高中數(shù)學易錯題集錦

1、 高中數(shù)學易錯題集錦高中數(shù)學易錯題集錦 高中數(shù)學中有許多題目，求解的思路不難，但解題時，對某些特殊情形的討論，卻很容 易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過程中，沒有注意轉(zhuǎn)化的等價性，會經(jīng)常出現(xiàn)錯誤。本文通過幾個 例子，剖析致錯原因，希望能對讀者的學習有所幫助，加強思維的嚴密性訓練。 忽視等價性變形，導致錯誤。忽視等價性變形，導致錯誤。 x0 y0 x + y0 xy0 ，但 x1 y2 與 x + y3 xy2 不等價。 【例 1】已知f(x) = ax + x b ，若 , 6)2(3, 0) 1 (3ff求)3(f的范圍。 錯誤解法錯誤解法 由條件得 + + 6 2 23 03 b a ba 2 15

2、6 a 2得 3 2 33 8 b +得 . 3 43 )3( 3 10 , 3 43 3 3 3 10 +f b a即 錯誤分析錯誤分析 采用這種解法，忽視了這樣一個事實：作為滿足條件的函數(shù) b x axxf+=)(，其值 是同時受ba和制約的。當a取最大（?。┲禃r，b不一定取最大（?。┲?，因而整個解題思 路是錯誤的。 正確解法正確解法 由題意有 += += 2 2)2( ) 1 ( b af baf , 解得： ),2() 1 (2 3 2 ),1 ()2(2 3 1 ffbffa= ).1 ( 9 5 )2( 9 16 3 3)3(ff b af=+= 把) 1 (f和)2(f的范圍代入

3、得 . 3 37 )3( 3 16 f 在本題中能夠檢查出解題思路錯誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固 地掌握基礎知識，才能反思性地看問題。 忽視隱含條件忽視隱含條件，導致結(jié)果錯誤。，導致結(jié)果錯誤。 【例 2】解下列各題】解下列各題 (1) 設、是方程062 2 =+kkxx的兩個實根，則 22 ) 1() 1(+的最小值是 不存在)d(18)c(8)b( 4 49 )a( 思路分析思路分析 本例只有一個答案正確，設了 3 個陷阱，很容易上當。 利用一元二次方程根與系數(shù)的關系易得：, 6,2+=+kk . 4 49 ) 4 3 (4 2)(22)( 1212) 1() 1(

4、2 2 2222 = += +=+ k 有的學生一看到 4 49 ，常受選擇答案（a）的誘惑，盲從附和，這正是思維缺乏反思性的體 現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個選擇答案的來源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確 答案。 原方程有兩個實根、 0)6k(4k4 2 += . 3 k2k或 當3k時， 22 ) 1() 1(+的最小值是 8； 當2k時， 22 ) 1() 1(+的最小值是 18 這時就可以作出正確選擇，只有（b）正確。 (2) 已知(x+2) 2+ y 2 4 =1, 求x 2+y2的取值范圍。 錯解錯解 由已知得 y 2=4x216x12，因此 x2+y2=3x216x12=3(

5、x+ 3 8 ) 2+ 3 28 當x=8 3 時，x 2+y2有最大值 28 3 ，即x 2+y2的取值范圍是(, 28 3 。 分析分析 沒有注意 x 的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。 事實上，由于(x+2) 2+ y 2 4 =1 (x+2) 2=1 y 2 4 1 3x1， 從而當 x=1 時 x 2+y2有最小值 1 x 2+y2的取值范圍是1, 28 3 。 注意有界性：偶次方注意有界性：偶次方 x x 2 2 0 0，三角函數(shù)，三角函數(shù)1 1sinxsinx1 1，指數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù) a a x x0 0，圓錐曲線有界性等。，圓錐曲線有界性等。 忽視不等式中等號成立的

6、條件，導致結(jié)果錯誤。忽視不等式中等號成立的條件，導致結(jié)果錯誤。 【例 3】已知：a0 , b0 , a+b=1,求(a+ 1 a ) 2+(b+ 1 b ) 2的最小值。 錯解錯解 (a+ a 1 ) 2+(b+ b 1 ) 2=a2+b2+ 2 1 a + 2 1 b +42ab+ ab 2 +44 ab ab 1 +4=8, (a+ a 1 ) 2+(b+ b 1 ) 2的最小值是 8. 分析分析 上面的解答中，兩次用到了基本不等式 a 2+b22ab，第一次等號成立的條件是 a=b= 2 1 , 第二次等號成立的條件是 ab= ab 1 ，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8 不是

7、最小 值。 原式= a 2+b2+ 2 1 a + 2 1 b +4=( a 2+b2)+( 2 1 a + 2 1 b )+4=(a+b) 22ab+( a 1 + b 1 ) 2 ab 2 +4 = (12ab)(1+ 22 1 ba )+4， 由 ab( 2 ba + ) 2= 4 1 得：12ab1 2 1 = 2 1 , 且 22 1 ba 16，1+ 22 1 ba 17， 原式 2 1 17+4= 2 25 (當且僅當 a=b= 2 1 時，等號成立)， (a + a 1 ) 2 + (b + b 1 ) 2的最小值是25 2 。 不進行分類討論，導致錯誤不進行分類討論，導致錯誤

8、 【例 4】已知數(shù)列 n a的前n項和12 += n n s，求. n a 錯誤解法錯誤解法 .222) 12() 12( 111 1 =+= nnnnn nnn ssa 錯誤分析錯誤分析 顯然，當1=n時，123 11 11 = sa。 錯誤原因：沒有注意公式 1 = nnn ssa成立的條件是。 因此在運用 1 = nnn ssa時，必須檢驗1=n時的情形。即： = = ), 2( ) 1( 1 nnns ns a n n 。 以偏概全，導致錯誤以偏概全，導致錯誤 以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問題的全部答案，從 而表現(xiàn)出思維的不嚴密性。 【例 5】(1)設

9、等比數(shù)列 n a的全n項和為 n s .若 963 2sss=+，求數(shù)列的公比q. 錯誤解法錯誤解法 ,2 963 sss=+ q qa q qa q qa = + 1 )1 ( 2 1 )1 ( 1 )1 ( 9 1 6 1 3 1 ， . 0 12( 363 ）整理得qqq 1q 2 4 q, 0) 1q)(1q2(. 01qq20q 3 3336 =+=或得方程由。 錯誤分析錯誤分析 在錯解中，由 q qa q qa q qa = + 1 )1 ( 2 1 )1 ( 1 )1 ( 9 1 6 1 3 1 ， 01qq2(q 363 ）整理得時，應有1q0a1和。 在等比數(shù)列中，0 1 a

10、是顯然的，但公比 q 完全可能為 1，因此，在解題時應先討論公比1=q 的情況，再在1q的情況下，對式子進行整理變形。 正確解法正確解法 若1=q， 則有.9,6,3 191613 asasas=但0 1 a， 即得,2 963 sss+與題設矛盾， 故1q. 又依題意 963 s2ss=+ q qa q qa q qa = + 1 )1 ( 2 1 )1 ( 1 )1 ( 9 1 6 1 3 1 01qq2(q 363 ）, 即, 0) 1)(12( 33 =+qq因為1q，所以, 01 3 q所以 . 0 12 3 =+q解得 . 2 4 3 =q 說明說明 此題為 1996 年全國高考文

11、史類數(shù)學試題第（21）題，不少考生的解法同錯誤解法，根 據(jù)評分標準而痛失 2 分。 (2)求過點) 1 , 0(的直線，使它與拋物線xy2 2 =僅有一個交點。 錯誤解法錯誤解法 設所求的過點) 1 , 0(的直線為1+= kxy，則它與拋物線的交點為 = += xy kxy 2 1 2 ，消去y得 . 0 2) 1( 2 =+xkx整理得 . 0 1)22( 22 =+xkxk 直線與拋物線僅有一個交點，, 0=解得=. 2 1 k所求直線為 . 1 2 1 +=xy 錯誤分析錯誤分析 此處解法共有三處錯誤： 第一，設所求直線為1+= kxy時，沒有考慮0=k與斜率不存在的情形，實際上就是承

12、認了該 直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的。 第二，題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有 考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點” 的關系理解不透。 第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的 二次項系數(shù)不能為零，即, 0k而上述解法沒作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴密。 正確解法正確解法 當所求直線斜率不存在時，即直線垂直x軸，因為過點) 1 , 0(，所以, 0=x即y 軸，它正好與拋物線xy2 2 =相切。 當所求直線斜率為零時，直線為 y = 1 平行x軸，它正好與拋物線

13、xy2 2 =只有一個交點。 一般地，設所求的過點) 1 , 0(的直線為1+= kxy)0(k,則 = += xy kxy 2 1 2 ， . 0 1)22( 22 =+xkxk令, 0=解得k = 1 2 , 所求直線為 . 1 2 1 +=xy 綜上，滿足條件的直線為：. 1 2 1 , 0, 1+=xyxy 章節(jié)易錯訓練題章節(jié)易錯訓練題 1、已知集合 m = 直線 ，n = 圓 ，則 mn 中元素個數(shù)是 a(a(集合元素的確定性集合元素的確定性) ) (a) 0 (b) 0 或 1 (c) 0 或 2 (d) 0 或 1 或 2 2、已知a = x | x 2 + tx + 1 = 0

14、 ，若ar * = ，則實數(shù)t集合t = _。 2t t( (空空 集集) ) 3、如果 kx 2+2kx(k+2)0 恒成立，則實數(shù) k 的取值范圍是 c( c(等號等號) ) (a) 1k0 (b) 1k0 (c) 1k0 (d) 1k0 4、命題:1a x3，命題:(2)()bxxa+0，若 a 是 b 的充分不必要條件，則a的取值范圍 是 c(c(等號等號) ) （a）(4,)+ （b）)4,+ （c）(, 4) （d）(, 4 5、若不等式x 2log loga x0 在(0, 1 2 )內(nèi)恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是a(a(等號等號) ) (a) 1 16 ,1) (b) (1,

15、 + ) (c) ( 1 16 ,1) (d) (1 2 ,1)(1,2) 6、若不等式(1) na 2 + n (1) n + 1 對于任意正整數(shù)n恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是a(a(等等 號號) ) (a) 2，3 2 ) (b) (2， 3 2 ) (c) 3，3 2 ) (d) (3， 3 2 ) 7、已知定義在實數(shù)集r上的函數(shù)( )f x滿足：(1)1f=；當0 x 時，( )0f x 11 a x x x x1 1 a 0 0 x x11 e （漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域）（漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域） 11、函數(shù) f (x) = loglog a 1 2 e a (x 2 + a

16、 x + 2) 值域為 r r，則實數(shù) a 的取值范圍是d( d(正確使用正確使用 0 0 和和0)0 x x1 x0 ， f (x)的反函數(shù)f 1(x)= 。 6 34 2 2 + + xx xx 的值域是_。( (, , 5 2 ) )( ( 5 2 ,1),1)(1,+(1,+) ) （定義域）（定義域） 14、函數(shù)y = sinsin x (1 + tantan x tantan a x 2 e a )的最小正周期是c c （定義域）（定義域） (a) a 2 e a (b) (c) 2 (d) 3 15、已知 f (x) 是周期為 2 的奇函數(shù)，當 x 0,1) 時，f (x) =

17、2 x，則 f (log log a 1 2 e a 23) = d(d(對數(shù)運算對數(shù)運算) ) (a) a 23 16 e a (b) a 16 23 e a (c) a 16 23 e a (d) a 23 16 e 16、已知函數(shù)xbxaxxf3)( 23 +=在1=x處取得極值。 （1）討論) 1 (f和) 1(f是函數(shù))(xf的極大值還是極小值； （2）過點)16, 0(a作曲線)(xfy =的切線，求此切線方程。(2004 天津) （求極值或最值推理判斷不充分（求極值或最值推理判斷不充分( (建議列表建議列表) )；求過點切線方程，不判斷點是否在曲線上。）；求過點切線方程，不判斷點

18、是否在曲線上。） 17、已知tan tan ( a 3 e a )= ea a 3 a e 5 e a 則tan tan = ； a sinsin coscos 3coscos 2 2sin sin 2 e a = 。 ea a 3 3 a e 2 2 e a 、 ea a 3 3 a e 3 3 e a （化（化 齊次式）齊次式） 18、若 3 sinsin 2 + 2 sin sin 2 2 sin sin = 0，則coscos 2 + cos cos 2 的最小值是 _ 。 a 1414 9 9 e a ( (隱隱 含條件含條件) ) 19、已知sin + cos = a 1 5 e

19、a ， (0，)，則cot = _。 a 3 3 4 4 e a ( (隱含條件隱含條件) ) 20、在abc 中，用a、b、c和 a、b、c 分別表示它的三條邊和三條邊所對的角，若a =2、 2=b、 4 =a，則b = b(b(隱含條件隱含條件) ) （a） 12 （b） 6 （c） 6 5 6 或 （d） 12 11 12 或 21、已知a0 , b0 , a+b=1，則(a + a 1 a e a ) 2 + (b + a 1 b e a ) 2的最小值是_。 a 2525 2 2 e a ( (三相等三相等) ) 22、已知x k (k z)，函數(shù)y = sin 2x + a 4 s

20、in 2x e a 的最小值是_。5 5（三相等）（三相等） 23、求 xx y 22 cos 8 sin 2 +=的最小值。 錯解錯解 1 1 |cossin| 8 cos 8 sin 2 2 cos 8 sin 2 2222 xxxxxx y=+= .16,.16 |2sin| 16 min =y x 錯解錯解 2 2 . 261182221)cos cos 8 ()sin sin 2 ( 2 2 2 2 +=+=x x x x y 錯誤分析錯誤分析 在解法 1 中，16=y的充要條件是 . 1 |2sin| cos 8 sin 2 22 =x xx 且 即 . 1 |xsin| 2 1

21、|xtan|=且這是自相矛盾的。.16 min y 在解法 2 中，261+=y的充要條件是 ,22cos2sincos cos 8 sin sin 2 222 2 2 2 =xxx x x x ，即且這是不可能的。 正確解法正確解法 1 1 xxy 22 sec8csc2+= .18 xtan4xcot2210 )xtan4x(cot210 )xtan1 (8)xcot1 (2 22 22 22 = + += += 其中，當.18y2xcotxtan4xcot 222 =時，即.18 min = y 正正 確確 解解 法法 2 2 取正常數(shù)k，易得 kxk x xk x y+=)cos co

22、s 8 ()sin sin 2 ( 2 2 2 2 .268222kkkkk=+ 其中“”取“”的充要條件是 .18k 2 1 xtanxcosk xcos 8 xsink xsin 2 22 2 2 2 =且，即且 因此，當,18kk26y 2 1 xtan 2 =時，.18 min = y 24、已知 a1 = 1，an = an1 + 2 n1(n2)，則 a n = _。2 2 n n 1(1(認清項數(shù)認清項數(shù)) ) 25、已知 9、a1、a2、1 四個實數(shù)成等差數(shù)列，9、b1、b2、b3、1 五個實數(shù)成等比數(shù) 列， 則 b2 (a2a1) = a(a(符號符號) ) (a) 8 (b

23、) 8 (c) a 9 8 e a (d) a 9 8 e 26、已知 an 是等比數(shù)列，sn是其前 n 項和，判斷 sk，s2ksk，s3ks2k成等比數(shù)列嗎？ 當當 q = q = 1 1，k k 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，s sk k = 0= 0，則，則 s sk k，s s2k 2ks sk k，s s3k3ks s2k2k不成等比數(shù)列；不成等比數(shù)列； 當當 q q1 1 或或 q = q = 1 1 且且 k k 為奇數(shù)時，則為奇數(shù)時，則 s sk k，s s2k 2ks sk k，s s3k3ks s2k2k成等比數(shù)列。成等比數(shù)列。 （忽視公比（忽視公比 q = q = 1 1） 27

24、、已知定義在 r 上的函數(shù))(xf和數(shù)列 n a滿足下列條件： 1211 ), . , 4, 3, 2)(,aanafaaa nn = ，f(an)f(an1) = k(anan1)(n = 2,3,)， 其中a為常數(shù)，k 為非零常數(shù)。（1）令 nnn aab= +1 *)(nn，證明數(shù)列 n b是等比數(shù)列； （2）求數(shù)列 n a的通項公式；（3）當1|k時，求 n n a lim。(2004 天津) （等比數(shù)列中的（等比數(shù)列中的 0 0 和和 1 1，正確分類討論），正確分類討論） 28、不等式 m 2(m23m)ic）的準線l與 x 軸相交于點 a，|of|=2|fa|，過點 a 的直線與

25、橢圓相交于 p、q 兩點。 （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若0=oqop，求直線 pq 的方程； （3）設aqap=（1），過點 p 且平行于準線l的直線與橢圓相交于另一點 m，證明 fqfm=。(2004 天津) ( (設方程時漏條件設方程時漏條件a a a 2 2 e a ，誤認短軸是，誤認短軸是b = 2b = 2 a 2 2 e a ；要分析直線；要分析直線pqpq斜率是否存在斜率是否存在( (有時也可以設有時也可以設 為為x = ky + b)x = ky + b)先；對一元二次方程要先看二次項系數(shù)為先；對一元二次方程要先看二次項系數(shù)為 0 0 否，再考慮否，再考慮00，后韋達定

26、理。，后韋達定理。) ) 41、 已知雙曲線的右準線為4=x，右焦點) 0 , 10(f,離心率2=e,求雙曲線方程。 錯解錯解 1 1 .60,40,10, 4 2222 2 =acbac c a x故所求的雙曲線方程為 . 1 6040 22 = yx 錯解錯解 2 2 由焦點)0 ,10(f知,10=c.75, 5, 2 222 =acba a c e 故所求的雙曲線方程為. 1 7525 22 = yx 錯解分析錯解分析 這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個 條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產(chǎn)生錯誤解法。 正解正解 1

27、1 設),(yxp為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為4=x，右焦點)0 ,10(f，離 心率2=e，由雙曲線的定義知 . 2 |4| )10( 22 = + x yx 整理得 . 1 4816 )2( 22 = yx 正解正解 2 2 依題意，設雙曲線的中心為) 0 , (m, 則 = =+ =+ . 2 10 4 2 a c mc m c a 解得 = = = . 2 8 4 m c a ,所以 ,481664 222 =acb 故所求雙曲線方程為 . 1 4816 )2( 22 = yx 42、求與y軸相切于右側(cè)，并與06: 22 =+xyxc也相切的圓的圓心 的軌跡方程。 錯誤解法

28、錯誤解法 如圖 321 所示，已知c 的方程為. 9)3( 22 =+yx 設點)0)(,(xyxp為所求軌跡上任意一點，并且p 與y軸相切于 m 點， 與c 相切于 n 點。根據(jù)已知條件得 3|+= pmcp，即3xy)3x( 22 +=+，化簡得).0(12 2 =xxy 錯誤分析錯誤分析 本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點都滿足條件），而沒有考 慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點都在所求的軌跡上）。事實上，符合題目條件的點的 p c(3,0) y x o 圖圖32 m n 坐標并不都滿足所求的方程。從動圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以x軸正半軸上任一點為圓心， 此點到原點的距離為半徑（不等于 3）的圓也符合條件，所以) 30(0=xxy