2011屆高考數(shù)學(一輪)復習精品學案課件：第9章 算法、推理與證明、復數(shù)―推理與證明

1、學案3 推理與證明,返回目錄,一、合情推理 1.由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）.簡言之，歸納推理是 、 .,由部分到整體,由個別到一般的推理,考點分析,返回目錄,2.由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.簡言之，類比推理是 . 3. 和 都是根據(jù)已有的事實，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理. 二、演繹推理 1.從一般性的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結論

2、，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理 是 . 2.“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：,由特殊到特殊的推理,歸納推理,類比推理,由一般到特殊的推理,返回目錄,（1） 已知的一般原理； （2） 所研究的特殊情況； （3） 根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷. 三、直接證明 1.一般地,利用已知條件和某些數(shù)學 、 、 等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立，這種證明方法叫做綜合法. 2.一般地,從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為 為止,這種證明方法叫做分析法.,大前提,小前提,結論,定義,公理,定理,判定一個明顯成立的條件（已

3、知條件、定理、定義、公理等）,返回目錄,四、間接證明 反證法是間接證明的一種基本方法. 一般地，假設 不成立(即在原命題的條件下,結論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出 ，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法.,原命題,矛盾,五、數(shù)學歸納法 一般地，證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行： （1）（歸納奠基） ； （2）（歸納遞推） . 只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始 的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學歸納法.,假設n=k(kn0,kN*）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立,證明當n取第一個值n0(n0N*)時命題成立,返回目錄

4、,返回目錄,【分析】根據(jù)已知條件和遞推關系，先求出數(shù)列的前幾項，然后總結歸納其中的規(guī)律，寫出其通項,考點一 歸納推理,在數(shù)列an中，a1=1,an+1= (nN+),猜想這個數(shù)列的通項公式.,考點分析,【解析】 an中，a1=1,a2= a3= a4= , 所以猜想an的通項公式an= . 證明如下：因為a1=1,an+1= , 所以 即 所以數(shù)列 是以 =1為首項,公差為 的等差數(shù)列. 所以 . 所以通項公式an= .,返回目錄,【評析】通過歸納推理得出的結論可能正確，也可能不正確，它的正確性需通過嚴格的證明，猜想所得結論即可用演繹推理給出證明.雖然由歸納推理所得出的結論未必是正確的，但它所

5、具有的由特殊到一般、由具體到抽象的認識過程，對于數(shù)學的發(fā)現(xiàn)、科學的發(fā)明是十分有用的.通過觀察實驗，對有限的資料作歸納整理，提出帶有規(guī)律性的猜想，也是數(shù)學研究的基本方法之一，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）.,返回目錄,對應演練,設f(n)=n2+n+41,nN*,計算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10) 的值,同時作出歸納推理,并用n=40驗證猜想是否正確.,返回目錄,返回目錄,f(1)=12+1+41=43, f(2)=22+2+41=47, f(3)=32+3+41=53, f(4)=

6、42+4+41=61, f(5)=52+5+41=72, f(6)=62+6+41=83, f(7)=72+7+41=97, f(8)=82+8+41=113, f(9)=92+9+41=131, f(10)=102+10+41=151. 43,57,53,61,71,83,97,113,131,151都為質(zhì)數(shù), 歸納猜想:當nN*時,f(n)=n2+n+41的值都為質(zhì)數(shù), 當n=40時,f(40)=402+40+41=40(40+1)+41=4141. f(40)的值是合數(shù),因此,由上面歸納推理得到的猜想不正確.,返回目錄,在ABC中，ABAC于A,ADBC于D，求證: ，那么在四面體ABC

7、D中，類比上述結論，你能得到怎樣的猜想，并說明理由.,【分析】首先利用綜合法證明結論正確，然后依據(jù)直角三角形與四面體之間形狀的對比猜想結論，并予以證明.,考點二 類比推理,返回目錄,【證明】如圖11-3-1所示，由射影定理得 AD2=BDDC,AB2=BDBC,AC2=BCDC. 又BC2=AB2+AC2, 猜想：類比ABAC,ADBC猜想四面體ABCD中，AB,AC,AD兩兩垂直,AE平面BCD.則 如圖，連結BE交CD于F，連結AF. ABAC，ABAD, AB平面ACD，而AF面ACD, ABAF.而RtABF中，AEBF, 在RtACD中，AFCD, 故猜想正確.,返回目錄,【評析】根

8、據(jù)兩類不同事物之間具有的某些類似（或一致）性，推測其中一類事物具有與另一類事物類似（或相同）的性質(zhì)，這樣的推理叫類比推理（簡稱類比）.類比推理是由特殊到特殊的一種推理形式，類比的結論可能是真的，也可能是假的，所以類比推理屬于合情推理.雖然類比推理的結論可能為真，也可能為假，但是它由特殊到特殊的認識功能，對于發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律和事實卻十分有用.類比推理應從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進行對比、歸納、提出猜想.平面圖形中的面積與空間圖形中的體積常常是類比的兩類對象. 類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性;（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想

9、）.,返回目錄,返回目錄,對應演練,在等差數(shù)列an中，若a10=0，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，類比上述性質(zhì)，相應地:在等比數(shù)列bn中，若b9=1，則有等式 成立.,返回目錄,b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)(由題設可知，如果am=0，則有a1+a2+an=a1+a2+a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，如果m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然數(shù)，對于等差數(shù)列，則有am+an=ap+aq，而對于等比數(shù)列，則有bmbn=bpbq，所以可以得到結論，若bm=1，則有等式b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)

10、成立，在本題中m=9.),返回目錄,在銳角三角形ABC中，ADBC，BEAC，D,E是垂足.求證：AB的中點M到D,E的距離相等.,考點三 演繹推理,【分析】解答本題需要利用直角三角形斜邊上的中 線性質(zhì)作為大前提.,【證明】（1）因為有一個內(nèi)角是直角的三角形是直角 三角形 大前提 在ABD中，ADBC，即ADB=90 小前提 所以ABD是直角三角形 結論 （2）因為直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 大前提 而M是RtABD斜邊AB的中點，DM是斜邊上的中線 小前提 所以DM= AB. 同理EM= AB.所以DM=EM.,返回目錄,返回目錄,【評析】演繹推理的主要形式就是由大前提、小前提推出

11、結論的三段論推理.三段論推理的依據(jù)用集合論的觀點來講就是：若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性質(zhì)P.三段論的公式中包含三個判斷：第一個判斷稱為大前提，它提供了一個一般的原理；第二個判斷叫小前提，它指出了一個特殊情況;這兩個判斷聯(lián)合起來，揭示了一般原理和特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系,從而產(chǎn)生了第三個判斷結論.演繹推理是一種必然性推理,演繹推理的前提與結論之間有蘊涵關系.因而，只要前提是真實的，推理的形式是正確的，那么結論必定是真實的，但錯誤的前提可能導致錯誤的結論.,返回目錄,對應演練,證明:根據(jù)題意,0 ,0 , 0+,又tan= ,tan= , tan(+)= 0+,

12、+= .,如圖是三個拼在一起的正方形，求證：+= .,返回目錄,【證明】要證 只要證 a0,故只要證,考點四 分析法證明,已知a0,求證:,【分析】所給條件簡單,所證結論復雜,一般采用分析法.,從而只要證 只要證 即 ,而上述不等式顯然成立, 故原不等式成立.,返回目錄,即,返回目錄,【評析】分析法是數(shù)學中常用到的一種直接證明方法,就證明程序來講,它是一種從未知到已知(從結論到題設)的邏輯推理方法.具體地說,即先假設所要證明的結論是正確的,由此逐步推出保證此結論成立的充分條件,而當這些判斷恰恰都是已證的命題 (定義、公理、定理、法則、公式等）或要證命題的已知條件時命題得證.,對應演練,已知0a

13、1,0b1,0c1,求證:,返回目錄,證明:a0,b0,c0, 要證 , 只需證1+ab+bc+caa+b+c+abc, 即1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0. 1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)=(1-a)(1-b)(1-c), 且a1,b1,c1,(1-a)(1-b)(1-c)0, 1+ab+bc+ca-(a+b+c+abc)0成立, .,返回目錄,【分析】不等式中的a,b,c為對稱的，所以從基本的不等式定理入手，先考慮兩個正數(shù)的均值定理，再根據(jù)不等式性質(zhì)推導出證明的結論.,考點五 綜合法證明,已知a,b,c0.求證：a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c

14、).,返回目錄,返回目錄,【證明】a2+b22ab,a0,b0, (a2+b2)(a+b)2ab(a+b). a3+b3+a2b+ab22ab(a+b)=2a2b+2ab2. a3+b3a2b+ab2. 同理:b3+c3b2c+bc2,a3+c3a2c+ac2. 將三式相加得: 2(a3+b3+c3)a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, 3(a3+b3+c3)(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2). a3+b3+c3 (a2+b2+c2)(a+b+c).,【評析】（1）在用綜合法證明不等式時，常利用不等式的基

15、本性質(zhì)，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在運用這些性質(zhì)時，一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件.簡言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)也是三段論式的演繹推理方法. （2）一般問題都是用綜合法解決的，要保證前提條件正確，推理合乎規(guī)律，這樣才能保證結論的正確性.,返回目錄,在銳角三角形ABC中,求證： sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目錄,對應演練,證明:銳角三角形ABC中，A+B , A -B. 0 -BA . 又在（0, ）內(nèi)正弦函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù), sinAsin（ -B）=cosB.即sinAcosB. 同理，sinBcosC, sinCcos

16、A. 由+得 sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC.,返回目錄,【分析】本題結論以“至少”形式出現(xiàn)，從正面思考 有多種形式，不易入手，故可用反證法加以證明.,考點六 反證法證明,若x,y都是正實數(shù)，且x+y2,求證： 或 中至少有一個成立.,返回目錄,【證明】假設 或 都不成立,則有 和 同時成立. 因為x0且y0，所以1+x2y,且1+y2x. 兩式相加，得2+x+y2x+2y. 所以x+y2. 這與已知條件x+y2矛盾. 因此 和 中至少有一個成立.,返回目錄,【評析】（1）當一個命題的結論是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，宜用反證法來證.反證法關鍵是在正

17、確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等方面.反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具，是數(shù)學證明中的一件有力武器. （2）利用反證法證明問題時，要注意與之矛盾的定理不能是用本題的結論證明的定理;否則，將出現(xiàn)循環(huán)論證的錯誤.,返回目錄,已知數(shù)列an的前n項的和Sn滿足Sn=2an-3n(nN*). (1)求證：an+3為等比數(shù)列,并求an的通項公式; (2)數(shù)列an是否存在三項使它們按原順序可以構成等 差數(shù)列?若存在,求出一組適合條件的項;若不存在,請說 明理由.,返回目錄,對應演練,(1)證明:Sn=2an-3n(nN*), a1=S1

18、=2a1-3,a1=3. Sn=2an-3n Sn+1=2an+1-3(n+1), 得an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3, an+1+3=2(an+3), an+3是首項為a1+3=6,公比為2的等比數(shù)列. an+3=62n-1,即an=3(2n-1).,返回目錄,又由,(2)假設數(shù)列an中存在三項ar,as,at(rst),它們可以構成等差數(shù)列. 由(1)知arasat,則2as=ar+at, 6(2s-1)=3(2r-1)+3(2t-1),即2s+1=2r+2t, 2s+1-r=1+2t-r,(*) r,s,t均為正整數(shù)且rst, (*)左邊為偶數(shù)而右邊為奇數(shù), 假設不成立,

19、即數(shù)列an不存在三項使它們按照原順序可以構成等差數(shù)列.,返回目錄,已知數(shù)列an，其中a2=6且 . (1)求a1,a3,a4; (2)求數(shù)列an的通項公式; (3）設數(shù)列bn為等差數(shù)列，其中 且c為不 等于零的常數(shù),若Sn=b1+b2+bn.求,考點七 數(shù)學歸綱法,返回目錄,【分析】數(shù)列an既不是等差數(shù)列，又不是等比數(shù)列，要求其通項公式,只能根據(jù)給出的遞推式和初始值a2，分別計算出a1,a3,a4.然后歸納猜想出通項公式an，并用數(shù)學歸納法加以證明.數(shù)列bn雖然是等差數(shù)列，但無法直接求得b1和公差d，而只能利用遞推式 和an的通項公式，求出參數(shù)c的值，從而求得bn和Sn，利用拆項法求得 的和.

20、,返回目錄,【解析】（1）由題意得a2=6, 解得a1=1,a3=15,a4=28.,返回目錄,（2）由此猜想an=n(2n-1). 下面用數(shù)學歸納法加以證明: 當n=1時，a1=1(2-1)=1結論成立. 假設n=k時，結論正確，即ak=k(2k-1). 則當n=k+1時,有 , 所以(k-1)ak+1=(k+1)ak-(k+1)=(k+1)k(2k-1)-(k+1) =(k+1)(2k2-k-1)=(k+1)(2k+1)(k-1)(k-10). 所以ak+1=(k+1)2(k+1)-1. 即當n=k+1時，結論成立. 由可知，an的通項公式an=n(2n-1).,返回目錄,(3)證明：因為 bn 是等差數(shù)列，所以2b2=b1+b3. 所以 因為a1=1，a2=6,a3=15且c0, 由上式解得c=- ,所以 故Sn=b1+b2+bn=