離散型隨機(jī)變量均值和方差（2課時(shí)）（選修23）

1、1,2.3 離散型隨機(jī)變量的均值和方差,一、復(fù)習(xí)回顧,1、離散型隨機(jī)變量的分布列,2、離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)：,(1)pi0，i1，2，； (2)p1p2pi1,這次咱班期中考試第一名同學(xué)各門成績?yōu)椋?10288109707851 那平均成績是多少？,算術(shù)平均數(shù)：,加權(quán)平均數(shù),期中數(shù)學(xué)考試成績?yōu)?0，平時(shí)成績?yōu)?0，大學(xué)規(guī)定：在學(xué)分記錄表中，該學(xué)期的數(shù)學(xué)成績中考試成績占60%、平時(shí)成績占40%，最終的數(shù)學(xué)成績?yōu)槎嗌伲?對(duì)于離散型隨機(jī)變量，可以由它的概率分布列確定與該隨機(jī)變量相關(guān)事件的概率。但在實(shí)際問題中，有時(shí)我們更感興趣的是隨機(jī)變量的某些數(shù)字特征。例如，要了解某班同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中的總體

2、水平，很重要的是看平均分；要了解某班同學(xué)數(shù)學(xué)成績是否“兩極分化”則需要考察這個(gè)班數(shù)學(xué)成績的方差。 我們還常常希望直接通過數(shù)字來反映隨機(jī)變量的某個(gè)方面的特征，最常用的有期望與方差.,引例1：某商場為滿足市場需求要將單價(jià)分別為 18元/kg ，24元/kg ，36元/kg 的3種糖果按3：2：1的 比例混合銷售，其中混合糖果中每一顆糖果的質(zhì)量都相等，如何對(duì)混合糖果定價(jià)才合理？,181/2+241/3+361/6 =23,=18P(X=18)+24P(X=24)+36P(X=36),均值,二、互動(dòng)探索,則稱 為隨機(jī)變量 X的均值或數(shù)學(xué)期望,數(shù)學(xué)期望又簡稱為期望。,一般地,若離散型隨機(jī)變量X的概率分布

3、為,它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平。,1、離散型隨機(jī)變量均值的定義,歸納求離散型隨機(jī)變量的均值(期望)的步驟：,、確定離散型隨機(jī)變量可能的取值。,、寫出分布列，并檢查分布列的正確與否。,、求出均值(期望)。,引例2、隨機(jī)拋擲一個(gè)均勻的骰子，求所得骰子 的點(diǎn)數(shù)X的均值,解：隨機(jī)變量X的取值為1，2，3，4，5，6,其分布列為,所以隨機(jī)變量X的均值為E（X）=1 1/6+2 1/6 +31/6+4 1/6+5 1/6+6 1/6=3.5,你能理解3.5 的含義嗎？,設(shè)YaXb，其中a，b為常數(shù)，則Y也是隨機(jī)變量 （1） Y的分布列是什么？ （2） E(Y)=？,思考：,12,13,三、基礎(chǔ)訓(xùn)

4、練,1、隨機(jī)變量的分布列是,(1)則E()= .,2、隨機(jī)變量的分布列是,2.4,(2)若=2+1，則E()= .,5.8,E()=7.5,則a= b= .,0.4,0.1,15,四、例題講解,16,已知隨機(jī)變量X的分布列為 求：(1)E(X)； (2)若Y5X4，求E(Y),練習(xí)：,解析(1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)， 得 0.4m0.31. m0.3，E(X)00.420.340.31.8. (2)方法一：Y5X4， 隨機(jī)變量Y的分布列為：,E(Y)40.4140.3240.3 1.64.27.213. 方法二：Y5X4， E(Y)E(5X4)5E(X)451.8413. 點(diǎn)評(píng)(1)求期望關(guān)

5、鍵是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)對(duì)于aXb型的隨機(jī)變量，利用期望的性質(zhì)E(aXb)aE(X)b求解較簡捷,20,21,22,23,24,某同學(xué)參加科普知識(shí)競賽，需回答三個(gè)問題，競賽規(guī)則規(guī)定：每題回答正確得100分，回答不正確得100分假設(shè)這名同學(xué)每題回答正確的概率均為0.8，且各題回答正確與否相互之間沒有影響 (1)求這名同學(xué)回答這三個(gè)問題的總得分X的概率分布和均值； (2)求這名同學(xué)總得分不為負(fù)分(即X0)的概率,練習(xí)：,解析(1)X的可能取值為300、100、100、300. P(X300)0.230.008， P(X100)30.220.80.096， P(X100)30.20

6、.820.384， P(X300)0.830.512. 所以X的概率分布為,分析(1)求X的可能取值，即是求得分，答對(duì)0道題得300分，答對(duì)1道題得100200100分，答對(duì)兩道題得2100100100分，答對(duì)3道題得300分； (2)總分不為負(fù)分包括：總分為100分和總分為300分兩種情況,E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180. (2)這名同學(xué)總得分不為負(fù)分的概率為P(X0)0.3840.5120.896.,28,2.3 離散型隨機(jī)變量的均值和方差,29,30,31,32,(3)若X服從兩點(diǎn)分布B(1，p)，則D(X)p(1p),33,34,

7、35,例2:已知隨機(jī)變量X的分布列是 試求D(X)和D(2X1) 分析已知分布列求方差，可先求出均值，再套用公式計(jì)算,解析E(X)00.210.220.330.240.11.8. D(X)(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56. 對(duì)于D(2X1)，可用兩種方法求解 方法1：2X1的分布列如下表： E(2X1)2.6. D(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.,方法2：利用方差的性質(zhì) D(aXb)a2D(X)D(X)1.56. D(2X1)4D(

8、X)41.566.24. 點(diǎn)評(píng)求隨機(jī)變量函數(shù)YaXb的方差，一是先求y的分布列，再求其均值，最后求方差；二是應(yīng)用公式D(aXb)a2D(X)求,例3.已知某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率p0.6. (1)求一次投籃命中次數(shù)X的期望與方差； (2)求重復(fù)5次投籃時(shí)，命中次數(shù)的均值與方差 分析(1)投籃一次可能投中，也可能不中，投中次數(shù)X服從兩點(diǎn)分布 (2)重復(fù)五次投籃的投中次數(shù)服從二項(xiàng)分布,解析(1)投籃一次命中次數(shù)X的分布列為 則E(X)00.410.60.6， D(X)(00.6)20.4(10.6)20.60.24. (2)由題意，重復(fù)5次投籃，命中次數(shù)服從二項(xiàng)分布，即B(5,0.6) 由二項(xiàng)分布期望與

9、方差的計(jì)算公式，有 E()50.63，D()50.60.41.2.,點(diǎn)評(píng)求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)鍵環(huán)節(jié)是以下兩點(diǎn)： (1)寫出離散型隨機(jī)變量的分布列； (2)正確應(yīng)用均值與方差的公式進(jìn)行計(jì)算(要熟練掌握兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的期望與方差的公式),例4:一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每個(gè)答案選擇正確得4分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，滿分100分某學(xué)生選對(duì)任一題的概率為0.6，求此學(xué)生在這一次測驗(yàn)中的成績的均值與方差,解析設(shè)該學(xué)生在這次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中選擇正確答案的個(gè)數(shù)為，所得的分?jǐn)?shù)(成績)為，則4. 由題知B(25,0.6)，E()250.615，D()250.60.46， E()E(4)4E()60，D()D(4)42D()16696. 該學(xué)生在這次測驗(yàn)中的成績的均值與方差分別是60與96.,1設(shè)隨機(jī)變量XB(n，p)，且E(X)1.6，D(X)1.28，則() An8，p0.2 Bn4，p0.4 Cn5，p0.32 Dn7，p0.45 答案A,課堂練習(xí),答案C