數(shù)值分析迭代法

1、第二節(jié) 迭代法,它是一種逐次逼近的方法,用某個(gè)固定公式反復(fù)校正根的近似值,使之逐步精確化，最后得到滿(mǎn)足精度要求的結(jié)果。,6.2.1 迭代法的基本思想 為求解非線(xiàn)性方程f(x)=0的根，先將其寫(xiě)成便于迭代的等價(jià)方程,其中 為x的連續(xù)函數(shù)。,即如果數(shù) 使 f(x)=0,任取一個(gè)初值 ,代入式 的右端, 得到,則也有,反之, 若 ,則也有,再將 代入式 的右端,得到,上式稱(chēng)為求解非線(xiàn)性方程的簡(jiǎn)單迭代公式,依此類(lèi)推, 得到一個(gè)數(shù)列,其一般表示,稱(chēng) 為迭代函數(shù) 。,例1 試用迭代法求方程 在區(qū)間(1，2)內(nèi)的實(shí)根。,解：由 建立迭代關(guān)系,計(jì)算結(jié)果如下:,k=0,1,2,3.,精確到小數(shù)點(diǎn)后五位,但如果由

2、 建立迭代公式,仍取 ，則有,顯然結(jié)果越來(lái)越大， 是發(fā)散序列,（全局收斂定理）,6.2.2 收斂性分析,存在唯一性,做輔助函數(shù),，則有,所以，存在點(diǎn),若,，則有：,又，,則,所以，任意的初值都收斂,誤差估計(jì),注：L越小，收斂越快。,例2 證明函數(shù) 在區(qū)間1，2上滿(mǎn)足迭代收斂條件。,證明：,若取迭代函數(shù) 不滿(mǎn)足定理，故不能肯定 收斂到方程的根。,定理 設(shè) 是方程 的根，如果滿(mǎn)足條件 ： （1）迭代函數(shù) 在 的鄰域可導(dǎo)； （2）在 的某個(gè)鄰域 ，對(duì)于任意 ，有,局部收斂性,則對(duì)于任意的初始值 ，由迭代公式 產(chǎn)生的數(shù)列 收斂于方程的根。 （這時(shí)稱(chēng)迭代法在 的S鄰域具有局部收斂性。）,例3 設(shè) ，要使

3、迭代過(guò)程 局部收斂到 ,求 的取值范圍。 解： 由在根 鄰域具有局部收斂性時(shí)， 收斂條件,所以,實(shí)際計(jì)算中當(dāng)然不可能也沒(méi)必要無(wú)窮多步地做下去, 對(duì)預(yù)先給定的精度要求，只要某個(gè)n滿(mǎn)足,即可結(jié)束計(jì)算并取,當(dāng)然，迭代函數(shù) 的構(gòu)造方法是多種多樣的。,簡(jiǎn)單迭代收斂情況的幾何解釋,定義 設(shè)迭代過(guò)程 收斂于 的根 ,記迭代誤差 若存在常數(shù)p（p1）和c（c0），使,則稱(chēng)序列 是 p 階收斂的,c稱(chēng)漸近誤差常數(shù)。特別地,p=1時(shí)稱(chēng)為線(xiàn)性收斂,p=2時(shí)稱(chēng)為平方收斂。1 p 2時(shí)稱(chēng)為超線(xiàn)性收斂。,6.2.3 迭代法的收斂速度,數(shù)p的大小反映了迭代法收斂的速度的慢，p愈大，則收斂的速度愈快，故迭代法的收斂階是對(duì)迭代

4、法收斂速度的一種度量。,定理 設(shè)迭代過(guò)程 ,若 在所求根 的鄰域連續(xù)且 則迭代過(guò)程在 鄰域是p階收斂的。,證: 由于,所以 有局部收斂性, 將 在 處泰勒展開(kāi),即在 鄰域 ,根據(jù)已知條件得,由迭代公式,及,有,例4 已知迭代公式 收斂于 證明該迭代公式平方收斂。,證: 迭代公式相應(yīng)的迭代函數(shù)為,將 代入，,根據(jù)定理可知，迭代公式平方收斂。,為了使迭代過(guò)程收斂或提高收斂的速度, 可設(shè)法 提高初值的精度以減少迭代的次數(shù) 提高收斂的階數(shù) p,（1）迭代-加速公式（加權(quán)法） 設(shè) 是根 的某個(gè)近似值,用迭代公式校正一次得,6.2.4 迭代過(guò)程的加速,又,根據(jù)中值定理有,可見(jiàn),若將迭代值 與 加權(quán)平均,則

5、可得到的,是比 更好的近似根,則有：,當(dāng) 范圍不大時(shí),設(shè) 變化不大,其估計(jì)值為L(zhǎng),迭代： 改進(jìn)： 或合并寫(xiě)成：,例5 用加權(quán)法加速技術(shù)求方程 在0.5附近的一個(gè)根。,取L=-0.6，建立如下迭代公式,解： 因?yàn)樵?附近,仍取 ,逐次計(jì)算得 =0.56658 =0.56714 。迭代4次便可得到精度 的 結(jié)果,而不用加速技術(shù)需迭代18次,效果顯著。,（2）埃特金（Aitken）方法 在加權(quán)法中, 估計(jì)L的值有時(shí)不太方便。假設(shè)在求得 以后, 先求出,由,利用中值定理可得,( 在求根區(qū)間變化不大, 用某個(gè)定值L近似地替代之),將迭代值 再迭代一次, 得新的迭代值,將上述兩個(gè)方程聯(lián)立消去常數(shù)L化簡(jiǎn)可得,則,這樣