 端彎矩mab之比值，稱為該桿從a 端傳至b 端的彎矩傳遞系數(shù)，用cab 表示。因此，圖6.23(a)、(b)、(c)所示各桿的傳遞系數(shù)分別為： 遠端為固定支座,遠端為定向支座,遠端為鉸支座,利用傳遞系數(shù)的概念，圖6.23中各桿的遠端彎矩可以由下式計算：,力矩分配法,3) 彎矩分配系數(shù) 如圖6.24(a)所示的剛架，外力偶m作用于結(jié)點a，使結(jié)點a發(fā)生了轉(zhuǎn)角a，各桿發(fā)生如圖中虛線所示的變形。由剛結(jié)點的特點，各桿的

27、a端均發(fā)生轉(zhuǎn)角 a?，F(xiàn)將結(jié)點a取作隔離體(如圖6.24(b)所示)，由平衡條件有：,圖6.24 剛架受力圖,又由各桿轉(zhuǎn)動剛度定義，當(dāng)時，近端彎矩分別為：則：,力矩分配法,故,式中，sai表示交于結(jié)點a的各桿a端轉(zhuǎn)動剛度之和。則各桿端彎矩為：,式中， ab，ac，ad即為點a處各桿近端彎矩的分配系數(shù)，且同一結(jié)點各桿端分配系數(shù)之和為1，即ab + ac + ad =1。,力矩分配法,注意的是m 為作用于結(jié)點a 的外力矩，該力矩按各桿a 端轉(zhuǎn)動剛度的比例分配給各桿的a 端(近端)，故稱各桿的a 端彎矩為分配彎矩、為力矩分配系數(shù)、上述計算近端彎矩的過程稱為力矩分配。 力矩分配法即是將作用于結(jié)點的外力矩

28、按交于此點的各桿端的力矩分配系數(shù)分配給各桿的近端，得到各桿近端的分配彎矩；然后根據(jù)各桿遠端的支承情況，將近端的分配彎矩乘以相應(yīng)的傳遞系數(shù)，得到遠端的傳遞彎矩。,二、用力矩分配法計算連續(xù)梁和結(jié)點無線位移的剛架,以圖6.25(a)的連續(xù)梁為例來說明其計算步驟。 (1) 固定結(jié)點，求約束力矩。在剛結(jié)點b處加上附加剛臂，形成位移法的基本結(jié)構(gòu)，然后將荷載加上去，如圖6.25(b)所示。此時，各桿端將產(chǎn)生固端彎矩，利用結(jié)點b的力矩平衡條件，可以求出剛臂對結(jié)點的約束力矩(也稱不平衡彎矩)。約束力矩以順時針轉(zhuǎn)向為正，在數(shù)值上等于交于結(jié)點b的各桿端固端彎矩的代數(shù)和，即 。,力矩分配法,圖6.25 力矩分配法計算

29、連續(xù)梁,力矩分配法,(2) 放松結(jié)點，求分配彎矩和傳遞彎矩。因結(jié)點b 本來沒有剛臂，也不存在約束力矩mb ，為了使其恢復(fù)到原來的狀態(tài)圖6.25(a)，使結(jié)點b 處的約束力矩回復(fù)到零，在結(jié)點b 處新加一個與mb 大小相等、方向相反的力矩。這相當(dāng)于消除了剛臂，使結(jié)點b 產(chǎn)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)動。此時各桿所產(chǎn)生的桿端彎矩可以按力矩分配法進行計算。注意，跨間荷載引起的結(jié)點不平衡力矩要反號分配、傳遞；而結(jié)點上外力矩荷載要正號分配、傳遞。 (3) 把圖6.25(b)、圖6.25(c)兩種情況疊加，就得到如圖6.25(d)所示最后的桿端彎矩。 計算過程通常在梁的下方列表中進行。詳細的計算過程如下： (1) 計

30、算結(jié)點b 處各端的彎矩分配系數(shù)。為方便計算，令 ，則iab=1，ibc=2 。,將分配系數(shù)寫在圖6.25(a)下的表中第一行內(nèi)。,力矩分配法,(2) 計算固端彎矩。由表6-1得：,將此值寫在圖6.25(a)下的表中第二行內(nèi)。 (3) 進行彎矩分配和傳遞。結(jié)點b 處約束力矩為：,將其反號并乘以分配系數(shù)即得到各近端的分配力矩，再將分配力矩乘以各桿的傳遞系數(shù)即得到各遠端的傳遞力矩。,力矩分配法,在分配力矩下面劃一橫線，表示結(jié)點已經(jīng)放松，達到平衡，將這些值寫在圖6.25(a)下的表中第三行內(nèi)。 (4) 計算桿端最終彎矩值，并繪制m、q 圖。將圖6.25(a)下的表中對應(yīng)于每一桿端截面的豎列數(shù)值相加，就

31、得到各桿端的最終彎矩值(下面劃雙橫線表示最后結(jié)果)。注意結(jié)點b應(yīng)滿足平衡條件：,根據(jù)桿端彎矩及跨間荷載可繪出圖，如圖6.25(d)所示。利用彎矩圖，取各桿件為隔離體，由平衡條件求各端剪力，繪出剪力圖，如圖6.25(e)所示。,力矩分配法,(5) 計算b 支座的約束反力。取結(jié)點b為隔離體(如圖6.25(f)所示)，由y=0 ，求得b支座的反力為： rb=50+60=110kn () 【例6.5】 用力矩分配法計算圖6.26(a)所示無側(cè)移剛架，并繪制彎矩圖。,圖6.26 力矩分配法計算無側(cè)移剛架,力矩分配法,解 (1) 計算彎矩分配系數(shù)：,彎矩分配系數(shù)如圖6.26(b)的方框中所示。 (2) 計

32、算固端彎矩：,將此值列于圖6.26(b)中的第二行。 (3) 進行力矩的分配和傳遞計算。外力矩80kn m 作用在a 結(jié)點上，已假定在結(jié)點a 有附加剛臂，故該外力矩對各桿不產(chǎn)生固端彎矩，外力矩直接由附加剛臂承受，并引起約束力矩為80kn m 。由結(jié)點a 的力矩平衡條件(如圖6.26(d)所示)求得總的約束力矩為： ma=80+24=56kn m,力矩分配法,將ma 反號進行分配和傳遞計算，其計算過程可按圖6.26(b)所示格式進行。 (4) 計算最終的桿端彎矩并繪制m 圖。各桿最終的桿端彎矩值為圖6.26(b)中下面有雙橫線的數(shù)字，剛架的彎矩圖如圖6.26(c)所示。由圖6.26(d)知mb=

33、0，滿足平衡條件，可知計算無誤。 注意80kn m 作用在剛結(jié)點a上，不屬于桿端，故不參加求最后桿端彎矩的疊加，寫在括號中以免混淆。 對于具有兩個以上結(jié)點角位移的連續(xù)梁和剛架，可以采用逐個結(jié)點輪流放松的方法，即每次只放松一個結(jié)點，其他結(jié)點仍暫時固定，這樣把各結(jié)點的約束力矩輪流地進行分配、傳遞，直到各結(jié)點的約束力矩小到可以忽略不計時，即可停止分配和傳遞，最后根據(jù)疊加原理求得結(jié)構(gòu)的各桿端彎矩。 解題步驟為： 計算匯交于各結(jié)點的各桿端的力矩分配系數(shù)ik ，并確定各桿傳遞系數(shù)cik 。 固定各結(jié)點，計算各桿端的固端彎矩 。 逐次放松各結(jié)點，并對每個結(jié)點按分配系數(shù)將約束力矩反號分配給匯交于該結(jié)點的各桿端，然后將各桿端的分配彎矩乘以傳遞系數(shù)傳遞給另一端，按此步驟循環(huán)計算直至各結(jié)點上的傳遞彎矩小到可以忽略為止。,力矩分配法, 將各桿端的固端彎矩與歷次分配彎