高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧總結(jié)

1、解圓錐曲線問題的常用方法大全 1、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1 r2=ed2。 （2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，當(dāng)r1r2時(shí)，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將 半徑與“點(diǎn)到準(zhǔn)線距離”互相轉(zhuǎn)化。 （3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。2、韋達(dá)定理法 因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之

2、一，尤其是弦中點(diǎn)問題，弦長問題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用。 3、解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個端點(diǎn)a(x1,y1),b(x2,y2),弦ab中點(diǎn)為m(x0,y0)，將點(diǎn)a、b坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見的“設(shè)而不求”法，具體有： （1）與直線相交于a、b，設(shè)弦ab中點(diǎn)為m(x0,y0)，則有。 （2）與直線l相交于a、b，設(shè)弦ab中點(diǎn)為m(x0,y0)則有（3）y2=2px（

3、p0）與直線l相交于a、b設(shè)弦ab中點(diǎn)為m(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.【典型例題】例1、(1)拋物線c:y2=4x上一點(diǎn)p到點(diǎn)a(3,4)與到準(zhǔn)線的距離和最小,則點(diǎn) p的坐標(biāo)為_ (2)拋物線c: y2=4x上一點(diǎn)q到點(diǎn)b(4,1)與到焦點(diǎn)f的距離和最小,則點(diǎn)q的坐標(biāo)為 。分析：（1）a在拋物線外，如圖，連pf，則，因而易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a、p、f三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。（2）b在拋物線內(nèi)，如圖，作qrl交于r，則當(dāng)b、q、r三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。解：（1）（2，）連pf，當(dāng)a、p、f三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)af的方程為 即 y=2(x-1),代入y2=4x得p(2,2)，（注：

4、另一交點(diǎn)為()，它為直線af與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去）（2）（）過q作qrl交于r，當(dāng)b、q、r三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，q()點(diǎn)評：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個典型例題，請仔細(xì)體會。例2、f是橢圓的右焦點(diǎn)，a(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，p為橢圓上一動點(diǎn)。（1）的最小值為 （2）的最小值為 分析：pf為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑或準(zhǔn)線作出來考慮問題。解：（1）4- 設(shè)另一焦點(diǎn)為，則(-1,0)連a,p 當(dāng)p是a的延長線與橢圓的交點(diǎn)時(shí), 取得最小值為4-。（2）3 作出右準(zhǔn)線l，作phl交于h，因a2=4，b2=3，c2=1，

5、a=2，c=1，e=，當(dāng)a、p、h三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為例3、動圓m與圓c1:(x+1)2+y2=36內(nèi)切,與圓c2:(x-1)2+y2=4外切,求圓心m的軌跡方程。分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“圖形特征”：兩個圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線（如圖中的a、m、c共線，b、d、m共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑”（如圖中的）。解：如圖， （*）點(diǎn)m的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15軌跡方程為點(diǎn)評：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！例4、abc中，b(-5,0),c(5

6、,0),且sinc-sinb=sina,求點(diǎn)a的軌跡方程。分析：由于sina、sinb、sinc的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2r（r為外接圓半徑），可轉(zhuǎn)化為邊長的關(guān)系。解：sinc-sinb=sina 2rsinc-2rsinb=2rsina即 （*）點(diǎn)a的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）2a=6，2c=10a=3， c=5， b=4所求軌跡方程為 （x3）點(diǎn)評：要注意利用定義直接解題，這里由（*）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長為3的線段ab的兩個端點(diǎn)在y=x2上移動，ab中點(diǎn)為m，求點(diǎn)m到x軸的最短距離。分析：（1）可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)a(x1,x12)，b(x2，x22

7、)，又設(shè)ab中點(diǎn)為m(x0y0)用弦長公式及中點(diǎn)公式得出y0關(guān)于x0的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）m到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮m到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè)a(x1，x12)，b(x2，x22)，ab中點(diǎn)m(x0，y0)則由得(x1-x2)21+(x1+x2)2=9即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得 (2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9， 當(dāng)4x02+1=3 即 時(shí)，此時(shí)法二：如圖， 即， 當(dāng)ab經(jīng)過焦點(diǎn)f時(shí)取得最小值。m到x軸的最短距離為點(diǎn)評：解法一是

8、列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關(guān)于x0的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)m到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為a、b到準(zhǔn)線的距離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒有驗(yàn)證ab是否能經(jīng)過焦點(diǎn)f，而且點(diǎn)m的坐標(biāo)也不能直接得出。例6、已知橢圓過其左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓及準(zhǔn)線從左到右依次變于a、b、c、d、設(shè)f(m)=,（1）求f(m),（2）求f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)

9、算，因a、b來源于“不同系統(tǒng)”，a在準(zhǔn)線上，b在橢圓上，同樣c在橢圓上，d在準(zhǔn)線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可得防 此時(shí)問題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。解：（1）橢圓中，a2=m，b2=m-1，c2=1，左焦點(diǎn)f1(-1,0)則bc:y=x+1,代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0(2m-1)x2+2mx+2m-m2=0設(shè)b(x1,y1),c(x2,y2),則x1+x2=-（2）當(dāng)m=5時(shí)， 當(dāng)m=2時(shí)，點(diǎn)評：此題因最終需求，而bc斜率已知為1，故可也用“點(diǎn)差法”設(shè)bc中點(diǎn)為m(x0,y0),通過將b、

10、c坐標(biāo)代入作差，得，將y0=x0+1，k=1代入得，可見當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對的認(rèn)識，通過線段在x軸的“投影”發(fā)現(xiàn)是解此題的要點(diǎn)?！就骄毩?xí)】1、已知：f1，f2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過f1作直線交雙曲線左支于點(diǎn)a、b，若，abf2的周長為（ ）a、4a b、4a+m c、4a+2m d、4a-m 2、若點(diǎn)p到點(diǎn)f(4,0)的距離比它到直線x+5=0的距離小1，則p點(diǎn)的軌跡方程是 （ ）a、y2=-16x b、y2=-32x c、y2=16x d、y2=32x3、已知abc的三邊ab、bc、ac的長依次成等差數(shù)列，且，點(diǎn)b、c的坐標(biāo)分別為(-1，0)，(1，0)，則頂點(diǎn)a的軌跡方程是（ ）a

11、、 b、 c、 d、4、過原點(diǎn)的橢圓的一個焦點(diǎn)為f(1，0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是 （ ）a、 b、c、 d、5、已知雙曲線上一點(diǎn)m的橫坐標(biāo)為4，則點(diǎn)m到左焦點(diǎn)的距離是 6、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中點(diǎn)的軌跡方程是 7、已知拋物線y2=2x的弦ab所在直線過定點(diǎn)p(-2，0)，則弦ab中點(diǎn)的軌跡方程是 8、過雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長為 9、直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)個數(shù)只有一個，則k= 10、設(shè)點(diǎn)p是橢圓上的動點(diǎn)，f1，f2是橢圓的兩個焦點(diǎn)，求sinf1pf2的最大值。11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)

12、到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線l與此橢圓相交于a、b兩點(diǎn)，且ab中點(diǎn)m為(-2，1)，求直線l的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線及其漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為a、b、c、d。求證：?！緟⒖即鸢浮?1、c，選c2、c點(diǎn)p到f與到x+4=0等距離，p點(diǎn)軌跡為拋物線 p=8開口向右，則方程為y2=16x，選c3、d，且點(diǎn)a的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又a、b、c三點(diǎn)不共線，即y0，故選d。4、a設(shè)中心為(x，y)，則另一焦點(diǎn)為(2x-1，2y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為4得， 又ca,(x-1)2+y2)7、y2=x+2(x2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，a

13、b中點(diǎn)m(x，y)，則，即y2=x+2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)p，即y22x，即x+228、4，令代入方程得8-y2=4y2=4，y=2，弦長為49、y=kx+1代入x2-y2=1得x2-(kx+1)2-1=0(1-k2)x2-2kx-2=0得4k2+8(1-k2)=0，k=1-k2=0得k=110、解：a2=25，b2=9，c2=16設(shè)f1、f2為左、右焦點(diǎn)，則f1(-4，0)f2(4，0)設(shè)則 2-得2r1r2(1+cos)=4b2 1+cos= r1+r2， r1r2的最大值為a21+cos的最小值為，即1+coscos， 則當(dāng)時(shí)，sin取值得最大值1，即sinf1pf2的最大值為1。11

14、、設(shè)橢圓方程為由題意：c、2c、成等差數(shù)列，a2=2(a2-b22ddfff2+2222222大案要案 000),a2=2b2橢圓方程為，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)則 -得2222222即 k=1直線ab方程為y-1=x+2即y=x+3， 代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0得x2+2(x+3)2-2b2=03x2+12x+18-2b2=0， 解得b2=12， 橢圓方程為，直線l方程為x-y+3=012、證明：設(shè)a(x1，y1)，d(x2，y2)，ad中點(diǎn)為m(x0，y0)直線l的斜率為k，則 -得 設(shè)，則 -得 由、知m、均在直線上，而m、又在直線l上 ，若l過原點(diǎn)，則b、c重合

15、于原點(diǎn)，命題成立若l與x軸垂直，則由對稱性知命題成立若l不過原點(diǎn)且與x軸不垂直，則m與重合橢圓與雙曲線的對偶性質(zhì)總結(jié)橢 圓1. 點(diǎn)p處的切線pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的外角.2. pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的外角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4. 以焦點(diǎn)半徑pf1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.5. 若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.6. 若在橢圓外 ，則過po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為p1、p2，則切點(diǎn)弦p1p2的直線方程是.7. 橢圓 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為f1，f 2，點(diǎn)p為橢圓上任意一點(diǎn)，

16、則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 橢圓（ab0）的焦半徑公式：,( , ).9. 設(shè)過橢圓焦點(diǎn)f作直線與橢圓相交 p、q兩點(diǎn)，a為橢圓長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的橢圓準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)，則mfnf.10. 過橢圓一個焦點(diǎn)f的直線與橢圓交于兩點(diǎn)p、q, a1、a2為橢圓長軸上的頂點(diǎn)，a1p和a2q交于點(diǎn)m，a2p和a1q交于點(diǎn)n，則mfnf.11. ab是橢圓的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點(diǎn)，則，即。12. 若在橢圓內(nèi)，則被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13. 若在橢圓內(nèi)，則過po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.雙曲線1. 點(diǎn)p處的切線pt平分pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角.2. pt平分

17、pf1f2在點(diǎn)p處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線pt上的射影h點(diǎn)的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點(diǎn).3. 以焦點(diǎn)弦pq為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相交.4. 以焦點(diǎn)半徑pf1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：p在右支；外切：p在左支）5. 若在雙曲線（a0,b0）上，則過的雙曲線的切線方程是.6. 若在雙曲線（a0,b0）外 ，則過po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為p1、p2，則切點(diǎn)弦p1p2的直線方程是.7. 雙曲線（a0,bo）的左右焦點(diǎn)分別為f1，f 2，點(diǎn)p為雙曲線上任意一點(diǎn)，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為.8. 雙曲線（a0,bo）的焦半徑公式：( , 當(dāng)在右支上時(shí)，,.當(dāng)在左支上時(shí)，,9

18、. 設(shè)過雙曲線焦點(diǎn)f作直線與雙曲線相交 p、q兩點(diǎn)，a為雙曲線長軸上一個頂點(diǎn)，連結(jié)ap 和aq分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)f的雙曲線準(zhǔn)線于m、n兩點(diǎn)，則mfnf.10. 過雙曲線一個焦點(diǎn)f的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)p、q, a1、a2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，a1p和a2q交于點(diǎn)m，a2p和a1q交于點(diǎn)n，則mfnf.11. ab是雙曲線（a0,b0）的不平行于對稱軸的弦，m為ab的中點(diǎn)，則，即。12. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是.13. 若在雙曲線（a0,b0）內(nèi)，則過po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是.橢圓與雙曲線的經(jīng)典結(jié)論橢 圓1. 橢圓（abo）的兩個頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交橢圓

19、于p1、p2時(shí)a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程是.2. 過橢圓 (a0, b0)上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于b,c兩點(diǎn)，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為橢圓（ab0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1, f 2是焦點(diǎn), , ，則.4. 設(shè)橢圓（ab0）的兩個焦點(diǎn)為f1、f2,p（異于長軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若橢圓（ab0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，左準(zhǔn)線為l，則當(dāng)0e時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn)p，使得pf1是p到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與pf2的比例中項(xiàng).6. p為橢圓（ab0）上任一點(diǎn),f1,f2為二焦點(diǎn)，a為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)

20、，等號成立.7. 橢圓與直線有公共點(diǎn)的充要條件是.8. 已知橢圓（ab0），o為坐標(biāo)原點(diǎn)，p、q為橢圓上兩動點(diǎn)，且.（1）;（2）|op|2+|oq|2的最大值為;（3）的最小值是.9. 過橢圓（ab0）的右焦點(diǎn)f作直線交該橢圓右支于m,n兩點(diǎn)，弦mn的垂直平分線交x軸于p，則.10. 已知橢圓（ ab0）,a、b、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段ab的垂直平分線與x軸相交于點(diǎn), 則.11. 設(shè)p點(diǎn)是橢圓（ ab0）上異于長軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),f1、f2為其焦點(diǎn)記，則(1).(2) .12. 設(shè)a、b是橢圓（ ab0）的長軸兩端點(diǎn)，p是橢圓上的一點(diǎn)，, ,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2)

21、.(3) .13. 已知橢圓（ ab0）的右準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于a、b兩點(diǎn),點(diǎn)在右準(zhǔn)線上，且軸，則直線ac經(jīng)過線段ef 的中點(diǎn).14. 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15. 過橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16. 橢圓焦三角形中,內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率). （注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).）17. 橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18. 橢圓

22、焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).雙曲線1. 雙曲線（a0,b0）的兩個頂點(diǎn)為,，與y軸平行的直線交雙曲線于p1、p2時(shí)a1p1與a2p2交點(diǎn)的軌跡方程是.2. 過雙曲線（a0,bo）上任一點(diǎn)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙曲線于b,c兩點(diǎn)，則直線bc有定向且（常數(shù)）.3. 若p為雙曲線（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),f1, f 2是焦點(diǎn), , ，則（或）.4. 設(shè)雙曲線（a0,b0）的兩個焦點(diǎn)為f1、f2,p（異于長軸端點(diǎn)）為雙曲線上任意一點(diǎn)，在pf1f2中，記, ,，則有.5. 若雙曲線（a0,b0）的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，左準(zhǔn)線為l，則當(dāng)1e時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)p，使得pf1是p到對應(yīng)準(zhǔn)線距離d與