微分方程模型0.ppt

1、微分方程 模 型,馬 戈,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？,解法一（解析法）,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,由(1),(2)消去t整理得模型:,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,解法二(數(shù)值解),令y1=y,y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組。,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy

2、(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x);,2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*),結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解),設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,3因乙艦以速度v0沿直線x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y=t,導(dǎo) 彈 追 蹤

3、 問 題,4. 解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程,建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2);,取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-)， hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,5. 結(jié)果見下圖1,導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與

4、前面的結(jié)論一致.,圖1,圖2,在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,直到tf=0.21時(shí)，得圖2.,結(jié)論：時(shí)刻t=0.21時(shí)，導(dǎo)彈在（1，0.21）處擊中乙艦。,導(dǎo) 彈 追 蹤 問 題,慢跑者與狗,一個(gè)慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻擊他. 這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢跑者,狗的運(yùn)動(dòng)方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時(shí)狗的運(yùn)動(dòng)軌跡.,1. 模型建立,設(shè)時(shí)刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).,則X=10+20c

5、ost, Y=20+15sint, 狗從(0,0)出發(fā),與導(dǎo)彈追蹤問題類似，建立狗的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程:,慢跑者與狗,2. 模型求解,function dy=eq3(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,w=20時(shí),慢跑者與狗,建立m-文件eq3.m如下:,取t0=0，tf=10，建立主程序cha

6、se3.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 2.5, 3.5,至3.15時(shí),狗剛好追上慢跑者.,慢跑者與狗,function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2

7、)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);,(2) w=5時(shí),建立m-文件eq4.m如下:,慢跑者與狗,取t0=0，tf=10，建立主程序chase4.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*),在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=20, 40, 80

8、, 可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者.,慢跑者與狗,地中海鯊魚問題,意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚類種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚類捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚等的比例有明顯增加（見下表），而供其捕食的食用魚的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚量下降，食用魚增加，鯊魚等也隨之增加，但為何鯊魚的比例大幅增加呢？,地中海鯊魚問題,他無法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問題.,相關(guān)數(shù)據(jù)表：,地中海鯊魚問題,該 模型反映了在沒有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒

9、有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型.,地中海鯊魚問題,3模型建立與求解,模型（一） 不考慮人工捕獲,針對(duì)一組具體的數(shù)據(jù)用Matlab軟件進(jìn)行計(jì)算.,地中海鯊魚問題,首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);,其次，建立主程序shark.m如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2),地中海鯊魚問題,求 解 結(jié) 果：,左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系。 可以猜測(cè)： x1（t）與x2（t）都是周期函數(shù)。,模型（二） 考慮人工捕獲,設(shè)表示捕獲能力的系數(shù)為e，相當(dāng)于食餌的自然增長(zhǎng)率由r1 降為r1-e，捕食者的死亡率由r2 增為 r2+e,地中海鯊魚問題,地中海鯊魚問題,設(shè)戰(zhàn)前捕獲能力系數(shù)e=0.3, 戰(zhàn)爭(zhēng)中降為e=0.1, 則戰(zhàn)前與戰(zhàn)爭(zhēng)中的模型分別為:,模