淺談一筆畫問題

1、淺談一筆畫問題摘要：一筆畫問題是一個幾何問題，傳統(tǒng)意義上的幾何學(xué)是研究圖形的形狀大小等性質(zhì)，而存在一些幾何問題，它們所研究的對象與圖形的形狀和線段的長短沒關(guān)系，而只和線段的數(shù)目和它們之間的連接關(guān)系有關(guān)，比如一筆畫問題就是如此。一筆畫問題是一個簡單的數(shù)學(xué)游戲，即平面上由曲線段構(gòu)成的一個圖形能不能一筆畫成，使得在每條線段上都不重復(fù)？例如漢字日和中字都可以一筆畫的，而田和目則不能。關(guān)鍵詞:一筆畫 規(guī)律 原理 早在18世紀(jì)，瑞士的著名數(shù)學(xué)家歐拉就找到了一筆畫的規(guī)律。歐拉認(rèn)為，能一筆畫的圖形必須是連通圖。連通圖就是指一個圖形各部分總是有邊相連的 但是，不是所有的連通圖都可以一筆畫的。能否一筆畫是由圖的奇

2、、偶點(diǎn)的數(shù)目來決定的。一筆畫問題是圖論中一個著名的問題。一筆畫問題起源于柯尼斯堡七橋問題。數(shù)學(xué)家歐拉在他1736年發(fā)表的論文柯尼斯堡的七橋中不僅解決了七橋問題，也提出了一筆畫定理，順帶解決了一筆畫問題。一般認(rèn)為，歐拉的研究是圖論的開端。與一筆畫問題相對應(yīng)的一個圖論問題是哈密頓問題。 一、一筆畫規(guī)律數(shù)學(xué)家歐拉找到一筆畫的規(guī)律是： （一）凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成。畫時可以把任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖。 （二）凡是只有兩個奇點(diǎn)的連通圖（其余都為偶點(diǎn)），一定可以一筆畫成。畫時必須把一個奇點(diǎn)為起，另一個奇點(diǎn)終點(diǎn)。 （三）其他情況的圖都不能一筆畫出。（有偶數(shù)個奇點(diǎn)除以

3、二便可算出此圖需幾筆畫成） 比如附圖：（a）為（1）情況，因此可以一筆畫成；（b）（c）（d）則沒有符合以上兩種情況，所以不能一筆畫成。補(bǔ)充：相關(guān)名詞的含義頂點(diǎn)與指數(shù)：設(shè)一個平面圖形是由有限個點(diǎn)及有限條弧組成的，這些點(diǎn)稱為圖形的頂點(diǎn)，從任一頂點(diǎn)引出的該圖形的弧的條數(shù)，稱為這個頂點(diǎn)的指數(shù)。奇頂點(diǎn)：指數(shù)為奇數(shù)的頂點(diǎn)。偶頂點(diǎn)：指數(shù)為偶數(shù)的頂點(diǎn)。 二、一筆畫原理 (一)一筆畫必須是連通的(圖形的各部分之間連接在一起)； (二)沒有奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時可以以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)； (三)只有兩個奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時必須以一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，以另一個奇點(diǎn)為終點(diǎn)； (四)奇點(diǎn)個數(shù)超過兩

4、個的圖形不是一筆畫利用一筆畫原理，七橋問題很容易解決。因?yàn)閳D中A，B，C，D都是奇點(diǎn)，有四個奇點(diǎn)的圖形不是一筆畫，所以一個散步者不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋。 三、順便補(bǔ)充兩點(diǎn)： （一）一個圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)因?yàn)閳D形中的每條線都有兩個端點(diǎn)，所以圖形中所有端點(diǎn)的總數(shù)必然是偶數(shù)。如果一個圖形中奇點(diǎn)的數(shù)目是奇數(shù)，那么這個圖形中與奇點(diǎn)相連接的端點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)(奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù))，與偶點(diǎn)相連的線的端點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)(任意個偶數(shù)之和是偶數(shù))，于是得到所有端點(diǎn)的總數(shù)是奇數(shù)，這與前面的結(jié)論矛盾。所以一個圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。 （二）有K個奇點(diǎn)的圖形要K2筆才能畫成例如：下頁左上圖中的房子共有B，

5、E，F(xiàn)，G，I，J六個奇點(diǎn)，所以不是一筆畫。如果我們將其中的兩個奇點(diǎn)間的連線去掉一條，那么這兩個奇點(diǎn)都變成了偶點(diǎn)，如果能去掉兩條這樣的連線，使圖中的六個奇點(diǎn)變成兩個，那么新圖形就是一筆畫了。將線段GF和BJ去掉，剩下I和E兩個奇點(diǎn)(見右下圖)，這個圖形是一筆畫，再添上線段GF和BJ，共需三筆，即(62)筆畫成。一個K(K1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個奇點(diǎn)，如果在任意兩個奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個奇點(diǎn)同時變成了偶點(diǎn)。如左下圖中的B，C兩個奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn)。所以只要在K筆畫的2K個奇點(diǎn)間添加(K-1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個，從而變成一筆畫。到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)會了如何判斷一筆畫和多筆畫，以及怎樣添加連線將多筆畫變成一筆畫。 四、鞏固練習(xí) （一）下列圖形分別是幾筆畫？怎樣畫？ （二）能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個正