高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 柯西不等式的證明與應(yīng)用（通用）

1、柯西不等式的證明及其應(yīng)用摘要：柯西不等式是一個(gè)非常重要的不等式，本文用六種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式、求函數(shù)最值、解方程、解三角與幾何問(wèn)題等方面的應(yīng)用，最后用其證明了點(diǎn)到直線的距離公式，更好的解釋了柯西不等式。關(guān)鍵詞：柯西不等式，證明，應(yīng)用Summary： Cauchys inequality is a very important inequality, this article use six different methods to prove the Cauchy inequality, and gives some Cauchy inequalit

2、y in inequality, solving the most value, solving equations, trigonometry and geometry problems in the areas of application, the last used it proved that point to the straight line distance formula, better explains the Cauchy inequality. Keywords ：Cauchy inequality, proof application不等式是數(shù)學(xué)的重要組成部分，它遍及

3、數(shù)學(xué)的每一個(gè)分支。本文主要介紹著名不等式柯西不等式的證明方法及其在初等數(shù)學(xué)解體中的應(yīng)用?？挛鞑坏仁绞且粋€(gè)非常重要的不等式，本文用幾種不同的方法證明了柯西不等式，并給出了一些柯西不等式在證明不等式、求函數(shù)最值、解方程、解三角與幾何問(wèn)題等方面的應(yīng)用。一、相關(guān)定理柯西不等式是指下面的定理定理 設(shè)則當(dāng)數(shù)組a1，a2，an ,b1，b2，bn不全為0時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).柯西不等式有兩個(gè)很好的變式：變式1 設(shè) ,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)變式2 設(shè)ai,bi同號(hào)且不為0（i=1，2，n）則,二、柯西不等式的證明：常用的證明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因?yàn)樗?，即即?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。2）利用判別式證明

4、（構(gòu)造二次函數(shù)法）若，則此時(shí)不等式顯然成立。若，構(gòu)造二次函數(shù)對(duì)于xR恒成立，所以此二次函數(shù)的判別式0，即得證。3）用數(shù)學(xué)歸納法證明i）當(dāng)時(shí)，有，不等式成立。當(dāng)n=2時(shí)，。因?yàn)?，故有?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。ii）假設(shè)時(shí)不等式成立。即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。那么當(dāng)時(shí)， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立。于是時(shí)不等式成立。由i）ii）可得對(duì)于任意的自然數(shù)n，柯西不等式成立。4）用向量法證明設(shè)維空間中有二個(gè)向，其中為任意兩組實(shí)數(shù)。由向量的長(zhǎng)度定義，有|, 又由內(nèi)積的定義， ,其中是,的夾角，且有。因|，故，于是|即當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)，即與共線時(shí)等號(hào)成立。由,共線可知即由以上，命題得證。5) 利用均值不等式當(dāng)=0

5、時(shí)不等式顯然成立當(dāng)0柯西不等式可化為1 。由均值不等式可知=1即1當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。從而柯西不等式得證。而變式一 二可由柯西不等式稍加變形容易得到。三、柯西不等式的應(yīng)用：1）證明不等式在不等式的證明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的證明用常歸方法很繁瑣，而用柯西不等式卻很簡(jiǎn)單。例3.1.1已知 abcd，求證：。證 因?yàn)閍-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)0,由柯西不等式知=(a-b)+(b-c)+(c-d) =9從而。例3.1.2：已知， 求證： 證法一：（常用證法） 把上面?zhèn)€不等式相加，得即 證法二：（利用柯西不等式來(lái)證明） 分析求證的不等式特點(diǎn)，可構(gòu)造如下兩組數(shù)：由柯西

6、不等式（A）有兩相比較，可見(jiàn)用柯西不等式證明較為簡(jiǎn)捷例3.1.3：設(shè)（i=1，2，n）且，求證：5 證 注意到恒等式=，只需要證明即上式左邊=，得證。例3.1.4：設(shè)實(shí)數(shù), 滿足0,b ,c求證證 因?yàn)閍0,由均值不等式得= =同理可得 ，故 由柯西不等式可知從而=又=6+故2即2當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。例3.1.5：已知為互不相等的正整數(shù)，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，有不等式。證明：由柯西不等式： 于是。又因?yàn)闉榛ゲ幌嗟鹊恼麛?shù)，故其中最小的數(shù)不小于，次小的數(shù)不小于，最大的不小于，這樣就有。所以有。因?yàn)槎杂?。?.1.6：設(shè)，則證明：5證明：由柯西不等式，對(duì)于任意的個(gè)實(shí)數(shù)，有即于是。例3.1.

7、7:設(shè)，則。5證 由柯西不等式變式1，得左邊= =例3.1.8（第42屆IMO預(yù)選題）設(shè)是任意實(shí)數(shù)。證明：.證 由柯西不等式，對(duì)于任意實(shí)數(shù)有令=，k=1，2，n.因此原不等式轉(zhuǎn)換為證明1當(dāng)k2時(shí)，有=-當(dāng)k=1時(shí)，1-，因此1-1.故原不等式得證。例3.1.9設(shè)，則 .5證 由柯西不等式，得左邊=-=例3.1.10.若n是不小于2的正整數(shù)，試證： 5證明：所以求證式等價(jià)于由柯西不等式有于是： 又由柯西不等式有0，現(xiàn)在我們作如下代換，原不等式等價(jià)于，然而我們知道=1（為什么？），故其等價(jià)于2.接下來(lái)，我們做另一個(gè)代換，則不等式等價(jià)于1=或者。因此我們只需證明其中。這是很容易的，我們應(yīng)用均值不等式

8、可以推導(dǎo)出現(xiàn)在我們應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式來(lái)證明內(nèi)斯比特不等式。（內(nèi)斯比特）對(duì)所有的正實(shí)數(shù)，我們有證明9 應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式我們有，它可變形為或者這里有一關(guān)于問(wèn)題12簡(jiǎn)短的證明（伊朗1998）證明對(duì)所有的1若=2則有方法2我們注意到 。我們應(yīng)用柯西-施瓦茨不等式則有問(wèn)題18證明對(duì)所有實(shí)數(shù)有：解 ：我們可以得到如下等式和不等式鏈= （柯西-施瓦茨不等式） = （均值不等式） （柯西-施瓦茨不等式） =使用證明柯西- 施瓦茨不等式同樣的想法，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)自然推廣：定理15 設(shè)為正實(shí)數(shù)，我們有證明：由于是齊次不等式，同定理11的證明一樣，我們可令或者=1,.,n).則不等式變形為或者故足以證明對(duì)

9、所有的當(dāng)有。完成證明后，可以得到如下類(lèi)似不等式：定理16（均值不等式）設(shè)為正實(shí)數(shù)，則有。證明： 由于不等式是齊次的，我們可以重新調(diào)整使得。因此我們只需證明?？梢酝ㄟ^(guò)對(duì)的歸納來(lái)證明：當(dāng)=1時(shí)，顯然成立；當(dāng)=2時(shí)，我們有.現(xiàn)在我們假設(shè)對(duì)所有的正整數(shù)時(shí)，不等式成立。同時(shí)令為滿足=1的正實(shí)數(shù)，我們可以假設(shè)。（為什么？）由歸納假設(shè)可知我們有，因此，只需證明然而我們有下面的簡(jiǎn)單觀察不是很麻煩：設(shè)及N。令，對(duì)應(yīng)用均值不等式我們可以得到或者。故對(duì)所有正有理數(shù)，當(dāng)我們會(huì)有我們馬上可以得到定理17 設(shè)，0，滿足，則對(duì)所有0我們有。證明 我們可以選擇一正有理數(shù)列使其滿足，同時(shí)令，則有，從前面的觀察我們有兩邊同時(shí)取極限我們就可以得到結(jié)論。稍微修改上面的結(jié)論，我們可以得到定理18 （加權(quán)均值不等式）設(shè)為正實(shí)數(shù)，且滿足。則對(duì)所有我們會(huì)有。回想一下應(yīng)用均值不等式來(lái)推導(dǎo)定理12的過(guò)程，是對(duì)柯