《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末復(fù)習(xí)題PPT課件

1、.,1,題目類型：選擇題，填空題，計算題。 提醒注意以下幾點： 1、概率論部分中的古典概率計算只要求常見類型如抽球問題和分球入盒問題 2、要求熟知事件關(guān)系及其運算，各種概率計算公式等； 3、常用分布的概率計算以及性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望與方差； 4、一維、二維隨機變量的分布函數(shù)密度函數(shù)之間的關(guān)系以及運算, 隨機變量的獨立性與相關(guān)性的關(guān)系以及判別； 5、隨機變量數(shù)學(xué)期望與方差以及協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)與計算； 6、掌握正態(tài)分布隨機變量的有關(guān)計算以及利用中心極限定理的計算； 7、數(shù)理統(tǒng)計的基本概念，常用的抽樣分布以及各分布表分位點的性質(zhì)； 8、掌握參數(shù)估計中的矩估計與極大似然估計、估計量的無偏性和有效性；

2、9、區(qū)間估計與假設(shè)檢驗，只考單個正態(tài)總體的兩個參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗，對于假設(shè)檢驗，要求會區(qū)分并進(jìn)行單側(cè)或雙側(cè)檢驗。,.,2, 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 復(fù)習(xí),一、填空題,1.設(shè)A、B、C為三事件，則事件“A發(fā)生B與C都不發(fā)生”可 表示為_; 事件“A、B、C不都發(fā)生”可表示為_ 事件“A、B、C都不發(fā)生”可表示為_。,2. 100件產(chǎn)品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率為_（只寫算式）。,3. 已知隨機變量X的分布函數(shù)為,，則P(X=1)=_0.4 ，P(X=2.5)= 0_, N(0,1) 。,.,3,_1/3_,7. 在假設(shè)檢驗中若原假設(shè)H0實際為真時卻拒絕H0 ，稱這類錯誤為 棄真（

3、第一類)錯誤,9.若X2(10)，則E(X)=10，D(X)=20,10. P(2(11)s)=0.05,則,.,4,13.已知A,B為兩事件，,14.已知A，B為兩事件，,15. 設(shè)隨機變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨立， 則E(2X+3Y)(4Z-1) = 27/2,16.若X與Y相互獨立，則必有X與Y 不相關(guān),.,5,二、解答題,1.將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時， A被誤收作B的概率為 0.02，而 B被誤收作 A的概率為 0.01.信息 A與信息 B傳送的頻率程度為2:1。 (1)若接受站收到一信息，是 A的概率是多少？ （2）若

4、接受站收到的信息是 A，問原發(fā)信息是 A的概率是多少？,分別表示收到A,B,.,6,事件獨立性的應(yīng)用舉例,1、加法公式的簡化： 若事件A1，A2，An相互獨立, 則,2、乘法公式的簡化： 若事件A1，A2，An相互獨立, 則,.,7,2. 甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9與0.8，求在一次射擊中(每人各射一次)目標(biāo)被擊中的概率。 解 設(shè)A，B分別表示甲、乙射中目標(biāo)的事件， C表示目標(biāo)被擊中的事件，則 P(A)=0.9，P(B)=0.8 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.9+0.8-0.90.8=0.98,另解,.,8,3 .甲、乙、丙三人

5、獨立破譯一份密碼。已知甲、乙、丙三人能譯出的概率 分別為1/5，1/3，1/4。 （1）求密碼能破譯的概率； （2）求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。,解 設(shè)A，B，C分別表示甲、乙、丙譯出的事件， D表示密碼被破譯的事件， E表示恰有一人譯出的事件，則,.,9,解：,.,10,解：,得a =1,.,11,6. 設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)(各信號燈工作相互獨立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率,解 設(shè)p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 P(X=k)=p(1-p)k，k=0,

6、1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：,X的分布函數(shù)：,.,12,7. 離散型隨機變量X的分布函數(shù)為,求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。,解 因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2 ，a+b=1 于是a=1/6,b=5/6 X的分布律為,.,13,8. 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為 求（1）常數(shù)A，B的值； （2）P（-1X1）； （3）求X的密度函數(shù)。,.,14,.,15,10.二維隨機變量（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,(1)試確定常數(shù)A；(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)；(3)判斷X和Y是否相互獨立。,解：(1),所以 X與Y不獨立,.,16,（2）試問X與Y

7、是否相互獨立？,解： （1）,當(dāng)0x1,當(dāng)0y1.,所以X與Y不獨立,.,17,(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3) 求概率P(X+2Y1)。,12. 已知,解 (1),K=6,O x,y,x+2y=1,(2),(3),.,18,13. 設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度函數(shù),(1)求X,Y的邊緣概率密度； (2)問X與Y是否相互獨立？,O x,y,解,由于f(x,y)=fX(x)fY(y) ，因此X與Y相互獨立。,.,19,14. 設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為,其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)XY ，判斷X,Y相關(guān)性和獨立性。,解 由題意可得X,Y的邊緣分布律為,均

8、為01分布， E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq， 所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y) =00q+010+100+11ppp =pp2=pq 因此,（1）X,Y正相關(guān) （2) X,Y不獨立,.,20,解,15.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0x1,0yx上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)。,.,21,16. (X,Y)的聯(lián)合分布律如下： 試求(1)X,Y的邊緣分布律。,解,(1)X和Y的邊緣分布律分別為,.,22,17.某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計成績X近似地服從正態(tài)分布 ,平均成績 72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3，求考生的概率統(tǒng)計成績在60分

9、至84分之間的概率。,.,23,18 . 某車間有200臺車床，每臺車床有60%的時間在開動，每臺車床開動期間的耗電量為1千瓦，問至少應(yīng)供應(yīng)給此車間多少電量才能以99.9%的概率保證此車間不因供電不足而影響生產(chǎn)？,解：設(shè)至少需供給nE千瓦電量,X為同時開動的車床數(shù)，則,.,24,的極大似然估計量。,解：(1),解得矩估計量為：,.,25,(2)似然函數(shù)為,解得極大似然估計為：,.,26,的95%的置信區(qū)間,解:(1)這是一個總體方差未知求,的置信度為0.95的置信區(qū)間的問題,(2)這是一個求,的置信度為0.95的置信區(qū)間的問題,.,27,21 .某校進(jìn)行教學(xué)改革，一學(xué)科學(xué)生成績X服從正態(tài)分布，

10、,均未知。,現(xiàn)抽測19人的成績?nèi)缦拢?70 80 67 86 61 96 92 87 62 51 81 99 76 86 93 79 81 62 47,問是否有理由認(rèn)為該科的平均成績大于對照組的平均成績70？,解：檢驗,選取統(tǒng)計量：,由題意條件得：,故拒絕 H0,即認(rèn)為該科的平均成績大于對照組的平均成績70。,拒絕域,假設(shè)檢驗九種類型！,.,28,22.,(X1,X2,X6)為X的一個樣本,求常數(shù)C使得CY服從2分布。,解 因為(X1,X2X6)為X的一個樣本,XiN(0,1)，i=1,26,則,所以，取常數(shù)C=1/3使得CY服從2分布,.,29,23.設(shè)總體X服從N(0,1)，樣本X1,X2

11、Xn來自總體X，試求常數(shù)c使統(tǒng)計量 服從t-分布.,.,30,24. (X1,X2,X5)為取自正態(tài)總體XN(0,2)的樣本， 求統(tǒng)計量,的分布,解,.,31,25. 設(shè)離散型隨機變量X有如下分布律，試求隨機變量Y=(X-3)2+1的分布律,解 Y的所有可能取值為 1，5，17,故，Y的分布律為,.,32,設(shè)(X1,X2,Xn)是正態(tài)總體N(,2)的樣本，則 (1),(2),(3),與S2獨立,(4),.,33,26.設(shè)X1， X2 ，X25是取自N（21，4)的樣本, 求（1）樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差；,解：,.,34,27.設(shè)X1， ，X10是取自N（2，16)的樣本, 求a。 解：,.,

12、35,28. 設(shè)X1，X2, ，X8 是取自N(1,9)的樣本,求樣本方差 S2的期望與方差。 解：,.,36,29.設(shè)X1，X2, ，X9 是取自N(0,9)的樣本,求 解：,.,37,30. 設(shè)總體X的k階矩存在，則不論X的分布如何，樣本k階原點矩,是總體k階矩的無偏估計。,證明,設(shè)X的k階矩 k=E(Xk)，k1,(X1,X2,Xn)是來自正態(tài)總體X的一個樣本，則,所以Ak是k的無偏估計.,.,38,31. 設(shè)XN(0,2)，,證明 是2無偏估計。 （2）求,(X1,X2,Xn)是來自總體X的一個樣本,是2無偏估計。,.,39,32. 設(shè)(X1,X2,Xn)是總體X的一個樣本，,.,40

13、,33.設(shè)(X,Y)服從N(1,0,9,16,-0.5)分布，Z=X/3+Y/2 1)求Z的概率密度，2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)，3) X與Z是否相互獨立？ 解：（）XN(1,9),YN(0,16),XY=-0.5,注：(X,Y)N(1,2,12,22,)，X與Y相互獨立 X與Y不相關(guān)。 其中=cov(X,Y)。,（2）cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2) =(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0,(3) X與Z相互獨立,ZN(1/3,3),.,41,34.設(shè)隨機變量XB(12,0.5

14、),YN(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差。 解： XB(12,0.5),YN(0,1) E(X)=12*0.5=6,D(X)=12*0.5*0.5=3 E(Y)=0,D(Y)=1,D(V)=D(4X+3Y+1)=D(4X+3Y) =D(4X)+D(3Y)+2COV(4X,3Y) =16D(X)+9D(Y)+24COV(X,Y)=16*3+9*1-24=33,D(W)=D(-2X+4Y)=D(-2X)+D(4Y)+2COV(-2X,4Y) =4D(X)+16D(Y)-16COV(X,Y)=4*3+16*1+16=44,COV(V,W)=COV(4X+3Y+1,-2X+4Y) =COV(4X,-2X+4Y)+ COV(3Y,-2X+4Y)+ COV(1,-2X+4Y) =COV(4X,-2X)+COV(4X,4Y)+ COV(3Y,-2X)+COV(3Y,4Y) =-8D(X)+16COV(X,Y)-6COV(Y,X)+12D(Y) =-8*3+10*(-1)+12=-22,