高中數(shù)學教學論文 柯西不等式的證明與應用（通用）

1、柯西不等式的證明及其應用摘要：柯西不等式是一個非常重要的不等式，本文用六種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式、求函數(shù)最值、解方程、解三角與幾何問題等方面的應用，最后用其證明了點到直線的距離公式，更好的解釋了柯西不等式。關鍵詞：柯西不等式，證明，應用Summary： Cauchys inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequalit

2、y in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是數(shù)學的重要組成部分，它遍及

3、數(shù)學的每一個分支。本文主要介紹著名不等式柯西不等式的證明方法及其在初等數(shù)學解體中的應用?？挛鞑坏仁绞且粋€非常重要的不等式，本文用幾種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式、求函數(shù)最值、解方程、解三角與幾何問題等方面的應用。一、相關定理柯西不等式是指下面的定理定理 設則當數(shù)組a1，a2，an ,b1，b2，bn不全為0時，等號成立當且僅當.柯西不等式有兩個很好的變式：變式1 設 ,等號成立當且僅當變式2 設ai,bi同號且不為0（i=1，2，n）則,二、柯西不等式的證明：常用的證明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因為所以，即即當且僅當即時等號成立。2）利用判別式證明

4、（構造二次函數(shù)法）若，則此時不等式顯然成立。若，構造二次函數(shù)對于xR恒成立，所以此二次函數(shù)的判別式0，即得證。3）用數(shù)學歸納法證明i）當時，有，不等式成立。當n=2時，。因為，故有當且僅當，即時等號成立。ii）假設時不等式成立。即當且僅當時等號成立。那么當時， 當且僅當時等號成立，即時等號成立。于是時不等式成立。由i）ii）可得對于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立。4）用向量法證明設維空間中有二個向，其中為任意兩組實數(shù)。由向量的長度定義，有|, 又由內(nèi)積的定義， ,其中是,的夾角，且有。因|，故，于是|即當且僅當|時，即與共線時等號成立。由,共線可知即由以上，命題得證。5) 利用均值不等式當=0

5、時不等式顯然成立當0柯西不等式可化為1 。由均值不等式可知=1即1當且僅當時等號成立。從而柯西不等式得證。而變式一 二可由柯西不等式稍加變形容易得到。三、柯西不等式的應用：1）證明不等式在不等式的證明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的證明用常歸方法很繁瑣，而用柯西不等式卻很簡單。例3.1.1已知 abcd，求證：。證 因為a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)0,由柯西不等式知=(a-b)+(b-c)+(c-d) =9從而。例3.1.2：已知， 求證： 證法一：（常用證法） 把上面?zhèn)€不等式相加，得即 證法二：（利用柯西不等式來證明） 分析求證的不等式特點，可構造如下兩組數(shù)：由柯西

6、不等式（A）有兩相比較，可見用柯西不等式證明較為簡捷例3.1.3：設（i=1，2，n）且，求證：5 證 注意到恒等式=，只需要證明即上式左邊=，得證。例3.1.4：設實數(shù), 滿足0,b ,c求證證 因為a0,由均值不等式得= =同理可得 ，故 由柯西不等式可知從而=又=6+故2即2當且僅當時等號成立。例3.1.5：已知為互不相等的正整數(shù)，求證：對于任意的正整數(shù)n，有不等式。證明：由柯西不等式： 于是。又因為為互不相等的正整數(shù)，故其中最小的數(shù)不小于，次小的數(shù)不小于，最大的不小于，這樣就有。所以有。因為而所以有。例3.1.6：設，則證明：5證明：由柯西不等式，對于任意的個實數(shù)，有即于是。例3.1.

7、7:設，則。5證 由柯西不等式變式1，得左邊= =例3.1.8（第42屆IMO預選題）設是任意實數(shù)。證明：.證 由柯西不等式，對于任意實數(shù)有令=，k=1，2，n.因此原不等式轉(zhuǎn)換為證明1當k2時，有=-當k=1時，1-，因此1-1.故原不等式得證。例3.1.9設，則 .5證 由柯西不等式，得左邊=-=例3.1.10.若n是不小于2的正整數(shù)，試證： 5證明：所以求證式等價于由柯西不等式有于是： 又由柯西不等式有0，現(xiàn)在我們作如下代換，原不等式等價于，然而我們知道=1（為什么？），故其等價于2.接下來，我們做另一個代換，則不等式等價于1=或者。因此我們只需證明其中。這是很容易的，我們應用均值不等式

8、可以推導出現(xiàn)在我們應用柯西-施瓦茨不等式來證明內(nèi)斯比特不等式。（內(nèi)斯比特）對所有的正實數(shù)，我們有證明9 應用柯西-施瓦茨不等式我們有，它可變形為或者這里有一關于問題12簡短的證明（伊朗1998）證明對所有的1若=2則有方法2我們注意到 。我們應用柯西-施瓦茨不等式則有問題18證明對所有實數(shù)有：解 ：我們可以得到如下等式和不等式鏈= （柯西-施瓦茨不等式） = （均值不等式） （柯西-施瓦茨不等式） =使用證明柯西- 施瓦茨不等式同樣的想法，我們發(fā)現(xiàn)了一個自然推廣：定理15 設為正實數(shù)，我們有證明：由于是齊次不等式，同定理11的證明一樣，我們可令或者=1,.,n).則不等式變形為或者故足以證明對

9、所有的當有。完成證明后，可以得到如下類似不等式：定理16（均值不等式）設為正實數(shù)，則有。證明： 由于不等式是齊次的，我們可以重新調(diào)整使得。因此我們只需證明?？梢酝ㄟ^對的歸納來證明：當=1時，顯然成立；當=2時，我們有.現(xiàn)在我們假設對所有的正整數(shù)時，不等式成立。同時令為滿足=1的正實數(shù)，我們可以假設。（為什么？）由歸納假設可知我們有，因此，只需證明然而我們有下面的簡單觀察不是很麻煩：設及N。令，對應用均值不等式我們可以得到或者。故對所有正有理數(shù)，當我們會有我們馬上可以得到定理17 設，0，滿足，則對所有0我們有。證明 我們可以選擇一正有理數(shù)列使其滿足，同時令，則有，從前面的觀察我們有兩邊同時取極限我們就可以得到結論。稍微修改上面的結論，我們可以得到定理18 （加權均值不等式）設為正實數(shù)，且滿足。則對所有我們會有。回想一下應用均值不等式來推導定理12的過程，是對柯