高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 關(guān)于分式和的幾個(gè)結(jié)論的證明及應(yīng)用（通用）

1、分?jǐn)?shù)和幾個(gè)結(jié)論的證明及應(yīng)用在國內(nèi)外各級(jí)數(shù)學(xué)競賽中，證明與分?jǐn)?shù)和有關(guān)的不等式經(jīng)常會(huì)遇到一些問題。本文總結(jié)了分?jǐn)?shù)和的一些一般性結(jié)論。為了便于結(jié)論的證明，我們首先合理地?cái)U(kuò)展了矢量積的概念：1.矢量積概念的推廣對(duì)于平面矢量=(a，b)=(c，d)，與的乘積數(shù)是= cos=AC BD，它是和之間的角度，其范圍是0。至于三維空間矢量=(a，b，c)=(d，e，f)，它們的量積是= cos=ad be cf，它是與的夾角，其范圍是0。 ，是向量和的模： =，=。向量數(shù)量積的概念可以推廣到n維歐氏空間：讓=(x，x，x)，=(y，y，y)。與的角度為，范圍為0。將總和的數(shù)量乘積定義為= cos=xy xy x

2、y。. ，是向量和的模： =，.如果 0時(shí)，。證據(jù)：讓=(，)，=(，)，與的夾角為(0)。然后=+=x+x+ + x=cos=cosn(x+x+x)=(1+1+1)(x+x+x)(x+x+x)， (x+x+x)=，如果且僅當(dāng)x=x=x ( 0)相等，那么它是在同一個(gè)方向，即=0，cos=1。A科斯=+ +=.例1已知正數(shù)x，y和z滿足x，y，z=1，并證明。證明：n=3，A=1，k=1 來自結(jié)論1，=。結(jié)論2已知x，x，x是滿足x x=a的非負(fù)實(shí)數(shù)，和k 0，1-kx 0 (I=1，2，n)，。證據(jù)：讓=(，)，=(，)，與的夾角為(0)。然后=x x.x=cos=cos因?yàn)?x x.x(1

3、)1.1)=(x x.x) n(x+x+x)因此，(x x x) =所以A cos，那兒有.=。例2已知x，y，z和z是滿足x，y，z=1的正實(shí)數(shù)，并證明了。證明：n=3，A=1，k=1，來自結(jié)論2, =。例3已知非負(fù)實(shí)數(shù)a (I=1，2，3，n)滿足a a a=1。尋求的最小值.(第23屆國際海事組織考試試題)。解決方法：將原來的問題轉(zhuǎn)化為求的最小值。因?yàn)?=(.)，A=1，k=1，所以從結(jié)論2，有.=，從而.=(.)=.實(shí)施例4已知a 0 (I=1，2，3，n)滿足a a.a=s，證據(jù)：。證明：原來的不等式可以轉(zhuǎn)化為證明下面的不等式：(1+)+(1+)+(1+).也就是說，-n=。(這個(gè)變

4、體是1979年英國數(shù)學(xué)競賽的測試)因?yàn)?=(.)，a=s，k=，所以 =，因此.=(.)=，然后(1 ) (1).(1 ) 。也就是說，。結(jié)論3已知x，x，x是滿足x x=a的非負(fù)實(shí)數(shù)，和1 kx 0 (I=1，2，n)，那么.。證明：讓=(，)，=(，)，與的夾角為(00)。然后=.=x+x + + x=cos，也就是說，A所以.。例5:已知正數(shù)x，y和z滿足x，y，z=1，并證明：。證明：因?yàn)閍=1，k=-1，n=3，所以結(jié)論3中有=個(gè)。結(jié)論4如果非負(fù)實(shí)數(shù)x，x，x滿足x x x=a，并且1-x 0 (I=1，2，n)，則 。證據(jù)：讓=(，)，=(，)，與的夾角為(0)。然后=.=x.x=cosx+x+x =,x+ x +x+