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1、分?jǐn)?shù)和幾個(gè)結(jié)論的證明及應(yīng)用在國(guó)內(nèi)外各級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,證明與分?jǐn)?shù)和有關(guān)的不等式經(jīng)常會(huì)遇到一些問(wèn)題。本文總結(jié)了分?jǐn)?shù)和的一些一般性結(jié)論。為了便于結(jié)論的證明,我們首先合理地?cái)U(kuò)展了矢量積的概念:1.矢量積概念的推廣對(duì)于平面矢量=(a,b)=(c,d),與的乘積數(shù)是= cos=AC BD,它是和之間的角度,其范圍是0。至于三維空間矢量=(a,b,c)=(d,e,f),它們的量積是= cos=ad be cf,它是與的夾角,其范圍是0。 ,是向量和的模: =,=。向量數(shù)量積的概念可以推廣到n維歐氏空間:讓=(x,x,x),=(y,y,y)。與的角度為,范圍為0。將總和的數(shù)量乘積定義為= cos=xy xy x
2、y。. ,是向量和的模: =,.如果 0時(shí),。證據(jù):讓=(,),=(,),與的夾角為(0)。然后=+=x+x+ + x=cos=cosn(x+x+x)=(1+1+1)(x+x+x)(x+x+x), (x+x+x)=,如果且僅當(dāng)x=x=x ( 0)相等,那么它是在同一個(gè)方向,即=0,cos=1。A科斯=+ +=.例1已知正數(shù)x,y和z滿足x,y,z=1,并證明。證明:n=3,A=1,k=1 來(lái)自結(jié)論1,=。結(jié)論2已知x,x,x是滿足x x=a的非負(fù)實(shí)數(shù),和k 0,1-kx 0 (I=1,2,n),。證據(jù):讓=(,),=(,),與的夾角為(0)。然后=x x.x=cos=cos因?yàn)?x x.x(1
3、)1.1)=(x x.x) n(x+x+x)因此,(x x x) =所以A cos,那兒有.=。例2已知x,y,z和z是滿足x,y,z=1的正實(shí)數(shù),并證明了。證明:n=3,A=1,k=1,來(lái)自結(jié)論2, =。例3已知非負(fù)實(shí)數(shù)a (I=1,2,3,n)滿足a a a=1。尋求的最小值.(第23屆國(guó)際海事組織考試試題)。解決方法:將原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值。因?yàn)?=(.),A=1,k=1,所以從結(jié)論2,有.=,從而.=(.)=.實(shí)施例4已知a 0 (I=1,2,3,n)滿足a a.a=s,證據(jù):。證明:原來(lái)的不等式可以轉(zhuǎn)化為證明下面的不等式:(1+)+(1+)+(1+).也就是說(shuō),-n=。(這個(gè)變
4、體是1979年英國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的測(cè)試)因?yàn)?=(.),a=s,k=,所以 =,因此.=(.)=,然后(1 ) (1).(1 ) 。也就是說(shuō),。結(jié)論3已知x,x,x是滿足x x=a的非負(fù)實(shí)數(shù),和1 kx 0 (I=1,2,n),那么.。證明:讓=(,),=(,),與的夾角為(00)。然后=.=x+x + + x=cos,也就是說(shuō),A所以.。例5:已知正數(shù)x,y和z滿足x,y,z=1,并證明:。證明:因?yàn)閍=1,k=-1,n=3,所以結(jié)論3中有=個(gè)。結(jié)論4如果非負(fù)實(shí)數(shù)x,x,x滿足x x x=a,并且1-x 0 (I=1,2,n),則 。證據(jù):讓=(,),=(,),與的夾角為(0)。然后=.=x.x=cosx+x+x =,x+ x +x+
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