控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

1、第五章，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，5.1引言，自動控制系統(tǒng)要想正常工作，首先必須是一個穩(wěn)定的系統(tǒng)。穩(wěn)定性的定義是：當(dāng)系統(tǒng)受到外界干擾時，它的平衡明顯被破壞，但在外界干擾消除后，它仍有能力自動繼續(xù)工作在平衡狀態(tài)。1892年，俄羅斯學(xué)者亞歷山大米哈伊洛夫奇李亞普諾夫(Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918)在他的博士論文運(yùn)動穩(wěn)定性的一般問題中給出了系統(tǒng)或系統(tǒng)運(yùn)動穩(wěn)定性的嚴(yán)格定義，并提出了解決穩(wěn)定性問題的一般理論，即李亞普諾夫穩(wěn)定性理論。該理論基于系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方法，是適用于單變量、多變量、線性、非線性、穩(wěn)態(tài)和時變系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的通用方法，是現(xiàn)代穩(wěn)定性理論

2、的重要基礎(chǔ)和現(xiàn)代控制理論的重要組成部分。李亞普諾夫把判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題歸結(jié)為兩種方法，即李亞普諾夫第一方法和李亞普諾夫第二方法。李雅普諾夫第一方法(簡稱李氏第一方法或間接方法)是通過求解系統(tǒng)的微分方程，然后判斷解的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其基本思想和分析方法與經(jīng)典控制理論相一致。對于線性時不變系統(tǒng)，穩(wěn)定性只能通過求解所有特征根來判斷。對于非線性系統(tǒng)，采用微偏線性化方法，即通過分析非線性微分方程的線性近似方程來判斷穩(wěn)定性，因此只能在接近平衡狀態(tài)的小范圍內(nèi)判斷穩(wěn)定性。李雅普諾夫第二方法(簡稱李氏第二方法或直接方法)的特點(diǎn)是不需要求解系統(tǒng)的微分方程就可以分析和判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這種方法是基于能量的

3、觀點(diǎn)：如果系統(tǒng)的某個平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則系統(tǒng)存儲的能量將隨著時間的增加而衰減，直到系統(tǒng)向平衡態(tài)移動并且能量趨于最小。因此，李亞普諾夫創(chuàng)造了一個“廣義能量”函數(shù)，它可以模擬系統(tǒng)的能量，并根據(jù)這個標(biāo)量函數(shù)的性質(zhì)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于這種方法不需要求解微分方程就可以直接判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以也稱為直接法。它的最大優(yōu)點(diǎn)在于它適用于任何復(fù)雜系統(tǒng)，并且它比求解運(yùn)動方程困難的高階系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)和時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析更優(yōu)越。5.2李雅普諾夫穩(wěn)定性的基本概念。李雅普諾夫穩(wěn)定性理論討論了動力系統(tǒng)各平衡態(tài)附近的局部穩(wěn)定性。它是一種普遍的穩(wěn)定性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性系統(tǒng)、時變系統(tǒng)和分布參數(shù)

4、系統(tǒng)。5.2.1平衡態(tài)，穩(wěn)定性是系統(tǒng)在平衡態(tài)被擾動后自由運(yùn)動的性質(zhì)，與外界輸入無關(guān)。對于系統(tǒng)的自由運(yùn)動，假設(shè)輸入u=0，系統(tǒng)的齊次狀態(tài)方程為(51)，其中x是一個n維狀態(tài)向量，明確包含一個時間變量t；它是一個線性或非線性、常數(shù)或時變的N維向量函數(shù)，其展開式為(52)，式(51)的解為(53)，它是狀態(tài)向量的初始時間和初始值。公式(53)描述了系統(tǒng)公式(51)在N維狀態(tài)空間中的狀態(tài)軌跡。如果在方程(51)所描述的系統(tǒng)中有一個狀態(tài)點(diǎn)，當(dāng)系統(tǒng)移動到這個點(diǎn)時，系統(tǒng)狀態(tài)的分量將保持平衡，不會隨時間而變化，也就是說，這種狀態(tài)點(diǎn)就是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，也就是說，如果方程(51)中有一個狀態(tài)向量，如果方程(54)

5、在所有時間t都成立，它將被稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。等式(54)是用于確定由等式(51)描述的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)的等式。平衡狀態(tài)是指狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)向量在狀態(tài)空間中為零向量的點(diǎn)(狀態(tài))。由于導(dǎo)數(shù)所代表的狀態(tài)的運(yùn)動方向，平衡狀態(tài)是指能夠保持平衡和維持現(xiàn)狀而不運(yùn)動的狀態(tài)。李雅普諾夫穩(wěn)定性研究中平衡態(tài)(鄰域)附近的運(yùn)動變化問題。如果平衡態(tài)附近足夠小的鄰域內(nèi)所有態(tài)的運(yùn)動最終趨向于平衡態(tài)，則稱平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的；如果它發(fā)散，它被稱為不穩(wěn)定，如果它能在接近平衡狀態(tài)的鄰域內(nèi)保持運(yùn)動變化，它被稱為穩(wěn)定。平衡態(tài)(鄰域)附近的運(yùn)動變化圖，例51設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為，求其平衡態(tài)。解：它的平衡態(tài)應(yīng)該滿足平衡方程(54)，也就是說，

6、當(dāng)它被求解時，有三個孤立的平衡態(tài)，5.2.2范數(shù)和球，它們被定義為測量N維空間中點(diǎn)之間的距離。對于N維空間中任意兩點(diǎn)的和，它們之間距離的范數(shù)被寫成。1、定額：2、定額：是工程中常用的。在N維狀態(tài)空間中，如果由具有中心和半徑的點(diǎn)組成的空間體被稱為超球，那么，當(dāng)它小時，意味著(56)，它被稱為的鄰域。因此，如果有，就意味著。類似地，如果方程(51)的解位于球體中，那么(57)表明由齊次方程中的初始狀態(tài)或瞬態(tài)擾動引起的自由響應(yīng)應(yīng)該是有界的。，5.2.3李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義，1。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，在H的鄰域內(nèi)，如果任意給定。如果有一個對應(yīng)于每一個，從而當(dāng)t趨于無窮大時，從開始的軌跡不脫離，那

7、么公式(51)的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義上被認(rèn)為是穩(wěn)定的。一般來說，實(shí)數(shù)與t0有關(guān)。如果與t0無關(guān)，此時的平衡態(tài)稱為一致穩(wěn)定平衡態(tài)。上面的定義意味著：首先，選擇一個球體，并且對應(yīng)于每個球體，必須有一個球體，這樣當(dāng)t趨于無窮大時，從s開始的軌跡就不會離開球體。漸近穩(wěn)定(經(jīng)典控制理論中穩(wěn)定性的定義)。如果平衡狀態(tài)在李雅普諾夫意義上是穩(wěn)定的，并且從區(qū)域S()的任何軌跡開始，當(dāng)時間T趨于無窮大時，它不偏離S()并且收斂到，那么公式(4.1)的系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，其中球體S()被稱為。類似地，如果它與t0無關(guān)，則此時的平衡狀態(tài)被稱為一致漸近穩(wěn)定。事實(shí)上，漸近穩(wěn)定性比李雅普諾夫穩(wěn)定性更重要。

8、考慮到非線性系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性是一個局部概念，簡單地確定漸近穩(wěn)定性并不意味著系統(tǒng)能夠正常工作。通常需要確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引區(qū)域。這是狀態(tài)空間中出現(xiàn)漸近穩(wěn)定軌跡的部分。換句話說，在吸引域中出現(xiàn)的每個軌跡都是漸近穩(wěn)定的。大規(guī)模漸近穩(wěn)定性對于所有狀態(tài)(狀態(tài)空間中的所有點(diǎn))，如果從這些狀態(tài)開始的軌跡是漸近穩(wěn)定的，則平衡狀態(tài)被稱為大規(guī)模漸近穩(wěn)定性。換句話說，如果公式(51)的系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)的吸引區(qū)域是整個狀態(tài)空間，那么該系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在大范圍內(nèi)是漸近穩(wěn)定的。顯然，大規(guī)模漸近穩(wěn)定的必要條件是在整個狀態(tài)空間中只有一個平衡態(tài)。在控制工程問題中，人們總是期望系統(tǒng)具有大規(guī)模漸近穩(wěn)定的特性。如果平衡

9、態(tài)在大范圍內(nèi)不是漸近穩(wěn)定的，那么問題就轉(zhuǎn)化為確定漸近穩(wěn)定的最大范圍或吸引域，這通常是非常困難的。然而，對于所有的實(shí)際問題，只要確定一個足夠大的漸近穩(wěn)定的吸引區(qū)域就足夠了，這樣擾動就不會超過它。4.不穩(wěn)定。如果實(shí)數(shù)0和任何實(shí)數(shù)0在S()中總是存在一個狀態(tài)，不管這兩個實(shí)數(shù)有多小，因此從這個狀態(tài)開始的軌跡最終將脫離S()，那么平衡狀態(tài)被稱為不穩(wěn)定。注意，由于上述定義不能詳細(xì)解釋容許初始條件的確切吸引域，除非s()對應(yīng)于整個狀態(tài)平面，這些定義只能應(yīng)用于平衡態(tài)的鄰域。平衡狀態(tài)和對應(yīng)于穩(wěn)定性的典型軌跡。平衡態(tài)和典型軌跡對應(yīng)漸近穩(wěn)定，平衡態(tài)和典型軌跡對應(yīng)不穩(wěn)定，線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性概念和李雅普諾夫意義，5.3李

10、雅普諾夫穩(wěn)定性定理，5.3.1李雅普諾夫第一方法，基本思想是：首先線性化非線性系統(tǒng)，然后計算線性化方程的特征值，最后根據(jù)線性化方程的特征值判斷原非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。假設(shè)非線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(58)或?qū)懗?59)，將非線性函數(shù)展開成平衡態(tài)附近的泰勒級數(shù)，那么、(510)是常數(shù)、第一項(xiàng)的系數(shù)和所有高階項(xiàng)的和。因此，線性化方程是(511)，其中(512)是雅可比矩陣。定理51如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值都有負(fù)實(shí)部，那么原非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)總是漸近穩(wěn)定的，并且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)無關(guān)。定理52如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的至少一個特征值具有正實(shí)部，則不管高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)如何，原始非線性系統(tǒng)的平

11、衡狀態(tài)總是不穩(wěn)定的。定理53如果線性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A具有實(shí)部為零的特征值，而其他特征值的實(shí)部都是負(fù)的，那么原始非線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性取決于這種臨界情況下的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，它可能是不穩(wěn)定的或穩(wěn)定的。此時，線性化的方程不再能用來表征原始非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果定義域中存在所有非零狀態(tài)，并且存在at，則定義域中的標(biāo)量函數(shù)(定義域包含狀態(tài)空間的原點(diǎn))稱為正定函數(shù)。如果時變函數(shù)有一個恒定的正定函數(shù)作為它的下限，那么就有一個正定函數(shù)，因此對于所有(513)和所有(514)，時變函數(shù)在域(包括狀態(tài)空間的原點(diǎn))中被稱為是正定的。1.標(biāo)量函數(shù)的符號和性質(zhì)1。標(biāo)量函數(shù)的正定性4。標(biāo)量函數(shù)的負(fù)半定性如果-是正半定

12、函數(shù)，那么該標(biāo)量函數(shù)稱為負(fù)半定函數(shù)。標(biāo)量函數(shù)的負(fù)定性如果-是一個正定函數(shù)，那么這個標(biāo)量函數(shù)稱為負(fù)定函數(shù)。正半定標(biāo)量函數(shù)如果域中除原點(diǎn)之外的所有狀態(tài)都是正定的，并且一些狀態(tài)等于零，則稱之為正半定標(biāo)量函數(shù)。標(biāo)量函數(shù)的不確定性如果一個標(biāo)量函數(shù)在一個域中可以是正的或負(fù)的，不管這個域有多小，它就被稱為不定標(biāo)量函數(shù)。1.正定2。正半定3。負(fù)定4。不定5。正定1。在基于李雅普諾夫第二方法的二次型穩(wěn)定性分析中，一類標(biāo)量函數(shù)起著重要作用，即二次型函數(shù)。例如，(515)注意這里是一個實(shí)向量和一個實(shí)對稱矩陣。2復(fù)二次型或埃爾米特型如果它是一維復(fù)向量和埃爾米特矩陣，那么復(fù)二次型函數(shù)稱為埃爾米特型函數(shù)。例如，(516)

13、在基于狀態(tài)空間的穩(wěn)定性分析中，經(jīng)常使用埃爾米特型而不是二次型，因?yàn)榘柮滋匦捅榷涡透话?對于實(shí)向量x和實(shí)對稱矩陣p，埃爾米特型等于二次型)。二次型或埃爾米特型的正定性可用西爾威斯特準(zhǔn)則來判斷。根據(jù)該準(zhǔn)則，當(dāng)且僅當(dāng)二次型或埃爾米特型是正定的，矩陣P的所有主行列式都是正的，即(517)注意它是的復(fù)共軛。對于二次型。如果p是一個奇異矩陣，并且它的所有主行列式都是非負(fù)的，那么它就是半正定的。如果-是正定的，它就是負(fù)定的。類似地，如果-是正半定的，它就是負(fù)半定的。本文試圖分析一個已知的具有常數(shù)的非線性系統(tǒng)的平衡態(tài)的穩(wěn)定性。，計算，從特征方程，得到，讓，當(dāng)，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的；如果它的穩(wěn)定性不能用一次近

14、似來判斷。5.3.3李雅普諾夫第二方法的基本思想是通過定義和分析平衡態(tài)附近運(yùn)動態(tài)的廣義能量函數(shù)來分析平衡態(tài)的穩(wěn)定性。平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的，可以通過考察能量函數(shù)是否隨時間衰減來確定。1.在漸近穩(wěn)定性方面，對于給定的系統(tǒng)，如果能夠得到具有正定性的標(biāo)量函數(shù)，并且沿軌跡的時間的全導(dǎo)數(shù)總是負(fù)的，那么C值將隨著時間的增加而變得越來越小。隨著時間的進(jìn)一步增長，它最終會變成零，而且也趨于零。這意味著狀態(tài)空間的原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。定理54(漸近穩(wěn)定性定理)認(rèn)為，在下面的非線性系統(tǒng)(524)中，如果存在一個對所有(525)都具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，并且滿足以下條件：1 .正定的；2.原點(diǎn)的平衡態(tài)是(一致)漸近穩(wěn)定的。3.此外，如果(徑向無限)，原點(diǎn)的平衡態(tài)在大范圍內(nèi)一致漸近穩(wěn)定。請注意，如果它不是負(fù)