數(shù)值計算第五章.ppt

1、第五章 矩陣特征問題的求解,1 引言,定義1 設(shè)矩陣A, BR nn，若有可逆陣P，使 則稱A與B相似。,定理1 若矩陣A, BR nn且相似，則 （1）A與B的特征值完全相同； （2）若x是B的特征向量，則Px便為A的特征向量。,定理2： 設(shè)AR nn具有完全的特征向量系，即存在n個線性無關(guān),其中i為A的特征值，P的各列為相應(yīng)于i的特征向量。,的特征向量構(gòu)成Rn的一組基底，則經(jīng)相似變換可化A為,對角陣，即有可逆陣P，使,定理3 ：AR nn，1, , n為A的特征值，則,（2）A的行列式值等于全體特征值之積，即,（1）A的跡數(shù)等于特征值之和，即,定理4 設(shè)AR nn為對稱矩陣，其特征值12n

2、，則,（1）對任意AR n，x0，,（2）,（3）,定理5 （Gerschgorin圓盤定理） 設(shè)AR nn，則,表示以aii為中心，以 半徑為的復(fù)平面上的n個圓盤。,（2）如果矩陣A的m個圓盤組成的并集S（連通的）與其余,（1）A的每一個特征值必屬于下述某個圓盤之中，,n m個圓盤不連接，則S內(nèi)恰包含m個A的特征值。,2 乘冪法與反冪法,5.2.1 乘冪法,定理6 設(shè)A Rnn有完全特征向量系，若1, 2, n為A的n個特征值且滿足,對任取初始向量x(0) Rn，對乘冪公式,確定的迭代序列xk，有下述結(jié)論：,（1）當(dāng) 時，對i = 1, 2, , n,收斂速度取決于 的程度，r 1收斂快，r

3、 1收斂慢，,且x(k)（當(dāng)k充分大時）為相應(yīng)于1的特征向量的近似值。,（2）當(dāng) 時,a）若1 = 2，則主特征值1及相應(yīng)特征向量的求法同（1）；,收斂速度取決于 的程度。向量 、,c）若 ，則連續(xù)迭代兩次，計算出x(k+1)，x(k+2)，,分別為主特征值1、2相應(yīng)的特征向量的近似值。,然后對j = 1, 2, , n 解方程,b）若1 = -2，對i = 1, 2, , n,求出 、 后，由公式,解出主特征值1、2。此時收斂速度取決于 的程度。,向量 、 分別為相應(yīng)于1，2,的特征向量的近似值。,規(guī)范化乘冪法,令max(x)表示向量x分量中絕對值最大者。即如果有某i0，使,則,max (x

4、) = xi,對任取初始向量x(0)，記,則,一般地，若已知x(k)，稱公式,定理7 設(shè)ARnn具有完全特征向量系，1, 2, , n為A,則對任初始向量x(0)，由規(guī)范化的乘冪法公式確定的向量序列,(1),（2）y(k)為相應(yīng)于主特征值1的特征向量近似值,的n個特征值，且滿足,y(k)，x(k)滿足,5.2.2 原點(diǎn)位移法,希望 | 2 / 1 | 越小越好。,不妨設(shè) 1 2 n ，且 | 2 | | n |。,取0（常數(shù)），用矩陣B = A - 0I 來代替A進(jìn)行乘冪迭代。,(i = 1, 2, , n),設(shè)i (i = 1, 2, , n)為矩陣B 的特征值，則B與A特征值之間,應(yīng)有關(guān)系

5、式：,關(guān)于矩陣B的乘冪公式為,為加快收斂速度，適當(dāng)選擇參數(shù)0，使,達(dá)到最小值。,當(dāng)i (i = 1, 2, , n)為實(shí)數(shù)，且12 n時，取,則為 (0) 的極小值點(diǎn)。這時,5.2.3 反冪法,如何計算,解線性方程組,對應(yīng)同樣一組特征向量。,設(shè)ARnn可逆，則無零特征值，由,有,規(guī)范化反冪法公式為,如果考慮到利用原點(diǎn)移位加速的反冪法，則記B = A - 0I，,對任取初始向量x(0)Rn，,5.3 子空間迭代法,斯密特（Schmidt）正交化過程：,設(shè)1，2，3 為R3上的三個線性無關(guān)的向量，,令 ，則1為單位長度的向量，再令,可以驗(yàn)證（1, 2）= 0，即1與2正交。若令,則,即與1, 2正

6、交，將其單位化為,于是向量組1, 2, 3構(gòu)成R3上一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，且,其中Q = 1, 2, 3為正交矩陣，R是上三角陣。,對n維向量空間，設(shè)1, , n為Rn上n個線性無關(guān)的向量，,類似有, ,即,Q為正交陣，R 為上三角陣,將n個線性無關(guān)向量變換為n個兩兩正交向量的方法稱為,斯密特正交化方法。,斯密特正交化過程將可逆陣A分解為正交陣與上三角陣的乘積。,5.4 對稱矩陣的雅克比 (Jacobi) 旋轉(zhuǎn)法,1預(yù)備知識,1）若B是上（或下）三角陣或?qū)顷嚕?則B的主對角元素即是B的特征值。,2）若矩陣P滿足PTP = I，則稱P為正交矩陣。,顯然PT = P-1，且P1, P2, 是正交陣時，,其乘積P = P1P2Pk仍為正交矩陣。,3）稱矩陣,為旋轉(zhuǎn)矩陣,2雅克比方法,設(shè)矩陣ARnn是對稱矩陣，記A0 = A，對A作一系列旋轉(zhuǎn)相似變換,其中Ak (k = 1, 2,)仍是對稱矩陣，Pk的形式,Pk是一個正交陣，我們稱它是（i, j）平面上的旋轉(zhuǎn)矩陣,PkAk-1Pk只改變A的第i行、j行、i列、j列的元素；,Ak和Ak-1的元素僅在第P行（列）和第q行（列）不同，,它們之間有如下的關(guān)系：,我們選取Pk，使得 ，因此需使 滿足,將 限制在下列范圍內(nèi),如果,直接從三角函數(shù)關(guān)系式計算sin 和cos，記,則,當(dāng) 時，有下面三角恒等式：,于是