對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、2.2.2對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1對數(shù)函數(shù)的概念(1)定義：一般地，我們把函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，)(2)對數(shù)函數(shù)的特征：特征判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)，只需看此函數(shù)是否具備了對數(shù)函數(shù)的特征比如函數(shù)ylog7x是對數(shù)函數(shù)，而函數(shù)y3log4x和ylogx2均不是對數(shù)函數(shù)，其原因是不符合對數(shù)函數(shù)解析式的特點【例11】函數(shù)f(x)(a2a1)log(a1)x是對數(shù)函數(shù)，則實數(shù)a_解析：由a2a11，解得a0,1又a10，且a11，a1答案：1【例12】下列函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為_(1)yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2；(3)y8lo

2、g2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x解析：序號是否理由(1)真數(shù)是，不是自變量x(2)對數(shù)式后加2(3)真數(shù)為x1，不是x，且系數(shù)為8，不是1(4)底數(shù)是自變量x，不是常數(shù)(5)底數(shù)是6，真數(shù)是x答案：(5)2對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖象與性質(zhì)(1)圖象與性質(zhì)a10a1圖象性質(zhì)(1)定義域x|x0(2)值域y|yr(3)當x1時，y0，即過定點(1,0)(4)當x1時，y0；當0x1時，y0(4)當x1時，y0；當0x1時，y0(5)在(0，)上是增函數(shù)(5)在(0，)上是減函數(shù)談重點 對對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的理解對數(shù)函數(shù)的圖象恒在y軸右側(cè)，其單調(diào)性

3、取決于底數(shù)a1時，函數(shù)單調(diào)遞增；0a1時，函數(shù)單調(diào)遞減理解和掌握對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的關鍵是會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，在掌握圖象的基礎上性質(zhì)就容易理解了我們要注意數(shù)形結合思想的應用(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較解析式y(tǒng)ax(a0，且a1)ylogax (a0，且a1)性質(zhì)定義域r(0，)值域(0，)r過定點(0,1)(1,0)單調(diào)性單調(diào)性一致，同為增函數(shù)或減函數(shù)奇偶性奇偶性一致，都既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(3)底數(shù)a對對數(shù)函數(shù)的圖象的影響底數(shù)a與1的大小關系決定了對數(shù)函數(shù)圖象的“升降”：當a1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“上升”；當0a1時，對數(shù)函數(shù)的圖象“下降”底數(shù)的大小決定了圖象相對位置的高低：不論是

4、a1還是0a1，在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應的對數(shù)函數(shù)的底數(shù)逐漸變大點技巧 對數(shù)函數(shù)圖象的記憶口訣兩支喇叭花手中拿，(1,0)點處把花扎，若是底數(shù)小于1，左上穿點漸右下，若是底數(shù)大于1，左下穿點漸右上，繞點旋轉(zhuǎn)底變化，順時方向底變大，可用直線y1來切，自左到右a變大【例2】如圖所示的曲線是對數(shù)函數(shù)ylogax的圖象已知a從，中取值，則相應曲線c1，c2，c3，c4的a值依次為()a，b，c，d，解析：由底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知，c4的底數(shù)c3的底數(shù)c2的底數(shù)c1的底數(shù)故相應于曲線c1，c2，c3，c4的底數(shù)依次是，答案：a點技巧 根據(jù)圖象判斷對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大小的方法(1)方法一

5、：利用底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象影響的規(guī)律：在x軸上方“底大圖右”，在x軸下方“底大圖左”；(2)方法二：作直線y1，它與各曲線的交點的橫坐標就是各對數(shù)的底數(shù)，由此判斷各底數(shù)的大小3反函數(shù)(1)對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)(2)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關系原函數(shù)的定義域、值域是其反函數(shù)的值域、定義域；互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的圖象關于直線yx對稱(3)求已知函數(shù)的反函數(shù)，一般步驟如下：由yf(x)解出x，即用y表示出x；把x替換為y，y替換為x；根據(jù)yf(x)的值域，寫出其反函數(shù)的定義域【例31】若函數(shù)yf(x)是函數(shù)yax(a0，且a1

6、)的反函數(shù)，且f(2)1，則f(x)()alog2x bc d2x2解析：因為函數(shù)yax(a0，且a1)的反函數(shù)是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2故f(x)log2x答案：a【例32】函數(shù)f(x)3x(0x2)的反函數(shù)的定義域為()a(0，) b(1,9c(0,1) d9，)解析： 0x2，13x9，即函數(shù)f(x)的值域為(1,9故函數(shù)f(x)的反函數(shù)的定義域為(1,9答案：b【例33】若函數(shù)yf(x)的反函數(shù)圖象過點(1,5)，則函數(shù)yf(x)的圖象必過點()a(5,1) b(1,5) c(1,1) d(5,5)解析：由于原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關于直線yx對稱，而點(

7、1,5)關于直線yx的對稱點為(5,1)，所以函數(shù)yf(x)的圖象必經(jīng)過點(5,1)答案：a4利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式及函數(shù)值對數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)logax(a0，且a1)中僅含有一個常數(shù)a，則只需要一個條件即可確定對數(shù)函數(shù)的解析式，這樣的條件往往是已知f(m)n或圖象過點(m，n)等等通常利用待定系數(shù)法求解，設出對數(shù)函數(shù)的解析式f(x)logax(a0，且a1)，利用已知條件列方程求出常數(shù)a的值利用待定系數(shù)法求對數(shù)函數(shù)的解析式時，常常遇到解方程，比如logamn，這時先把對數(shù)式logamn化為指數(shù)式的形式anm，把m化為以n為指數(shù)的指數(shù)冪形式mkn(k0，且k1)，則解得ak0還可以直

8、接寫出，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡例如：解方程loga42，則a24，由于，所以又a0，所以當然，也可以直接寫出，再利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)，得【例41】已知f(ex)x，則f(5)()ae5b5ecln 5dlog5e解析：(方法一)令tex，則xln t，所以f(t)ln t，即f(x)ln x所以f(5)ln 5(方法二)令ex5，則xln 5，所以f(5)ln 5答案：c【例42】已知對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，試求f(3)的值分析：設出函數(shù)f(x)的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出解：設f(x)logax(a0，且a1)，對數(shù)函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點，a2af(x)f(3)1【例43】已

9、知對數(shù)函數(shù)f(x)的反函數(shù)的圖象過點(2,9)，且f(b)，試求b的值解：設f(x)logax(a0，且a1)，則它的反函數(shù)為yax(a0，且a1)，由條件知a2932，從而a3于是f(x)log3x，則f(b)log3b，解得b5對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，)(2)在求對數(shù)型函數(shù)的定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1若底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義一般地，判斷類似于ylogaf(x)的定義域時，應首先保證f(x)0(3)求函數(shù)的定義域應滿足以下原則：分式中分母不等于零；偶次根式中被開方數(shù)大于或等

10、于零；指數(shù)為零的冪的底數(shù)不等于零；對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；對數(shù)的真數(shù)大于零，如果在一個函數(shù)中數(shù)條并存，求交集【例5】求下列函數(shù)的定義域(1)ylog5(1x)；(2)ylog(2x1)(5x4)；(3)分析：利用對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的定義求解解：(1)要使函數(shù)有意義，則1x0，解得x1，所以函數(shù)ylog5(1x)的定義域是x|x1(2)要使函數(shù)有意義，則解得x且x1，所以函數(shù)ylog(2x1)(5x4)的定義域是(1，)(3)要使函數(shù)有意義，則解得x1，所以函數(shù)的定義域是6對數(shù)型函數(shù)的值域的求解(1)充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象是求函數(shù)值域的常用方法(2)對于形如ylogaf

11、(x)(a0，且a1)的復合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：分解成ylogau，uf(x)這兩個函數(shù)；求f(x)的定義域；求u的取值范圍；利用ylogau的單調(diào)性求解(3)對于函數(shù)yf(logax)(a0，且a1)，可利用換元法，設logaxt，則函數(shù)f(t)(tr)的值域就是函數(shù)f(logax)(a0，且a1)的值域注意：(1)若對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式(或單獨一個字母)，要考查其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進行分類討論(2)求對數(shù)函數(shù)的值域時，一定要注意定義域?qū)λ挠绊懏攲?shù)函數(shù)中含有參數(shù)時，有時需討論參數(shù)的取值范圍【例61】求下列函數(shù)的值域：(1)ylog2(x24)；(2)y解：(1)x24

12、4，log2(x24)log242函數(shù)ylog2(x24)的值域為2，)(2)設u32xx2，則u(x1)244u0，0u4又y在(0，)上為減函數(shù)，2函數(shù)y的值域為2，)【例62】已知f(x)2log3x，x1,3，求yf(x)2f(x2)的最大值及相應的x的值分析：先確定yf(x)2f(x2)的定義域，然后轉(zhuǎn)化成關于log3x的一個一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)求最值解：f(x)2log3x，x1,3，yf(x)2f(x2)(log3x)26log3x6且定義域為1,3令tlog3x(x1,3)tlog3x在區(qū)間1,3上是增函數(shù)，0t1從而要求yf(x)2f(x2)在區(qū)間1,3上的最大值，

13、只需求yt26t6在區(qū)間0,1上的最大值即可yt26t6在3，)上是增函數(shù)，當t1，即x3時，ymax16613綜上可知，當x3時，yf(x)2f(x2)的最大值為137對數(shù)函數(shù)的圖象變換及定點問題(1)與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖象過定點問題對數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)過定點(1,0)，即對任意的a0，且a1都有l(wèi)oga10這是解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖象問題的關鍵對于函數(shù)ybklogaf(x)(k，b均為常數(shù)，且k0)，令f(x)1，解方程得xm，則該函數(shù)恒過定點(m，b)方程f(x)0的解的個數(shù)等于該函數(shù)圖象恒過定點的個數(shù)(2)對數(shù)函數(shù)的圖象變換的問題函數(shù)ylogax(a0，且a1)函

14、數(shù)yloga(xb)(a0，且a1)函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)ylogaxb(a0，且a1)函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)yloga|x|(a0，且a1)函數(shù)ylogax(a0，且a1)函數(shù)y|logax|(a0，且a1)【例71】若函數(shù)yloga(xb)c(a0，且a1)的圖象恒過定點(3,2)，則實數(shù)b，c的值分別為_解析：函數(shù)的圖象恒過定點(3,2)，將(3,2)代入yloga(xb)c(a0，且a1)，得2loga(3b)c又當a0，且a1時，loga10恒成立，c2loga(3b)0b2答案：2,2【例72】作出函數(shù)y|log2(x1)|2的圖象解：(第一步)作函數(shù)y

15、log2x的圖象，如圖；(第二步)將函數(shù)ylog2x的圖象沿x軸向左平移1個單位長度，得函數(shù)ylog2(x1)的圖象，如圖；(第三步)將函數(shù)ylog2(x1)在x軸下方的圖象作關于x軸的對稱變換，得函數(shù)y|log2(x1)|的圖象，如圖；(第四步)將函數(shù)y|log2(x1)|的圖象，沿y軸方向向上平移2個單位長度，便得到所求函數(shù)的圖象，如圖8利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小兩個對數(shù)式的大小比較有以下幾種情況：(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同比較同底數(shù)(是具體的數(shù)值)的對數(shù)大小，構造對數(shù)函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小要注意：明確所給的兩個值是哪個對數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值；明確對數(shù)函數(shù)的底數(shù)與1的大小關系；最

16、后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同若對數(shù)式的底數(shù)不同而真數(shù)相同時，可以利用順時針方向底數(shù)增大畫出函數(shù)的圖象，再進行比較，也可以先用換底公式化為同底后，再進行比較(3)底數(shù)不同，真數(shù)也不同對數(shù)式的底數(shù)不同且指數(shù)也不同時，常借助中間量0,1進行比較(4)對于多個對數(shù)式的大小比較，應先根據(jù)每個數(shù)的結構特征，以及它們與“0”和“1”的大小情況，進行分組，再比較各組內(nèi)的數(shù)值的大小即可注意：對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比較，要注意對底數(shù)是否大于1進行分類討論【例81】比較下列各組中兩個值的大小(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga

17、3.141分析：(1)構造函數(shù)ylog3x，利用其單調(diào)性比較；(2)分別比較與0的大??；(3)分類討論底數(shù)的取值范圍解：(1)因為函數(shù)ylog3x在(0，)上是增函數(shù)，所以f(1.9)f(2)所以log31.9log32(2)因為log23log210，log0.32log0.310，所以log23log0.32(3)當a1時，函數(shù)ylogax在定義域上是增函數(shù)，則有l(wèi)ogaloga3.141；當0a1時，函數(shù)ylogax在定義域上是減函數(shù)，則有l(wèi)ogaloga3.141綜上所得，當a1時，logaloga3.141；當0a1時，logaloga3.141【例82】若a2ba1，試比較，log

18、ba，logab的大小分析：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進行判斷解：ba1，010，logablogaa1，logb1logbalogbb，即0logba1由于1b，01由logba，a2b1，10，即logbalogablogba9利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解對數(shù)不等式(1)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，當a0，且a1時，有l(wèi)ogaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；當a1時，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；當0a1時，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)(2)常見的對數(shù)不等式有三種類型：形如l

19、ogaf(x)logag(x)的不等式，借助函數(shù)ylogax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a1與0a1兩種情況討論形如logaf(x)b的不等式，應將b化為以a為對數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助函數(shù)ylogax的單調(diào)性求解形如logaf(x)logbg(x)的不等式，基本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數(shù)值，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來脫去對數(shù)符號，同時應保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集形如f(logax)0的不等式，可用換元法(令tlogax)，先解f(t)0，得到t的取值范圍然后再解x的范圍【例91】解下列不等式：(1)；(2)logx(2x1)logx(3x)解：(1)由已知，得解得

20、0x2所以原不等式的解集是x|0x2(2)當x1時，有解得1x3；當0x1時，有解得0x所以原不等式的解集是【例92】若1，求a的取值范圍解：1，11，即(1)當a1時，ylogax為增函數(shù)，a，結合a1，可知a(2)當0a1時，ylogax為減函數(shù)，a，結合0a1，知0aa的取值范圍是10對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的討論(1)解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調(diào)性問題的關鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當?shù)讛?shù)未明確給出時，則應對底數(shù)a是否大于1進行討論；二是運用復合法來判斷其單調(diào)性；三是注意其定義域(2)關于形如ylogaf(x)一類函數(shù)的單調(diào)性，有以下結論：函數(shù)ylogaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)uf(x)(f(x

21、)0)的單調(diào)性，當a1時相同，當0a1時相反例如：求函數(shù)ylog2(32x)的單調(diào)區(qū)間分析：首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)ylog2(32x)是由對數(shù)函數(shù)ylog2u和一次函數(shù)u32x復合而成，求其單調(diào)區(qū)間或值域時，應從函數(shù)u32x的單調(diào)性、值域入手，并結合函數(shù)ylog2u的單調(diào)性考慮解：由32x0，解得函數(shù)ylog2(32x)的定義域是設u32x，x，u32x在上是減函數(shù)，且ylog2u在(0，)上單調(diào)遞增，函數(shù)ylog2(32x)在上是減函數(shù)函數(shù)ylog2(32x)的單調(diào)減區(qū)間是【例101】求函數(shù)yloga(aax)的單調(diào)區(qū)間解：(1)若a1，則函數(shù)ylogat遞增，且函數(shù)taax遞減又aax

22、0，即axa，x1函數(shù)yloga(aax)在(，1)上遞減(2)若0a1，則函數(shù)ylogat遞減，且函數(shù)taax遞增又aax0，即axa，x1函數(shù)yloga(aax)在(1，)上遞減綜上所述，函數(shù)yloga(aax)在其定義域上遞減析規(guī)律 判斷函數(shù)ylogaf(x)的單調(diào)性的方法函數(shù)ylogaf(x)可看成是ylogau與uf(x)兩個簡單函數(shù)復合而成的，由復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷需特別注意的是，在求復合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要考慮函數(shù)的定義域，即“定義域優(yōu)先”【例102】已知f(x)(x2axa)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍解：是函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間，說明是函數(shù)ux2axa的

23、遞減區(qū)間，由于是對數(shù)函數(shù)，還需保證真數(shù)大于0令u(x)x2axa，f(x)在上是增函數(shù)，u(x)在上是減函數(shù)，且u(x)0在上恒成立即1a滿足條件的a的取值范圍是11對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題判斷與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域，當定義域關于原點不對稱時，則此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當定義域關于原點對稱時，判斷f(x)與f(x)或f(x)是否相等；(2)當f(x)f(x)時，此函數(shù)是偶函數(shù)；當f(x)f(x)時，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當f(x)f(x)且f(x)f(x)時，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)當f(x)f(x)且f(x)f(x)時，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不

24、是偶函數(shù)例如，判斷函數(shù)f(x)(xr，a0，且a1)的奇偶性解：f(x)f(x)loga(x21x2)loga10，f(x)f(x)f(x)為奇函數(shù)【例11】已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；(3)求使f(x)0的x的取值范圍分析：對于第(2)問，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可對于第(3)問，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號，解出不等式解：(1)由0，得1x1，故函數(shù)f(x)的定義域為(1,1)(2)f(x)f(x)，又由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(3)當a1時，由0loga1，得1，解得0x1；當0a1時，由0loga1，得