振型的正交性

1、四、多自由度系統(tǒng)的振動、多自由度無阻尼自由振蕩模式的正交性多自由度的強(qiáng)制振動杠桿系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元動力分析多自由度時間分析方法的結(jié)論和探討：很多工程問題可以作為單自由度問題計算，但是由于具有一盞茶的分析精度，所以一些問題也必須以多自由度進(jìn)行分析。 在等效粘性阻尼理論下，第二章討論了二自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)的運動方程，理論上阻尼矩陣C=Cij，Cij表示j自由度單位速度下I自由度方向的阻尼力。 然而，實際上Cij一般不能確定。 當(dāng)前對多自由度問題的分析通過以下方式得到解決：首先以無衰減的自由振蕩確定諸如頻率、模式等的動力特性，然后利用模式的正交性，并且在衰減矩陣也正交的條件下將多自由度分析分解為模

2、式中的單自由度問題的組合。 重新體現(xiàn)了以未知問題為已知問題的研究方法和思想。 必須用時間分析方法和隨機(jī)振動理論來解決復(fù)雜的負(fù)荷狀況(地震的地面運動等離散負(fù)荷) (第6章)。 因此，首先介紹沒有衰減的自由振蕩。4.1多自由度無衰減自由振蕩、多自由度運動方程式是將無衰減自由振蕩運動方程式將其解設(shè)為Asint，代入運動方程式而獲得的(- 2M K) Asint=0，是為了使系統(tǒng)具有非零振動解，而使用- 2M K=0 (1)或(- 2M K) A=0 (2)上述兩個公式從式(1)展開得到二n次方程式，對于一般的建筑施工結(jié)構(gòu)，求解得到n個實的不均勻的正根，這就是系統(tǒng)的頻度。 但是，一般多從式(2)出發(fā)。

3、4.1自由度多，沒有衰減自由振蕩，式(2)可以改寫為2MA=KA (3)，數(shù)學(xué)上廣義的特征值問題。 為了使其成為標(biāo)準(zhǔn)的實際尺對稱矩陣的特征量，若設(shè)M=(M1/2)TM1/2 (4) M1/2A=X，則A=(M1/2)-1X (5)在代替式(3)的2(M1/2)TX=K(M1/2)-1X (6)方程式的兩側(cè)進(jìn)一步左乘因為-1X (7)記載(m1/2)-1k(m1/2)-1=d(8)k是對稱矩陣，所以根據(jù)式(8)可知d是對稱矩陣. 如果將式(8)代入式(7)，則能夠得到2X=DX (9)、4.1自由度無衰減自由振蕩，式2X=DX (9)是實際對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)特征量問題的方程式，能夠利用在線性代數(shù)中介

4、紹的特征量問題解法來求出d矩陣的特征對2，x，并且能夠根據(jù)式(5)求出廣義的如從數(shù)學(xué)可見，對于建筑施工的一般問題，可以從n階特征方程(3)中獲得n個特征對，即與n個頻率I和I相對應(yīng)的模式Ai。 排列可從小到大結(jié)構(gòu)化的頻譜，將1和a-1分別稱為第一頻率(基頻或基頻)、第一模式。 其他依次稱為第二、第三等頻率、模式。 有任意n自由度問題的自由振蕩解法、結(jié)論，2自由度問題作為其特例，可以用上述解法、思維方法進(jìn)行分析。4.1自由度沒有衰減自由振蕩，對于2自由度問題，可以基于具體的問題用剛性法確立運動方程式，也可以用柔軟度法確立。 因此，教材中基于剛性法和柔性法進(jìn)行了具體的討論，給出了頻率、振動型和剛性

5、系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系和柔性系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系。 我能更好地記住這些個公式，但我覺得不用記住。 重要的是要記住以下基本概念。 1 )在沒有衰減的自由振蕩下-M=Ku，即慣性力和彈性回復(fù)力平衡，它們?yōu)橥辔弧?因此，設(shè)振幅為a，式(3)也可以由列慣性力、復(fù)原力的振幅方程式得到。 2 )在基于依從性法的化學(xué)基的情況下，位移起因于慣性力，依從性法的特征方程式為相同的理由(同相位)，在能夠建立直接振幅方程式并使其與A=2fMA (10) 3具有具體的問題后，重要的是通過正確地確定m、k、f，無論有什么樣的結(jié)構(gòu)，以統(tǒng)一形式使用式(3)或式(3)。 沒有、4.1多自由度衰減自由振蕩，4)2自由度問題n=2。展開特

6、征方程得到二次頻率方程，基于具體的剛度系數(shù)、柔度系數(shù)和質(zhì)量化學(xué)基，求解該頻率方程得到頻率1和2。 5 )將頻率1和2代返回到特征方程式后，只能得到與某個頻率對應(yīng)的位移比(次方程式只能得到比)，能夠?qū)ζ溥M(jìn)行“歸一化”，通常，將最大值設(shè)為1時，能夠得到模式。 6 )自由振蕩的解是將各頻率的簡單共振解多重日式榻榻米而得到的，振幅、相位由質(zhì)量的初始位移、初始速度(n自由度為2n個初始條件)決定。 綜上所述，有m、k、f，其馀的工作主要是數(shù)學(xué)運算。 但是，要熟練，必須在SMCAI中看例子進(jìn)行練習(xí)。 僅限學(xué)期在此不舉例。4.2模式的正交性是，i2MAi=KAi，j2MAj=KAj前式左乘AjT，后式左乘A

7、iT，再減去二式，根據(jù)質(zhì)量、剛性的對稱性得到(i2-j2)AjTMAi=0 (11 )，因此AjTMAi=0 (12 ) j2MAj的物理意義被認(rèn)為是對應(yīng)于第j模式的慣性力振幅，因此式(1.2 )根據(jù)表示對應(yīng)于第j模式的慣性力不在第I模式位移的式(1.2 )和特征方程式能夠立即證明AjTKAi=0 (13 )，這意味著對應(yīng)于第j模式的彈性恢復(fù)力為、4.2模式的正交性、式(1.2 )和式(1.3 )在數(shù)學(xué)上不同的模式加權(quán)質(zhì)量、剛性而正交。 即，振蕩型具有正交性。 根據(jù)第I模式振幅方程式，i2AiTMAi=AiTKAi (14 )符號Mi*=AiTMAi (15 )可稱為第I模式廣義質(zhì)量，Ki*=

8、AiTKAi (16 )可稱為第I模式廣義剛性。 i2=Ki*/Mi* (17 )，即第I頻率的平方可通過廣義上的剛性和質(zhì)量如單自由度地求出。 式(1.2 )和式(1.3 )是最基本和最常用的正交關(guān)系。 關(guān)于4.2模式的正交性，由于i2MAi=KAi (a )的兩邊對云同步乘以左AjTKM-1，所以I2aj tkm-1 mai=I2aj tkm-1 kai=0(b )式(a )的兩邊對云同步乘以左AjTKM-1KM-1 當(dāng)以2ai=0(c )的思維方法繼續(xù)進(jìn)行左乘法時，與AjTK(M-1K)nAi=0 (18 )同樣，在AjTM(K-1M)nAi=0 (19 )式(1.8 )和式(1.9 )中

9、，能夠證明n是正整數(shù)。 這些個也可以組合為一個公式，但請考慮如何整合。這是一個更常見的正交關(guān)系。4.2模式的正交性、式(1.2 )與(1.3 )或者式(1.8 )與(1.9 )的正交性在多自由度分析中具有非常重要的作用，應(yīng)該深入理解。 利用正交性可以做如下工作：1)在正確確定k，m的基礎(chǔ)上，用它來驗證振動型計算的精準(zhǔn)性。 2 )可在已知模式、k、m的條件下確定對應(yīng)于每一模式的頻率。 3 )可以將任意的位移以正交性分解為振動型的組合。 例如有位移y，能夠?qū)=ciAi，ci設(shè)為組合系數(shù)。 由于在方程式的兩側(cè)有在云同步上進(jìn)行左乘法的AjTM，根據(jù)正交性，有AjTMy=cjMj* (d )，所以能夠

10、求出組合系數(shù)cj，如果替換y=ciAi，則得到按照模式進(jìn)行分解的結(jié)果。 可以將、4.2模式的正交性、4 )多自由度問題作為單自由度問題來解決。 實際上，假設(shè)u(t)=yi(t)Ai，則通過對代入運動方程式的Mi(t)Ai K yi(t)Ai=0 (e )方程式的兩側(cè)乘以AjT的正交性，從Mj*j(t) Kj*yi(t)=0 (20 )式(2.0 )得到通過取代多自由度假設(shè)的解，可以在u(t)=aisin(it ci)Ai (21) 5)式(2.1 )中的保留常數(shù)ai、ci由初始條件來決定。 如何決定請用自各兒考慮。 6 )正交性是壓迫振動分析的基礎(chǔ)。4.3自由度的壓迫振動、4.3.1自由度的壓

11、迫振動的模式分解法自由度自由負(fù)荷下運動方程式，如前節(jié)4 )所示，將u=yi(t)Ai，即位移分解為各模式的組合，將組合系數(shù)yi(t )稱為廣義坐標(biāo)。 如果Mi(t)Ai Ci(t)Ai Kyi(t)Ai=P(t) (a )衰減矩陣對于該模式不正交，即，AjTCAi0 (b )，則方程(a )成為聯(lián)立的差分方程并且難以求解。因此，通常引入正交衰減假設(shè)，瑞利(Rayleigh )比例衰減被稱為C=0M 1K (22 )，認(rèn)為衰減與系統(tǒng)的質(zhì)量、剛性成比例，因此0對1由模式正交性由衰減比I，j和頻率I，j決定(操作)。 在、4.3自由度的強(qiáng)制振動、正交衰減的假定下，在AiTCAi=Ci* (23 )式

12、(a )的兩側(cè)對云同步乘以AiT，則mi* I (t ) ci* I (t ) ki* yi (t )=aitp (t ) (2.4 )中的mi *、ci *、ki *分別為第I摩單自由度方程mi * I (t ) ci * ki * yi(t )=pi * (t ) (2.6 ) Duhamel積分，其中，第I模式的廣義載荷是AiTP(t)=Pi*(t) (25 )式(2.4 )是廣義坐標(biāo)yi (t )，可以求出式(2.6 )的解答，u=yi 如果P(t)=Pf(t) (27 )，則將Pi*(t)=AiTPf(t)=Pi*f(t) (c )上述i=AiTP/Mi*=Pi*/Mi* (28 )

13、稱為第I模式的模式參考系數(shù)。 其中，在零初始條件下，mi * I * I * ki * yi (t )=imi * f (t ) (2.9 )或i(t) 2iii(t) i2yi(t)=if(t) (30 )的廣義坐標(biāo)取代u=yi(t)Ai i(t )被稱為第I模型的廣義位移。 (3.1 )、(3.2 )、4.3自由度的強(qiáng)制振動、4.3.2簡并性載荷下的強(qiáng)制振動反應(yīng)如果將動載荷(基于旋轉(zhuǎn)機(jī)械的)設(shè)為P(t)=Psint (33 )，則可根據(jù)式(2.8 )求出各模式的模式參加系數(shù)I，僅研究穩(wěn)態(tài)振動，求出i=i、d (基于衰減的頻率單自由度的結(jié)果廣義的位移在i(t)=isin(it-i)/i2 (

14、34 )式(3.4 )中，I是第I模式動力系數(shù)i=(1-i2)2 4i2i2-1/2 (35 )，I是第I模式頻率比(i=/i )，I是第I模式相位角tgi=2i /。 在代入Ai，沒有u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )的舞蹈大頭針的情況下，當(dāng)然被認(rèn)為是有舞蹈大頭針的情況下的特例，在上述結(jié)果中設(shè)為i=0。 在、4.3自由度的壓迫振動、4.3.3簡單的調(diào)和負(fù)荷的壓迫振動反應(yīng)分析程序動載荷是Psint或Pcost的情況下，多自由度系統(tǒng)的穩(wěn)定反應(yīng)分析可以按照以下的程序進(jìn)行1 )決定系統(tǒng)質(zhì)量m、剛性k (或柔軟度f )沉積基質(zhì)。 2 )求出沒有跳大頭針自由振動的模式Ai、頻率I。

15、3 )獲得衰減比1和2以及頻率1和2的瑞利衰減的0和1。 4 )求出I模式參照系數(shù)i=AiTP/AiTMAi。 5 )求出I模式衰減比i=1/2(0/i 1i) 6)，求出I模式動力系數(shù)i=(1-i2)2 4i2i2-1/2。 7 )求出I模式相位角i=arctg2i/i(1-i2)。 8 )求出I模型廣義位移i(t)=isin(it-i)/i2。 9 )將各模式的廣義位移代入u=ii(t)Ai，最終u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )、4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析、4.4.1基本原理對動力問題、單元位移場表示為d=Nde，當(dāng)前d=d(x，t )、de=。 假設(shè)桿針織面料的密

16、度以微階慣性力-aAdx為體積力，該單針織面料載荷的總虛功為(3.8 )，導(dǎo)入單針織面料一致質(zhì)量矩陣me，根據(jù)(3.9 )、(4.4 )桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析、式(3.9 )代入形函數(shù)并積分，對質(zhì)量均勻分布的平面彎曲單元針織面料，將單元一致質(zhì)量矩陣me除以(40 ) 、4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析，在沒有阻尼大頭針的情況下，能夠使用虛位移原理對尤針織面料剛性方程式進(jìn)行分析，能夠從該“尤針織面料剛性方程式”(注意：當(dāng)前的分析相對于尤針織面料的局部坐標(biāo)系)經(jīng)過坐標(biāo)變換、整體集合(定位矢量“指定席”)得到有限元的運動方程式， 考慮到(4.1 )、(4.2 )和阻尼大頭針，利用瑞利大頭針，能由結(jié)構(gòu)一致

17、質(zhì)量矩陣m和結(jié)構(gòu)剛性矩陣k建立結(jié)構(gòu)阻尼大頭針矩陣c。4.4桿系構(gòu)造有限要素動力解析，4.4.2點說明1 )載荷不作用于尤針織面料，作為尤針織面料位移場，僅產(chǎn)生尤針織面料位移的形函數(shù)是一般的近似處理。 2 )結(jié)構(gòu)一致質(zhì)量矩陣和結(jié)構(gòu)剛性矩陣的零以外的要素分布相同。 3)Clough教授指出，關(guān)于框架建筑，如果將部件的一半質(zhì)量集中在活塞桿前端，用集中質(zhì)量法計算的話，不僅能夠在處理后減少未知數(shù)的個數(shù)(自由度)，而且多數(shù)情況下精度良好。4 )如果采用集中質(zhì)量法，則假定m中的對應(yīng)旋轉(zhuǎn)自由度的相對折角線元素(慣性矩)為0并且位移查詢密碼最后集中旋轉(zhuǎn)自由度，那么dunning -大頭針運動方程式的子搖滾樂形式以M1 K11u K12=R1 K21u K22=R2消除，并僅獲得線位移自由度的方程式。4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析，4.4.2點說明5 )分析時采用集中質(zhì)量法，如不考慮軸向變形，則集成后的最終質(zhì)量矩陣為各層質(zhì)量對角陣的形式。 這是當(dāng)前桿模型的一般計算方案。 6 )上述桿系模型的計算步驟，質(zhì)量矩陣簡單。 但是，在集體形成剛性沉積基質(zhì)時，進(jìn)行4 )中所述的“靜力縮聚”。 在R2=0的情況下