微分方程組應(yīng)用

1、微分方程組應(yīng)用,微分方程組在工程技術(shù)中的應(yīng)用是非常廣泛 的，涉及的領(lǐng)域有機(jī)械、電工技術(shù)、通訊、醫(yī)學(xué) 等許多領(lǐng)域。下面給出幾個例子，用以闡述關(guān)于 微分方程組的實際應(yīng)用及其建模思想。 1、 兩自由度的振動問題 常系數(shù)線性方程組在工程技術(shù)與科學(xué)研究中 有很多應(yīng)用，不少問題都?xì)w結(jié)為它的求解問題。,兩個自由度的振動問題。為了消除不需要的振動，常常在振動系統(tǒng)中設(shè)置減振器。,其中,的受力情況。,是原機(jī)械部件的質(zhì)量；,是減振器的質(zhì),量；,和,是兩個彈簧，它們的彈性系數(shù)（或,稱為剛度）也分別用,和,是減速器,表示；,（假定阻力與速度成正比）的阻尼系數(shù)；,是強,迫力；,和,分別表示,和,距它們的平衡,位置的位移。

2、,體,和,下面來建立這個系統(tǒng)的運動方程。先分別考,慮物,律，有方程,(1) 物體,的受力情況,假定彈簧,和,都滿Hook定律。當(dāng)物體,位移,時，物體,同時位移,這時，彈簧,變形（拉長或壓縮）的長度為,。因此，,這時彈簧,的彈性力是,（力的方向與位移方向相反），由牛頓第二定,(2) 物體 的受力情況 1) 沿位移方向的外力： 2) 阻尼力： （方向與速度方向相反）； 3) 這時物體 受到兩個彈簧的作用：,彈簧 的彈性力 ；彈簧 的彈性力 。由牛頓第二定律，有 因此，上述運動系統(tǒng)滿足微分方程組,上述方程組在變換 及 之下， 就變成了一個常系數(shù)線性非齊次方程組 (4.6.1),為了簡單，只考慮無阻尼

3、自由振動的情形， 即 。于是，(4.6.1) 變成 (4.6.2),它的特征方程為 設(shè) ，則 (4.6.3) 可寫成 解之，得,容易看出， ，因此，可令 ，這時 因此，方程 (4.6.3) 最后可寫成 故 (4.6.3) 的特征根全是純虛根。(4.6.1) 解的 第一個函數(shù)可寫成形如,部件的運動頻率。這個事實可以用來防止機(jī)器,或,這是兩個簡諧運動的疊合。每一個簡諧運動,的角頻（即,與,）均與減振器的參數(shù),與,有關(guān)。因此，調(diào)整,與,可以改變原,設(shè)備與外力發(fā)生共振現(xiàn)象，以及減輕外力的干,擾等。,3、人造衛(wèi)星的軌跡方程,我們知道，人造衛(wèi)星在最后一段時間運載火箭熄滅之 后，即進(jìn)入它的軌道，軌道的形狀因

4、發(fā)射角度和發(fā)射速度的不同，而分別出現(xiàn)橢圓、拋物線或雙曲線。下面來討論這些問題。 地球與人造衛(wèi)星是相互吸引的，但因二者的質(zhì)量相差很大，因此，可假設(shè)地球是不動的，又因人造衛(wèi)星的體積與地球相比是很小的，故可把它看作質(zhì)點。為簡單起見，我們不考慮太陽、月亮和其它星球的作用，并略去空氣阻力。,在上面的假設(shè)下，可把問題歸結(jié)為： 從地球表面上一點 ，以傾角 ，初速度 射出一質(zhì)量為 的物體，如圖4.5所示，求 此物體運動的軌道方 程。 圖4.5,根據(jù)萬有引力定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力大小為,過發(fā)射點,和地心,的直線作,軸，,軸,與發(fā)射方向所成的平面為,平面，平面通過地,心，取垂直于,軸且過地心的直線為,軸，取開,始

5、發(fā)射時間為,，經(jīng)過時間,后，衛(wèi)星位于,點,，下面建立,和,所滿足的方程。,其方向指向地心，其中 是引力系數(shù)， ， 是地球質(zhì)量， ， 是地球與衛(wèi)星間 的距離。如圖4.6所示，這個引力在 軸方 向上的分力分別為,衛(wèi)星在 軸上所獲得的分加速度分別為 和 。由牛頓第二定律，得到衛(wèi)星的運動方 程為：,軸上的分量分別為,當(dāng),時，衛(wèi)星在地表面以傾角,，初速度,射出，所以，在,時，,。,衛(wèi)星的初速度在,因此，初始條件為 （4.6.6） 下面利用首次積分法來求方程組 (4.6.5) 滿足 初始條件(4.6.6)的解。將方程(4.6.5)兩端消去 后，以 乘第一個方程，以 乘第二個方 程。,然后相減，得 因為 故

6、有 對上式兩邊積分，得首次積分為,再以 乘方程組 (4.6.5) 中第一個方程，以 乘第二個方程，然后兩式相加，得 由于,及 從而得 積分得上式另一首次積分,于是，原方程組 (4.6.5) 降為較低階的方程組,將它們代入 (4.6.7) 得,作極坐標(biāo)變換，,，并求導(dǎo),兩式聯(lián)立消去 ，得,這就是衛(wèi)星運動軌道的極坐標(biāo)參數(shù)方程。若將參,這里得到一個僅含有一個未知數(shù),得一,階微分方程，若由此解出,，代入,(4.6.9)中第一式，便可確定,，由此得,到,數(shù)消去，便得出衛(wèi)星運動軌道的極坐標(biāo)方程。,利用分離變量求該方程的解得,為此，由 (4.6.9) 的第一式求得, 并,代入 (4.6.10) 得,，則上式

7、化為,整理得,令,知,或,(4.6.11),這就是所求的衛(wèi)星運動軌道的極坐標(biāo)方程，其中,有三個任意常數(shù),(或,)，它們可,由初始條件 (4.6.6) 確定。注意到當(dāng),時，,因此，,。且由(4.6.6)及(4.6.8),把它們代入 (4.6.9) 及 (4.6.11) 得 (4.6.12) 我們知道，(4.6.11)式是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程,當(dāng) 時，軌道是圓； 當(dāng) 時，軌道是橢圓； 當(dāng) 時，軌道是拋物線； 當(dāng) 時，軌道是雙曲線 下面進(jìn)一步討論衛(wèi)星發(fā)射的初速度與衛(wèi) 星軌道形狀的關(guān)系 因為,故上,故,將(4.6.12)式中的,代入上式，并整理得,(4.6.13),注意到 (4.6.12) 式及,式可

8、化為 因此，當(dāng) 時，得 由此得,衛(wèi)星的軌道是一個圓.,即,把地球半徑,，質(zhì)量,及引力常數(shù),的具體數(shù)值代入上式，并計算得,即,稱為第一宇宙速度，此時,當(dāng),時，由(4.6.13)得,即,所求速度是第一宇宙速度的,倍，即,，稱為第二宇宙速度，它的軌,道是拋物線。,是雙曲線（一支）。,當(dāng),時，因,，由 (4.6.13) 式可知,這表明，當(dāng)初速度小于第二宇宙速度時，衛(wèi)星軌,道是一個橢圓。當(dāng),時，由(4.6.13)式可得,因此，當(dāng)初速度大于第二宇宙速度時，它的軌道,由電路和機(jī) 械裝置組裝 成的永磁體 擴(kuò)音器模型 如圖4.7所 示。,4、擴(kuò)音器振動模型,圖4.7,一個時變電源電壓 驅(qū)動著一個音圈能 換器，能

9、換器的轉(zhuǎn)化系數(shù)為 ，通過能換器使 揚聲器的振動膜發(fā)生振動。由音圈組成的能換 器，本質(zhì)上是一個在永磁場內(nèi)的自由運動。當(dāng)變 化的電流通過音圈時，音圈在永磁體的磁力和電 流產(chǎn)生的磁力相互作用下進(jìn)行運動。用 代表能 換器與揚聲器相互作用力， 是能換器電阻， 是能換器的感應(yīng)系數(shù).,壓定律，可得的微分方程組,質(zhì)量為,的揚聲器的振動是一個具有阻尼,的彈簧系統(tǒng)振動。阻尼系數(shù)為,，彈簧的彈,性系數(shù)為,，能換器轉(zhuǎn)化系數(shù),與有關(guān)變,量間的相互關(guān)系為,這里,是音圈兩端的電壓降；,是音圈位移；,代表音圈的速度，由牛頓第二定律及回路電,(4.6.14),令,，把 (4.6.14) 化為一階微分方程組,(4.6.15),方

10、程組(4.6.15)的向量形式為,，這里,設(shè) 則,矩陣 的特征方程為 特征根為 ，其 相應(yīng)特征向量分別為,因此，可求得齊次線形方程組,的基解矩陣為,為求(4.6.15)的通解，需求出(4.6.15)的一個特,寫成,解，我們用待定系數(shù)法來求此特解。把,因此，方程組 (4.6.15) 有特解 將 代入方程 得,比較上述方程兩邊,和,的,系數(shù)得,把 (4.6.16) 的,消去得,由此可求得,和,分別為,的通解為,方程,這里 是任意常向量。進(jìn)一步，可求得原方程中 音圈的位移 和驅(qū)動能換器的電流 分別為,5 、人體含鉛量問題,鉛是如何進(jìn)入體內(nèi)的 ? 消化道 通常是鉛吸收的主要途徑，兒童由這一途徑吸收的鉛

11、所占比例約為85。鉛在腸道內(nèi)通過主動轉(zhuǎn)運和被動擴(kuò)散兩種方式由小腸吸收人血液。主動轉(zhuǎn)運占吸收總量的80以上。主動轉(zhuǎn)運依賴鉛與腸粘膜上一種轉(zhuǎn)運蛋白質(zhì)結(jié)合，由轉(zhuǎn)運蛋白作載體將鉛轉(zhuǎn)運人血液。被動擴(kuò)散則是鉛由腸腔向血液自然擴(kuò)散。腸腔中鉛濃度越高、血液中鉛濃度越低，被動擴(kuò)散的量就越大。,呼吸道 空氣中含鉛的灰塵經(jīng)鼻孔吸人呼吸道后， 一部分被鼻毛、氣管纖毛和支氣管纖毛、細(xì)支氣管纖毛阻擋，最后以痰液的形式返回口腔， 兒童將其咽人消化道，再由消化道吸收入血。另一部分特別微小的鉛塵到達(dá)肺泡，沉積在肺泡里，然后由吞噬細(xì)胞等吸收，進(jìn)入血液。 皮膚 當(dāng)我們接觸有機(jī)鉛的時候，鉛會被皮膚直接吸收。,鉛中毒會引起神經(jīng)、消化、

12、循環(huán)系統(tǒng)紊亂，表 現(xiàn)為貧血、腹痛、高血壓等。血鉛高組的兒童的總 智商、操作智商、語言智商分別比低血鉛組落后14 分、14分和13分，而每升血液中的鉛濃度上升100 微克，兒童的身高將降低13厘米。 低劑量的鉛接觸可以對人體的紅細(xì)胞、腎臟、免疫系統(tǒng)、骨髓和中樞神經(jīng)的功能產(chǎn)生不良影響，而所有這些影響發(fā)生前都可能沒有明顯的臨床癥狀。鉛中毒會影響嬰幼兒最初站立、行走和說話的年齡，也可能引起孩子注意力渙散、記憶力減退、理解力降低及學(xué)習(xí)困難等。,兒童體內(nèi)的鉛水平可分從血、骨、齒、尿、發(fā)檢測到，兒童血鉛水平分為5級。 級：血鉛值低于10微克分升，身體處于相對安全狀態(tài)； 級：血鉛值為10微克19微克分升，屬于

13、輕度鉛中毒。影響造血、神經(jīng)傳導(dǎo)和認(rèn)知能力，兒童易出現(xiàn)頭昏、煩躁、注意力渙散、多動、厭食、腹脹、輕度貧血； 級：血鉛值達(dá)到20微克44微克分升，為中度鉛中毒。引起缺鈣、缺鋅、缺鐵、免疫力低,下，運動不協(xié)調(diào)，視力和聽力受損，學(xué)習(xí)困難、智力下降，生長發(fā)育遲緩，貧血、腹絞痛、食癖、反應(yīng)遲鈍等； 級：血鉛值達(dá)到45微克69微克分升，就是重度鉛中毒。可出現(xiàn)性格改變、易激怒、攻擊性行為、運動失調(diào)、貧血、腹絞痛、高血壓、心律失常和癡呆等； 級：當(dāng)血鉛值大于70微克分升時，為極重度鉛中毒，可導(dǎo)致臟器損害、鉛性腦病、癱瘓、昏迷等。,問題和模型 鉛是一種人體所必須的微量元素，但體內(nèi)鉛 含量過多時就會引起鉛中毒.鉛是

14、一種重金屬元素，通過食物、飲料、空氣進(jìn)入人體，經(jīng)過呼吸和消化系統(tǒng)后進(jìn)入血液，再經(jīng)過血液循環(huán)慢慢進(jìn)入人體和骨頭中.鉛可以經(jīng)過人體的排泄系統(tǒng)、通出出汗、剪頭發(fā)、剪指甲排出體外. 我們根據(jù)鉛在人體內(nèi)的變化情況將人體分為血液、組織、骨頭3個倉室，鉛在這三個倉室中的轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖所示,x1(t)表示t時刻血液中的含鉛量， x2(t)表示t時刻組織中的含鉛量， x3(t)表示t時刻骨頭中的含鉛量. 假設(shè)在單位時間內(nèi)從環(huán)境經(jīng)過消化、吸收系統(tǒng)進(jìn)入血液的鉛為L，從血液進(jìn)入組織、骨頭的鉛分別為a31*x1(t)和a21*x1(t)，從組織、骨頭再進(jìn)入血液的鉛分別為a13*x2(t)、a12*x2(t)，血液和骨頭向

15、外界排出的鉛分別為a01*x1(t)和a02*x3(t).,示意圖,(1)根據(jù)前面的假設(shè)建立人體血液、組織和骨頭中含鉛量所滿足的微分方程組,并求其通解. (2)取時間單位為天，對一個志愿者在一種環(huán)境中的生活情況進(jìn)行測定得a21=0.011，a12=0.012, a31=0.0039，a13=0.000035,a01=0.021, a02=0.016,L=49. 3. 假設(shè)該志愿者開始時體內(nèi)的含鉛量為0，求他體內(nèi)血液、組織和骨頭中含鉛量隨時間變化的關(guān)系，畫出這些解曲線的圖，并求當(dāng)x+時這些函數(shù)的極限.,(4)假設(shè)該志愿者在此環(huán)境中生活了365天后搬到了一個無鉛的環(huán)境中去(不再有外界的鉛進(jìn)入體內(nèi)，

16、即L=0)，再討論他體內(nèi)血液、組織和骨頭中含鉛量隨時間變化的關(guān)系，并畫出0t1460時這些含鉛量曲線的圖形.,簡化圖,模型,模型 x = Ax + b,數(shù)據(jù),時間分為兩段: 0,365和365,1460 #定義常數(shù) a01:= 0.021; a02:=0.016; a12:=0.012; a13:=0.000035; a21:=0.011; a31:=0.0039; L:=49.3; #定義矩陣和向量 A := matrix(3,3,-(a01+a21+a31), a12,a13,a21, -(a02+a12), 0, a31, 0, -a13); b :=matrix(3,1,L, 0, 0

17、); #定義方程 equn1:=diff(x1(t),t)=-(a01+a21+a31)*x1(t)+a12*x2(t)+a13*x3(t)+L;,equn2:=diff(x2(t),t)=a21*x1(t)-(a02+a12)*x2(t); equn3:=diff(x3(t),t)=a31*x1(t)-a13*x3(t); #解初始值問題 dsolve(equn1,equn2,equn3,x1(0)=0,x2(0)=0,x3(0)=0, x1(t),x2(t),x3(t); 結(jié)果太復(fù)雜,利用迭加原理、特征值和特征向量法 #非齊次方程的特解 with(linalg): with(plots):

18、 xe := evalm(-(inverse(A),#特征值和特征向量 eigenvals(A); eigenvects(A); lambda:=-.3061796847e-4, -.1980315266e-1,-.4410122938e-1; v1:=.1124436946e-1, .442226656e-2, 10.00746814; v2:=-.5975248926, -.8018660787, .1178839056; v3:=-.8256380196, .5640574390, .7307156328e-1; #特征向量組成矩陣 P:=augment(v1,v2,v3); #得到解的

19、表達(dá)式 x1:=c1*P1,1*exp(lambda1*t)+c2*P1,2*exp(lambda2*t)+c3*P1,3*exp(lambda3*t)+xe1,1;,x2 :=c1*P2,1*exp(lambda1*t)+c2*P2,2*exp(lambda2*t)+c3*P2,3*exp(lambda3*t)+xe2,1; x3 :=c1*P3,1*exp(lambda1*t)+c2*P3,2*exp(lambda2*t)+c3*P3,3*exp(lambda3*t)+xe3,1; #在解的表達(dá)式用t=0代入 x10:=simplify(subs(t=0,x1); x20:=simplif

20、y(subs(t=0,x2); x30:=simplify(subs(t=0,x3); #求解常數(shù) solve(x10=0,x20=0,x30=0,c1,c2,c3); assign(%);,#作圖 plot(x1, x2, x3, t=0.365, color=red,blue,green, thickness=2); plot1:=%:,#重新顯示解 x1;x2;x3; #求極限 limit(x1,t=infinity); limit(x2,t=infinity); limit(x3,t=infinity); #得到365天后解的表達(dá)式 xx1:=cc1*P1,1*exp(lambda1*t)+cc2*P1,2*exp(lambda2*t)+cc3*P1,3*exp