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1、2 無窮積分的性質(zhì)及收斂判別,一、無窮積分的性質(zhì),本節(jié)討論了無窮積分的性質(zhì),并用這些性,質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.,二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法,三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法,收斂的充要條件是,一、無窮積分的性質(zhì),證,極限的柯西準則,此等價于,性質(zhì)1,任意常數(shù),則,即,根據(jù)反常積分定義,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1和性質(zhì)2.,性質(zhì)2,h(x) 在任意 a, u上可積, 且,證 因為,收斂,由柯西準則的必要性,再由柯西準則的充分性,二、非負函數(shù)無窮積分的收斂判別法,上的非負函數(shù) f 在任何,收斂的充要條件是:,定理11.3 (非負函數(shù)無窮積分的比較判別法),在 上的兩個非負函數(shù) f , g 在任

2、何有限區(qū),增函數(shù)的收斂判別準則,間a, u上可積,且存在 滿足,設(shè)定義,證,由非負函數(shù)無窮積分的判別法,第二個結(jié)論是第一個結(jié)論的逆否命題,因此也成立.,證,推論1 設(shè)非負函數(shù) f 和 g 在任何 a,u 上可積, 且,由于,證,即,推論2 設(shè) f 是定義在 上的非負函數(shù), 在任何,限區(qū)間 a, u 上可積.,推論3設(shè) f 是定義在 上的非負函數(shù),在任何有,說明: 推論3是推論2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫,出它的證明.,解 (i),無窮積分,以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性.,三、一般函數(shù)無窮積分的判別法,若 f 在任何,有限區(qū)間 a, u上可積,定理11.4 (絕對收斂的無窮積分必收斂),證,因此,再由柯西準則的充分性,又對任意,一般函數(shù)的無窮積分還可試用以下的狄利克雷判,定理11.5(狄利克雷判別法）,證,故,別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.,使得,因此, 由柯西準則，,定理11.6 (阿貝爾判別法),證 證法1,由 g 的單調(diào)性,用積分第二中值定理，任意的,使得,由柯西準則,證法2,由狄利克雷判別法,解,對收斂.,收斂,所以,由狄利克雷判別法知,另一方面，,狄利克雷判,別法條件，是收斂的；,類

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