高中數(shù)學(xué)：1.4.2《空間圖形的基本關(guān)系與公理》教案（北師大版必修2）（通用）

1、空間圖形的基本關(guān)系與公理1 .教育內(nèi)容：空間圖形的基本關(guān)系與公理2 .學(xué)習(xí)目的：1 .學(xué)習(xí)觀察長(zhǎng)方體模型的中點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系，結(jié)合長(zhǎng)方體模型可以掌握關(guān)于空間圖形的概念和定理，掌握平面的基本性質(zhì)，公理4和等角定理2、通過自各兒空間形象能力的培養(yǎng)和發(fā)展、運(yùn)用圖示語言交流能力、幾何直覺能力、典型案例的學(xué)習(xí)和自主探索活動(dòng)，了解數(shù)學(xué)概念和結(jié)論，并掌握其中包含的數(shù)學(xué)思想方法3 .體會(huì)推論中反映的辯證法思維價(jià)值觀，培養(yǎng)嚴(yán)格的思維習(xí)慣和認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度。三、知識(shí)要點(diǎn)(1)空間位置關(guān)系：I .空間點(diǎn)和線的關(guān)系空間點(diǎn)和直線的位置關(guān)系有2種。 點(diǎn)p在直線上。 點(diǎn)p在直線之外：、空間點(diǎn)與平面的關(guān)系空間點(diǎn)和平面的位置

2、關(guān)系有兩種。 點(diǎn)p在平面上。 點(diǎn)p在平面外。III、空間直線與直線的位置關(guān)系：IV、空間直線與平面的位置關(guān)系：v .空間平面與平面的位置關(guān)系：平行相交說明：本模塊中所說的“2個(gè)平面”、“2條直線”等都是指不重疊的情況。(2)異面直線的判定1、定義法：采用反證法構(gòu)想，否定平行和交叉兩種情況即可2 .判定定理：如果知道p點(diǎn)在平面上，則平面上不通過該點(diǎn)的直線和平面外通過該點(diǎn)的直線是異面直線。(3)平面的基本性質(zhì)公理1 .如果公理1直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，則該直線上的所有點(diǎn)都在該平面內(nèi)(即，直線在平面內(nèi)，或者平面通過該直線)。2 .公理2通過不在同一直線上的3點(diǎn)，并且只有一個(gè)平面(即確定一個(gè)平面)。

3、3 .公理3如果不重疊的兩個(gè)平面有共同點(diǎn)，那么它們有，通過該點(diǎn)的共同直線只有一條。4 .平面基本性質(zhì)公理的三個(gè)推論通過直線和直線以外的點(diǎn)，只有一個(gè)平面穿過相交的兩條直線，只有一個(gè)平面穿過兩條平行的直線，只有一個(gè)平面思考：公理是正確的，不需要證明的命題，推論怎么樣？平面的基本性質(zhì)公理是如何刻畫出平面的性質(zhì)的(4)平行公理(公理4 ) :平行于同一直線的兩條直線平行。(5)等角定理：在空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別平行對(duì)應(yīng)，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。(6)空間四邊形：將非共面的4點(diǎn)依次連接而構(gòu)成的圖形稱為空間四邊形。【典型例題】試驗(yàn)點(diǎn)一空間點(diǎn)線面位置關(guān)系的判斷：主要的判斷依據(jù)是關(guān)于平面的基本性質(zhì)公理及其

4、推論、平行公理、等角定理等的結(jié)論。例1 .下列命題：空間的三個(gè)不同點(diǎn)決定平面有三個(gè)共同點(diǎn)的兩個(gè)平面一定重合空間中兩條相交的三條直線決定一個(gè)平面平行四邊形、梯形等所有四邊形都是平面圖形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形為平行四邊形一條直線和兩個(gè)線面平行中的一條交叉，必須和另一條交叉。其中正確的命題是。解：。例2 .空間的三條直線能決定幾個(gè)平面？ 畫示意圖說明。解： 0個(gè)、1個(gè)、2個(gè)或3個(gè)。 每個(gè)圖(圖中繪制的平面為輔助平面):試點(diǎn)二異面直線的判斷：主要依據(jù)異面直線的定義和判定定理。例3 .圖是立方形的展開圖，將其返回到立方形，存在AB、CD、EF、GH四條直線的直線是有異面直線的，分別是解： 3對(duì)，分別為

5、AB、GH； AB、光盤； GH、EF。試點(diǎn)3“有只有一個(gè)”的證明：一般來說，這種問題類型的證明需要分為兩個(gè)步驟，分別證明“有”即存在性和“只有一個(gè)”即唯一性。求證：有兩條平行的直線，只有一個(gè)平面。已知直線ab。求證：有a、b，只有一個(gè)平面。證明：存在性：從線面平行的定義可知，過于平行的直線a、b有平面。唯一性(反證法) :假設(shè)a、b有兩個(gè)平面。 在直線上取2點(diǎn)a、b，在直線b上取1點(diǎn)c，則a、b、c這3點(diǎn)不是共線。 因?yàn)檫@些個(gè)兩平面都通過直線a、b，所以從公理1可以看出，通過點(diǎn)a、b、c。 由于平面的基本性質(zhì)公理2中唯一存在超過不共線三點(diǎn)的平面，所以重疊，與假說不符點(diǎn)。 不符點(diǎn)表示平行的直線

6、a、b只有一個(gè)平面。綜上所述，有a、b，只有一個(gè)平面。試點(diǎn)四共點(diǎn)的判斷與證明：這種問題類型主要有三線共點(diǎn)和三面共點(diǎn)。例5 .三個(gè)平面相交兩條，有三條交線，求證：三條交線或平行，或一點(diǎn)相交。平面，要求證據(jù)：已知abc或a、b、c與一點(diǎn)p相交。證明：所以，a、b是一個(gè)平面。因?yàn)槭侵本€，所以a、c沒有共同點(diǎn)。 另外，由于a、c都在平面內(nèi)，因此ab； 所以.II，如果是的話，故知綜上所述，命題成立。說明：證明三點(diǎn)共線問題的一般設(shè)想是，首先證明兩條直線相交，然后證明其升交點(diǎn)在第三條直線上的升交點(diǎn)，在第三條直線上，證明該點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的共同點(diǎn)，兩個(gè)平面的升交點(diǎn)在第三條直線上試點(diǎn)五共線的判斷與證明：常見的

7、題型為三點(diǎn)共線。例6 .如圖所示，O1是立方形ABCD-A1B1C1D1的面A1B1C1D1的中心，m是對(duì)折角線A1C和截面B1D1A的升交點(diǎn)，求出O1、m、a的三點(diǎn)共線。證明：為了連接A1C1B1D1=O1、B1D1平面B1D1A、A1C1AA1C1C，AC .是o1-平面B1D1A且O1AA1C1C。 同樣地，m -平面B1D1A且MAA1C1C； a -平面B1D1A且AAA1C1C 因此，由于O1、m、a三點(diǎn)位于平面B1D1A與AA1C1C的交線上，所以O(shè)1、m、a三點(diǎn)成為共線。說明：證明三線共點(diǎn)問題的常見思維方法是證明在第三點(diǎn)的前兩點(diǎn)決定的直線上，或者證明三點(diǎn)是兩個(gè)相交平面的共同點(diǎn)，

8、并證明位于兩個(gè)平面的相交線上。試點(diǎn)6共面問題的判斷與證明：此類問題類型常見于4點(diǎn)共面或3線共面，例如證明某圖形為平面圖形。例7 .如該圖所示，在空間四邊形ABCD中，e、f分別是AB、AD的中點(diǎn)，g、h分別是BC、CD上的點(diǎn)，CG=BC/3，CH=DC/3。 征求證據(jù)： e、f、g、h四點(diǎn)共面直線FH、EG、AC共點(diǎn)。證明：如圖所示，連接HG、EF。 在ABd中，e、f分別是ab、AD的中點(diǎn)，由于EF是abd的中二進(jìn)制位線，因此是EFBD。 在CBD的情況下，因?yàn)镃G=BC/3并且CH=DC/3，所以GH和EF可以根據(jù)EFGH指定平面，即，g、h、e等由于e、f、g、h四個(gè)點(diǎn)為同一平面，且FH

9、與EG不平行，因此交叉，若將升交點(diǎn)記作m，則由于是MFH、FH面ACD，因此m -面ACD； 因?yàn)槭荕EG面ABC，所以m -面ABC。 因此，m是表面ACD與表面ABC的公共點(diǎn)，并且如可以從公理3中看出的，m是這些個(gè)兩個(gè)平面的相交線AC上，并且FH、EG和AC的三線是公共點(diǎn)。描述：共面問題的常用處理方法是利用平面的基本性質(zhì)公理2和三個(gè)推理，先證明一些要素確定一個(gè)平面，再證明剩馀的要素也在這個(gè)平面上。 在某些情況下，您可以驗(yàn)證某些元素是齊平面的，而其他元素是齊平面的，然后驗(yàn)證兩個(gè)這些個(gè)平面的重疊(在這種情況下，也可以使用反證法)。與本話有關(guān)的主要數(shù)學(xué)思想方法1 .數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)表達(dá)和數(shù)學(xué)思維中

10、不可缺少的重要工具，這些個(gè)三種語言，即語言文字、符號(hào)語言和圖示語言必須能夠正確地表達(dá)為對(duì)譯。 這對(duì)于空間關(guān)系的證明和判斷是非常重要的。2、空間觀念和空間想象力：高考中立體幾何問題的題型功能最重要的一點(diǎn)是調(diào)查考生的空間觀念和空間想象力，我們通過平面圖形(直觀圖)研究空間關(guān)系，因此學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中一定要多觀察、多思考、多手工制作空間模型，或通過計(jì)算機(jī)漫動(dòng)畫【模擬問題】一、選擇題1 .在空間內(nèi)，能夠確定一個(gè)平面的條件是()a .兩條相交的三條直線b .一方與另一方分別交叉的3條直線三分球d .兩條相交但不相交于同一點(diǎn)的三條直線2、在(2020遼寧卷)立方形ABCDA1B1C1D1中，e、f是分別在

11、棱AA1、CC1的中點(diǎn)，在空間中與三條直線A1D1、EF、CD交叉的直線()不存在a.b .只存在2條c .只存在3條d .*3.平面外一點(diǎn)p和平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)a、b、c是已知的。 如果a、b、c分別在PA、PB、PC上，將ab、bc、ac和平面分別交給d、e、f這3點(diǎn)，則d、ea .鈍角三角形b .銳角三角形c .垂直角三角形d .在一條直線上4 .空間中有3條線段AB、BC、CD，如果ABC=BCD，則直線AB和CD的位置關(guān)系為()a .平行b .異面c .交叉d .可以平行或異面或交叉5、以下記述中正確的是()因?yàn)槭荘Q，Q，所以是PQ。因?yàn)閎.p、Q，所以設(shè)為=PQ。因?yàn)槭荂AB，D

12、AB，所以是CD。因此，是a -和b -。6 .如果知道異面直線a、b分別在平面、內(nèi)=c，則c ()a .至少與a、b中的一方交叉b .最多與a、b中的一條交叉c .至少與a、b中的一個(gè)平行d .與a、b中的一方平行，與另一方交叉7 .在已知的空間四邊形ABCD中，m、n分別是AB、CD的中點(diǎn)，以下的判斷正確的是()二、填海問題8 .在空間四邊形ABCD中，如果m、n分別為BC、AD的中點(diǎn)，則2MN與ABCD的大小關(guān)系為正。9 .對(duì)于空間中的3條直線，有以下4個(gè)條件： 3條直線2條相交，非共點(diǎn)3條直線2條平行3條直線共點(diǎn)2條直線平行，第3條直線與這2條直線相交。 其中，有三條直線齊平的。三、解答問題10 .在立方形ABCD-A1B1C1D1中，e和f分別是AB和AA1的中點(diǎn)。尋求證據(jù)： CE、D1F、DA三線共點(diǎn)征求證據(jù)： e、c、D1、f四點(diǎn)共面11 .在立方