5.概率與概率分布

1、掌握概率的概念、性質(zhì)和法則 明確概率分布的含義，了解二項試驗和分布的基礎(chǔ)知識。,第五章 概率及概率分布,概率論起源于17世紀(jì)，當(dāng)時在人口統(tǒng)計、人壽保險等工作中，要整理和研究大量的隨機(jī)數(shù)據(jù)資料，這就需要一種專門研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)。 參賭者就想：如果同時擲兩顆骰子 ，則點數(shù)之和為9 和點數(shù)之和為10 ，哪種情況出現(xiàn)的可能性較大？ 例如17世紀(jì)中葉，貴族德梅爾發(fā)現(xiàn)：將一枚骰子連擲四次，只出現(xiàn)一個6 點的機(jī)會比較多，而同時將兩枚擲24次，只出現(xiàn)一次雙6 的機(jī)會卻很少。,第一節(jié) 概率的一般概念,概率論的創(chuàng)始人是法國的帕斯卡(16231662)和費爾馬(16011665)，他們在以通信的方式討

2、論賭博的機(jī)率問題時，發(fā)表了骰子賭博理論一書。棣莫弗(16671754)發(fā)現(xiàn)了正態(tài)方程式。同一時期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二項分布理論。1814年，法國的拉普拉斯(17491827)發(fā)表了概率分析論，該書奠定了古典概率理論的基礎(chǔ)，并將概率理論應(yīng)用于自然和社會的研究。此后，法國的泊松(17811840)提出了泊松分布，德國的高斯(17771855)提出了最小平方法。,一、頻率和概率的定義,1. 頻率 對隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行觀測時，若事件在次觀測中出現(xiàn)了次,則與的比值，就是事件出現(xiàn)的頻率（也稱為相對頻數(shù)）。用 （）表示事件的頻率。 公式為：（）=/,2. 概率,概率是對隨機(jī)事件出現(xiàn)可能性大小

3、的客觀量度。事件發(fā)生的概率記為P（）。 在相同的條件下，某個事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)。 根據(jù)概率的計算方法，概率可分為后驗概率和先驗概率。, 后驗概率（統(tǒng)計概率）,以隨機(jī)事件A在大量重復(fù)試驗中出現(xiàn)的穩(wěn)定頻率作為隨機(jī)事件A概率的估計值。 事件A的頻率不是常數(shù),它隨試驗次數(shù)的變化而變化，但是隨著試驗次數(shù)的無限增大，事件A的頻率會逐漸趨近于一個常數(shù)P，P就是隨機(jī)事件A出現(xiàn)概率的近似值。, 先驗概率（古典概率）,如果某個隨機(jī)現(xiàn)象所有可能結(jié)果是有限的，其總數(shù)為n，每一種可能結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，這個現(xiàn)象中的隨機(jī)事件A包括m個可能結(jié)果，則事件A的概率為與的比值，即 P（A）=/。 例：某班有20名男生，

4、25名女生，現(xiàn)隨機(jī)從全班同學(xué)中抽取一名同學(xué)，抽到男生的概率為20/45=4/9，抽到女生的概率為25/45=5/9。,二、概率的性質(zhì),1. 對于任何事件，均有0（）1 2. 不可能事件的概率為零，P（V）=0 3. 必然事件的概率為1，P（U）=1,1. 概率的加法,互不相容事件：在一次試驗中不可能同時出現(xiàn)的事件。 事件之和：有限個互不相容事件中任意一個發(fā)生。如：A+B=A或B發(fā)生。 概率的加法法則：有限個互不相容事件之和的概率等于這些事件概率的和。 例：某學(xué)生從5個試題中任意抽取一題，則抽到試題2或試題3的概率為2/5。,三、概率的加法和乘法,例：根據(jù)上海市職業(yè)代際流動的統(tǒng)計，向下流動的概率

5、是0.07，靜止不動的概率是0.6，求向上流動的概率是多少？ 例：為了研究父代文化程度對子代文化程度的影響，某大學(xué)統(tǒng)計出學(xué)生中只有父親具有大學(xué)文化程度的占30，只有母親具有大學(xué)文化程度的占20，而雙方都具有大學(xué)文化程度的占有10，問從學(xué)生中任抽一名，父代至少有一名具有大學(xué)文化程度的概率是多少？,2. 概率的乘法,獨立事件：出現(xiàn)概率相互不影響的事件。 事件之積：有限個互相獨立事件同時發(fā)生。如： AB=A和B同時發(fā)生。 概率的乘法法則：有限個獨立事件乘積的概率等于這 些事件概率的乘積。 例：兩個學(xué)生從5個試題中任意抽取一題，第一個學(xué)生 把抽出的題還回去后，第二個學(xué)生再抽，則兩個學(xué)生 都抽到試題2的

6、概率為1/25。,例：根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果，男嬰出生的概率是22/43，女嬰出生的概率是21/43，某單位有兩名孕婦，問兩名孕婦都生男嬰的概率是多少？都生女嬰的概率是多少？其中一男一女的概率是多少？,隨機(jī)事件及其概率回答的是隨機(jī)現(xiàn)象某一局部結(jié)果，例如對給定的復(fù)合事件求先驗概率。而概率分布則要在滿足完備性(窮舉)和互不相容性(互斥)的前提下，回答隨機(jī)現(xiàn)象一共會出現(xiàn)多少種結(jié)果，以及每種結(jié)果所伴隨的概率是多少。 應(yīng)該指出，在統(tǒng)計中，概率分布是就隨機(jī)現(xiàn)象呈現(xiàn)的宏觀結(jié)果而言的。它可以在宏觀層次加以識別而與特定排列次序無關(guān)。,四、概率分布,例如擲兩顆骰子的試驗，點數(shù)就是隨機(jī)現(xiàn)象，它一共有11種宏觀結(jié)果。我們用古典

7、法對每種宏觀結(jié)果計算P，便得到了如下表所示的概率分布。,頻率分布與概率分布的區(qū)別,經(jīng)驗分布： 頻率分布是經(jīng)資料整理而來;頻率分布隨樣本不同而不同;頻率分布有對應(yīng)的頻數(shù)分布。,理論分布： 概率分布是先驗的；概率分布是唯一的；概率分布無頻率分布所對應(yīng)的頻數(shù)分布。,概率分布是理論性的或理念性的，它描繪了在一個完美的世界中百分比應(yīng)該是多少。不幸的是，根據(jù)現(xiàn)實的（實際得到的）數(shù)據(jù)得到的百分比和理論上的總是不完全一致。 假設(shè)把兩枚硬幣投1000次，得到的結(jié)果為下表：,概率分布實質(zhì)上是無限次拋擲的頻數(shù)分布。盡管我們永遠(yuǎn)不能觀察到這個無限次拋擲的頻數(shù)分布，但我們知道這是的頻數(shù)分布會無限接近概率分布。,四、概率

8、分布,概率分布：對隨機(jī)變量取值的概率分布情況用數(shù)學(xué) 方法進(jìn)行描述。 根據(jù)隨機(jī)變量取值情況可分為：離散變量概率分布 連續(xù)變量概率分布,離散變量概率分布,離散型隨機(jī)變量的取值是可數(shù)的，如果對X的每個可能取值xi計算其實現(xiàn)的概率Pi ，我們便得到了離散型隨機(jī)變量的概率分布，即,離散型隨機(jī)變量的概 率分布也可以用表格 和圖形兩種形式來表 示。由于離散型隨機(jī) 變量的特點，表示離 散型隨機(jī)變量概率分 布多為折線圖。,離散變量概率分布,連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿某一區(qū)間，因而取某一數(shù)值討論其概率是無意義的。為此，我們引進(jìn)概率密度 的概念來表達(dá)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。,前面曾提到過頻率密度的概念，頻率密度等于

9、頻率除以組距。以頻率密度為縱坐標(biāo)，可以作出頻率分布直方圖。類似地，以概率密度為縱坐標(biāo)，可以作出概率密度曲線。所不同的是，概率密度由于對組距求了x0的極限，其圖形乃平滑曲線。,2. 連續(xù)型變量概率分布,這樣，隨機(jī)變量X取值在區(qū)間x1 ，x2上的概率等于概率密度曲線 下面x1與x2兩點之間面積，即,所以有概率密 度的性質(zhì),因為概率不可能是負(fù)的，且,和 (離散變量)或 (連續(xù)變量)的關(guān)系，就像向上累計頻率和頻率的關(guān)系一樣。不同之處在于， 累計的是概率。但使用分布函數(shù)的好處是很明顯的，它不僅在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一了對離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量概率的研究，而且由于它計算概率的起點都固定為，因而可以把概率值換算

10、成表，以易于求得任何區(qū)間的概率，從而達(dá)到計算快捷和應(yīng)用廣泛之目的。,例：求兩顆骰子點數(shù)的分布函數(shù)。,一、二項試驗,二項試驗：滿足以下條件的試驗。 1. 一次試驗只有兩種可能結(jié)果，可記為成功和失??； 2. 各次試驗之間相互不影響，即相互獨立； 3. 各次試驗中兩種結(jié)果的概率保持不變。,第二節(jié) 二項分布,從擲硬幣的試驗入手。假定二項試驗由重復(fù)拋擲n次硬幣組成，已知硬幣面朝上(成功)的概率是p，面朝下(失敗)的概率是q (顯然有 q1p)。這樣，對試驗結(jié)果而言，成功的次數(shù)（即硬幣面朝上的次數(shù)）X是一個離散型隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，3，n。而對X的一個具體取值x而言，根據(jù)乘法規(guī)則，我們立刻

11、可以就試驗結(jié)果計算出一種特定排列方式(先x次面朝上，而后nx次面朝下)實現(xiàn)的概率，即 ppppqqqqpxqn-x,二、二項分布函數(shù),光考慮乘法規(guī)則是不夠的，還要考慮加法規(guī)則，于是 就x次成功和（nx）次失敗這個宏觀結(jié)果而言所包含 的所有排列的方式數(shù)，用符號表示 這樣，我們就得到了二項試驗中隨機(jī)變量X的概率分 布，即,譬如，二項試驗是將一枚硬幣重復(fù)做8次拋擲，假設(shè)這枚硬幣是無偏的，即 pq0.5，那么恰好得到5次面朝上的概率是,同理，我們也可以求出 這個二項試驗中硬幣剛好為0，1，2，8次面朝上的各種宏觀結(jié)果的概率。,例：從男生占2/5的學(xué)校中隨機(jī)抽取6個學(xué)生，正好抽到4個男生的概率是多少？

12、解：這是一個二項試驗，試驗次數(shù)n=6，每次抽取中抽到男生的概率p=2/5=0.4，抽不到男生的概率q=3/5=0.6，此題要求抽到4個男生，即X=4，根據(jù)二項分布函數(shù)可得：,三、二項分布的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差,當(dāng)二項試驗的次數(shù)n比較大時，二項分布接近正態(tài)分布，此時在n次二項試驗中成功事件出現(xiàn)次數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：,例：從男女各占1/2的學(xué)校中隨機(jī)抽10名學(xué)生，從理論上說，平均應(yīng)抽到男生5人，標(biāo)準(zhǔn)差為1.58,九個二項分布B(5,p) (p0.1到0.9)的概率分布圖,四、二項分布圖,當(dāng)n趨近于無限大時，二項分布接近于正態(tài)分布； 當(dāng)p=q，不管n多大，二項分布呈對稱形； 當(dāng)pq，且n相當(dāng)小時，圖

13、形呈偏態(tài)，pq與pq偏斜方向相反； 當(dāng)pq且np5，或者pq且nq5時，二項分布近似正態(tài)分布。,五、二項分布的應(yīng)用,1. 求二項試驗中成功事件出現(xiàn)X次的概率； 2. 判斷二項試驗結(jié)果的機(jī)遇性和真實性； 3. 用于推斷統(tǒng)計。,練習(xí),一名參加古代史期中考試的學(xué)生遇到了兩個在他缺席的一堂課中講述的問題，所以他決定采用隨機(jī)猜測的方法給出答案。下面的概率格式多少？ 對錯題的答案正確； 單選題的答案正確； 對錯題和單選題的答案都正確； 對錯題和單選題的答案都不正確； 對錯題的答案正確，單選題的答案不正確； 對錯題的答案不正確，單選題的答案正確。,練習(xí),一名參加古代史期中考試的學(xué)生遇到了兩個在他缺席的一堂課

14、中講述的問題，所以他決定采用隨機(jī)猜測的方法給出答案。下面的概率各是多少？ 對錯題的答案正確； 單選題的答案正確； 對錯題和單選題的答案都正確； 對錯題和單選題的答案都不正確； 對錯題的答案正確，單選題的答案不正確； 對錯題的答案不正確，單選題的答案正確。,第三節(jié) 正態(tài)分布,理解正態(tài)分布的意義和特征。 理解標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的意義，掌握標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)化方法并能應(yīng)用。 理解標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的意義和特征，能熟練使用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表。 了解正態(tài)分布的應(yīng)用。,學(xué)習(xí)目標(biāo),一、正態(tài)分布,1. 正態(tài)分布的數(shù)學(xué)形式 正態(tài)分布又稱為常態(tài)分布，是一種連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布。正態(tài)曲線函數(shù)為：,2. 正態(tài)分布性質(zhì),（1）正態(tài)曲線以x=

15、呈鐘型對稱，均值=中位數(shù)=眾數(shù) （2）在x=處，概率密度最大；當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn)，x落在這個區(qū)間的概率越小。 （3）正態(tài)曲線的外形由值確定。對于固定的值，不同均值的正態(tài)曲線的外形完全相同，差別只在于曲線在橫軸方向上整體平移了一個位置 。 （4）對于固定的值，改變值，值越小，正態(tài)曲線越陡峭；值越大，正態(tài)曲線越低平。,固定，變動,固定，變動,3. 正態(tài)曲線的特點,曲線不止一條，而是有一個正態(tài)曲線族。 曲線隨著分布的、N的變化而變化。 曲線在平均數(shù)處為最高點。 以平均數(shù)為中心，形成中間高，兩側(cè)逐漸降低的對稱分布。 以橫軸為漸進(jìn)線。,三、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,1. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布。分

16、布函數(shù)為：,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線是一個以Z=0（平均數(shù)）為中心的雙側(cè)對稱曲線，曲線在Z=0處為最高點，兩側(cè)逐漸降低，并無限延伸，但永不與基線相交。,由于把一組原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成Z分?jǐn)?shù)之后，這組Z分?jǐn)?shù)的平均數(shù)為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，因此，只要將自變量X轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)Z，就可以將任何一個正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。,2. 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表,結(jié)構(gòu)：（教材323頁附表1） （1）Z值（Z0） （2）Y值：Z值的縱線高度（概率） （3）P值：某個Z值到Z=0之間的概率 用途： （1）已知Z值查Y值、P值 （2）已知P值查Z值、Y值,查表方法 （1）已知Z值查Y值 Z為正數(shù)時直接查表；Z為負(fù)數(shù)時以Z的絕對值查表。 例：Z=1

17、時，以Z=1查表，對應(yīng)的Y=0.24179。 （2）已知Z值查P值：Z=0到某個Z值之間的P Z為正數(shù)時直接查表，Z為負(fù)數(shù)時以Z的絕對值查表。 例：Z= 1時，以Z=1查表，P=0.34134，即Z=0于Z= 1之間的概率為0.34134。,（2）已知Z值查P值：兩個Z值之間的P 兩個Z值符號相同，它們之間的P等于兩個Z值與Z=0之間的概率之差。 例：Z=2與Z=1之間的概率為： P=0.47725 0.34134=0.13591 兩個Z值符號相反，它們之間的P等于兩個Z值與Z=0之間的概率之和。 例：Z= 2與Z=1之間的概率為： P=0.47725+0.34134=0.81859,（2）已

18、知Z值查P值：一個Z值以上或以下區(qū)間的P 第一步：查出Z與Z=0之間的P 第二步：計算0.5 P或0.5+P 例：Z=1以上區(qū)間的概率 P=0.50.34134=0.15866 Z=1以下區(qū)間的概率 P=0.5+0.34134=0.84134,（3）已知P值查Z值、Y值 P為Z=0以上或以下某個區(qū)間的概率時，直接以P值查表。 例： Z=0以上一個區(qū)間的概率為0.25，在表P列找到和0.25最接近的0.24857，查得Z=0.67，Y=0.31874。 如果區(qū)間是Z=0以下，則把查出的Z值加上負(fù)號即可，Y值不變。,P為正態(tài)曲線上端或下端某個區(qū)間的概率，且P0.5時，用0.05P的值查表。 例：正

19、態(tài)曲線上端一個區(qū)間的P=0.05，求得0.50.05=0.45，在表P列找到和0.45最接近的0.45053，對應(yīng)的Z=1.65，Y=0.10226 如果區(qū)間在曲線下端，則把查出的Z值加上負(fù)號即可，Y值不變。,P為正態(tài)曲線右端或左端某個區(qū)間的概率，且P0.5時，用P-0.05的值查表。 例：正態(tài)曲線右端某個區(qū)間的P=0.7，則0.70.5=0.2，在表P列找到和0.2最接近的0.19847，其對應(yīng)的Z=0.52，Y=0.34849，此區(qū)間的端點小于0，故Z=0.52。 如果區(qū)間在曲線左端，Z為正值。,P為正態(tài)曲線以Z=0為中心的某個對稱區(qū)間的概率時，用P2的值查表。 例：已知正態(tài)曲線以Z=0為

20、中心的某個對稱區(qū)間的概率為0.99，則0.99 2=0.495，在表中P列找到和0.495最接近的0.49506，對應(yīng)的Z=2.58， Y=0.01431，下端的Z= 2.58 。,四、正態(tài)分布的應(yīng)用,1. 推斷統(tǒng)計中的應(yīng)用 2. 教育測驗、評價方面的應(yīng)用,原始分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù) 確定錄取分?jǐn)?shù)線 確定等級評定人數(shù) 品質(zhì)評定數(shù)量化,例:在任意正態(tài)分布中，總面積的百分比之多少落在以下各區(qū)間內(nèi)？ 位于均值和均值之上一個標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值之間； 位于均值之上的一個標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值和一個均值之下一個標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值之間； 位于均值和均值之上2的數(shù)值之間； 位于均值之上+2和-2的數(shù)值之間。,例:學(xué)力評估測試（SAT）

21、按正態(tài)分布進(jìn)行了標(biāo)準(zhǔn)化，其均值=500。標(biāo)準(zhǔn)差=100.SAT分?jǐn)?shù)的多少百分比落在以下各區(qū)間內(nèi)？ 500和600之間； 400和600之間； 500和700之間； 300和700之間； 高于600； 低于300。,例:在某所大學(xué)的學(xué)生中，平均缺課天數(shù)=3.5，標(biāo)準(zhǔn)差=1.2.假設(shè)這所大學(xué)的缺課情況符合正態(tài)分布，請確定： 一名學(xué)生缺課3.5到5天的概率； 一名學(xué)生缺課5天或以上的概率； 三名學(xué)生都缺課5天或以上的概率。,例:兒科數(shù)據(jù)顯示兒童平均在26個月時學(xué)會控制便溺，但是這個正態(tài)分布中有2個月的標(biāo)準(zhǔn)差。請問： 在23個月以前學(xué)會控制便溺的兒童的百分比是多少？ 一位母親為她的兒子是在第30個月學(xué)會控制便溺而焦慮。她兒子的百分等級是多少？兒童有多大可能在這個時間及以前學(xué)會控制便溺？ 一位母親發(fā)現(xiàn)她的兒子是在18個月學(xué)會控制便溺的。她兒子的百分等級是多少？兒童有多大可能在這個時間及以前學(xué)會控制便溺？,例:智商分?jǐn)?shù)符合均值=100，標(biāo)準(zhǔn)差=15的正態(tài)分布?；谶@個分布，確定： 智商分?jǐn)?shù)在100到120的百分