邏輯學(xué)北大精品課04

1、A Course in Logic,主講人：何向東,-進(jìn)入-,邏輯學(xué)教程,第四章 謂詞邏輯,第一節(jié) 謂詞邏輯概述,2020年7月19日星期日,3,命題邏輯和謂詞邏輯,命題邏輯：不分析簡單命題內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論關(guān)于聯(lián)結(jié)詞的推理理論。例如： 如果某甲作案，那么他一定有作案動機。 某甲沒有作案動機。 所以，某甲沒有作案。 謂詞邏輯：分析簡單命題的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，討論關(guān)于量詞的推理理論。例如： 所有的作案者都有作案動機。 某甲沒有作案動機。 所以，某甲不是作案者。,2020年7月19日星期日,4,命題邏輯和謂詞邏輯,研究推理形式的有效性時，把命題當(dāng)做不可分的邏輯單位有時是不夠的。例如： （1）張三的朋友都是李四

2、的朋友，王五不是李四的朋友。所以，王五不是張三的朋友。 這個推理的形式在命題邏輯中表示為：P，q r 這個推理事實上是有效的。但僅用命題邏輯的理論不能表明它是有效的推理。 （2）所有人都會死，張三是人，所以，張三會死。 這是一個正確的三段論推理。但僅用命題邏輯的理論也不能表明它是有效推理。 因此，要研究涉及量詞的推理，僅用命題邏輯的理論是不夠的。只有在命題邏輯的基礎(chǔ)上發(fā)展謂詞邏輯，才能解決這類推理的有效性問題。,2020年7月19日星期日,5,個體詞和謂詞,謂詞邏輯就是把命題分解為個體詞、謂詞、量詞以及聯(lián)結(jié)詞的邏輯系統(tǒng)。例如： （3）我是學(xué)生。 （4）王五不是李四的朋友。 個體詞：表示個體的語

3、詞，如：“我”、“王五” 、“李四”。 謂詞：用來說明個體詞的性質(zhì)或關(guān)系的語詞。 如例（3）中“是學(xué)生”是一元謂詞，例（4）“是的朋友”是二元謂詞。類似的，還有三元謂詞，如“在和之間”以及n元謂詞。,2020年7月19日星期日,6,個體詞和謂詞的符號化,個體常項：表示一定范圍內(nèi)確定的個體，記為小寫的：a,b,c,； 個體變元：表示一定范圍內(nèi)不確定的個體，記為小寫的： x,y,z,； 個體域也稱論域：個體變元的變化范圍，記為：D。 謂詞符號：表示性質(zhì)或關(guān)系的符號，記為大寫：D、E、F、G； 一元謂詞公式，記為：Dx，Ex，F(xiàn)x，； 二元謂詞公式，記為：Dxy，Exy，Hxy，Rxy，； 三元謂詞

4、公式，記為：Gxyz，Bxyz，Pxyz，Kxyz，； n元謂詞公式，記為：Sx1x2xn，Wx1x2xn，。 個體詞和謂詞的符號化實例: 用a表示“張三”，用Dx表示一元謂詞“會死” ，則命題“張三會死”可表示為：Da。 如是Fxy表示二元謂詞“是的朋友”，那么：Fab表示“a是b的朋友”;Fab表示“a不是b的朋友”。,2020年7月19日星期日,7,開語句,P：是紫色的。 Px：x是紫色的。 讓開語句有真值的方法： （1）用個體常項代替?zhèn)€體變元。 用a表示“這朵玫瑰花”，則Pa表示語句“這朵玫瑰花是紫色的”。 （2）對個體變元進(jìn)行量化。 例如:命題“存在玫瑰花是紫色的”為真。,沒有真假的

5、命題函數(shù)，即從個體到真值的函數(shù)。例如:,2020年7月19日星期日,8,量詞,全稱量詞：指稱論域D中個體的全部。 例如：所有，任何，每一個，。 存在量詞：指稱論域D中個體至少有一個存在。 例如：存在，有，有些，。 符號化的量詞： 全稱量詞：所有x，任何x，均記為：x。 存在量詞：有x，存在x，均記為：x。 全稱命題：含有全稱量詞的命題。 特稱(存在)命題：含有存在量詞的命題。,表示論域D中個體數(shù)量的語詞,2020年7月19日星期日,9,命題的形式化,（1）凡事物都是發(fā)展的。 用x表示個體詞，用D表示“是發(fā)展的”，形式化為：xDx （2）凡是自然數(shù)都大于零。 用N表示“是自然數(shù)”，用E表示“大于

6、零”，形式化為：x(NxEx） （3）所有大學(xué)生都不是兒童。 用S表示“是大學(xué)生”，用C表示“是兒童”，形式化為：x(SxCx) （4）有的大學(xué)生是兒童：x(SC) （5）小李沒有同任何人吵架。 a：小李；：是人，D：同吵架，形式化為：x（xax） （6）有些大一學(xué)生認(rèn)識小李。 a：小李；F ：是大一學(xué)生，R：認(rèn)識，形式化為： x(FxRxa),2020年7月19日星期日,10,命題的形式化,在對以上命題形式化時，沒有限制論域，即論域是全域。我們也可在一定的范圍內(nèi)討論問題，因些個體變元的變域往往被限制在某個特定的范圍內(nèi)。 （7）有的學(xué)生（）作對（）所有試題（） 不限制論域：x（xy(TyRxy

7、)） 限制論域：x的變域:X=學(xué)生； y的變域:Y=試題 則形式為: xyRxy 一階邏輯：量詞是只對命題中的個體變元進(jìn)行量化，而不對謂詞變元進(jìn)行量化。 高階謂詞：不僅對個體變元而且對謂詞變元進(jìn)行量化。,第四章 謂詞邏輯,第二節(jié) 一階語言及其語義解釋,2020年7月19日星期日,12,一階語言L,（1）初始符號 個體變元符號：x,y,z,；x1,x2,； 若干（可以為0個）個體常項符號：a,b,c 若干（至少一個）謂詞符號：D,E,F,G,R， 聯(lián)結(jié)詞符號：,； 量詞符號：,； 輔助符號：括號：（，）；逗號：，。 （2）形成規(guī)則：包括項的形成規(guī)則和公式的形成規(guī)則。 項的形成規(guī)則：單個的個體變元

8、（v，u，w，）和個體常項（a，b，c，）稱為項。,2020年7月19日星期日,13,一階語言L,公式的形成規(guī)則： 1、如果R是n元謂詞（n1）,t1tn是n個項，則Rt1tn是公式（原子公式）； 2、如果A是公式，則A是公式； 3、如果A和B是公式，則AB、AB、AB是公式； 4、如果A是公式，v是個體變元，則vA和vA是公式（vA稱為全稱公式；vA稱為存在（特稱）公式）。 一階語言L 的一個符號串是（合式）公式，當(dāng)且僅當(dāng)它符合以上形成規(guī)則。 一階語言L 的全體（合式）公式，記為Form（L ）。 一階語言L 是形式語言L 的擴充。 （3）定義：用來表示符號串的縮寫。 如：AB=df (AB

9、)(BA)。,2020年7月19日星期日,14,量詞的轄域,量詞的轄域：量詞的作用范圍。 量詞的轄域可定義為：如果B是vB和vB的子公式，則稱B為量詞v和v的轄域。 在公式中，量詞的轄域是該量詞及緊接該量詞的最短公式。 帶橫線部分指明了存在量詞的轄域。 (1)xxx (2)x（xyyy） (3)xy（xyxz（xzyz）,2020年7月19日星期日,15,約束變元和自由變元,變元的約束出現(xiàn)：一個變元在公式里的出現(xiàn)是約束的，當(dāng)且僅當(dāng)，這種出現(xiàn)是在采用該變元的量詞的轄域內(nèi)。 變元的自由出現(xiàn)：一個變元在公式里的出現(xiàn)是自由的,當(dāng)且僅當(dāng)，該變元的出現(xiàn)不是約束的。 約束變元就是約束出現(xiàn)的變元；自由變元就是

10、自由出現(xiàn)的變元。 例如：在 xxx中，變元x出現(xiàn)了三次，前兩次出現(xiàn)是在量詞x的轄域中，因而是約束出現(xiàn)的，第三次是自由出現(xiàn)的。,2020年7月19日星期日,16,自由變元的代入,如果公式A中有自由變元v，則把該公式記為：A(v)。以個體詞t代入A(v)中的v，則記為：A(v/t)。例如： （1）對于公式PxQx，用A(x)來表示x是自由變元：A(x)：PxQx； （2）對于公式x(QxRxy)，用B(y)來表示y是自由變元：B（y）：x(QxRxy)；（3）用個體變元y代替A(x)中的自由變元：A(x/y)：PyQy； （4）用常元a代替A(x)中的自由變元：A(x/a)：PaQa。 自由變元的

11、代入規(guī)則： (1) 、代換必須處處進(jìn)行 A(x)：PxQx 以y代換A(x)中的自由變元x： A(x/y)：PyQy （正確代換） A(x/y)：PxQy （錯誤代換） (2) 、代換不能改變量詞的約束關(guān)系 B(y)：x(QxRxy) 以個體變元來代換B(y)中的自由變元y： B(y/z)：x(QxRxz) （正確代換） B(y/x)：x(QxRxx)（錯誤代換）,2020年7月19日星期日,17,一階語言L 的語義解釋,一、原子公式的解釋： 給定一個個體域D，將個體常項解釋為個體域中特定的個體， 將謂詞符號解釋成這個個體域中的性質(zhì)或這個個體域上的關(guān)系，則原子公式是否為真可以歸結(jié)為某個個體是否

12、具有某種性質(zhì)或某些個體是否具有某種關(guān)系。 二、全稱公式和特稱公式的解釋： 在給定的一個解釋下，vA為真要求將v解釋成個體域中任何個體時A都為真，而vA為真，則只要將v解釋成個體域中至少一個個體時A為真。 嚴(yán)格地講，一階語言的語義解釋就是在把個體詞解釋成為個體域中的個體、把謂詞解釋為個體域中的性質(zhì)或個體域上的關(guān)系的基礎(chǔ)上，確定公式的真值即給公式賦值。,2020年7月19日星期日,18,一階語言L 的語義解釋,語義解釋也稱為模型，記為，包括以下內(nèi)容： (1)一個個體變元的取值范圍非空集合D(論域、個體域) (2)對每個個體常項a，指定D中一個確定的個體a； (3)對每個n元謂詞符號R，指定D上的一

13、個n元關(guān)系R； 在一個解釋（模型）中，每個閉公式有確定的真值。 例如：D=自然數(shù)，個體常項a解釋為4（a=4）；一元謂詞P解釋為 “是偶數(shù)（P）”；二元謂詞G解釋為“”（G=）；則： Pa的解釋是“4是偶數(shù)”（真命題）； xPx的解釋是“所有自然數(shù)是偶數(shù)”（假命題）； xyGyx的解釋是“對所有自然數(shù)總存在大于它的自然數(shù)”(真命題)。,2020年7月19日星期日,19,指派和賦值,個體變元與它所指稱的對象通過指派建立了確定的聯(lián)系。 一個模型上的指派有無窮多個。 原子公式的值可以根據(jù)模型和指派確定。 設(shè)是模型上的指派，v是變元，dD。所謂模型上與指派相關(guān)聯(lián)的指派(v/d)是指如下定義的指派： 如

14、果uv,則(v/d)(u)=(u)；如果u=v，則(v/d)(u)=d。 不管原指派中v的值是什么，新指派(v/d)總是把v指派成d，而其余變元的值都不變。顯然，如果d=(v)，則(v/d)=，即自己也是與其自身相關(guān)聯(lián)的指派。,給每個變元指定一個個體的過程稱作指派，記為,2020年7月19日星期日,20,謂詞邏輯的每個項和公式在賦值下都有確定的值。 項的基本語義定義: 設(shè)=,是一個賦值，t是任意的項，t在下的值(t)是論域D中的個體，具體定義如下： (1)如果t是個體變元v，則(v)=(v)； (2)如果t是個體常項a，則(a)=a。,模型和上的一個指派確定一個賦值，記為=,2020年7月19

15、日星期日,21,公式的基本語義定義,設(shè)=,是一個賦值，A是任意的公式，A在下的值記為(A)。（A）=T，或者 （A）=F。定義如下： （1）如果A是原子公式R(t1tn)，則(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)（t1）,，(tn)R； （2）如果A是B，則（A）=T當(dāng)且僅當(dāng)（B）=F； （3）如果A是BC，則（A）=T當(dāng)且僅當(dāng)（B）=T且（C）=T； （4）如果A是BC，則(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)(B)=T或(C)=T； （5）如果A是BC，則(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)(B)=F或(C)=T； （6）如果A是vB，則(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)對任何dD,都有(v/d)(B)=T； （7）如果A是vB，則(A)=T當(dāng)且僅當(dāng)存在dD,使

16、得(v/d)(B)=T。,2020年7月19日星期日,22,公式的基本語義定義,基本語義解釋的直觀意義 第（1）條只不過是說原子公式R（t1tn）為真，只要t1，tn所指對象具有D上的關(guān)系R。 第（2）（5）條只不過說對聯(lián)結(jié)詞的解釋與第二章中的解釋相同。 第（6）條不過是說 vB為真就是v的值取遍論域時B的值總為真。 第（7）條也不過是說vB為真就是論域中至少有一個個體使B為真。,2020年7月19日星期日,23,公式的基本語義定義,設(shè)一階語言L 包括二元謂詞符號G，個體常項a和b，取模型，使得個體域D是整數(shù)，G是“”（整數(shù)上的小于關(guān)系），a=10，b=11。=,其中為：(x)=2，(y)=1

17、3，(z)=8， 那么：(Gab)=T(命題“1011”為真)； (Gay)=T(命題“1013”為真)； (Gyx)=F(命題“132”為假)。 可滿足性 設(shè)A是公式， 是任意模型；如果存在賦值，使得（A）=T，則稱模型滿足A，記為： =A，否則，稱模型 不滿足A，記為： A。 協(xié)調(diào)性 設(shè)是公式集(=A1，A2，An)， 是任意模型；如果存在賦值，使得（）=T（即（A1）=T，（A2）=T,(An)=T），則稱在模型 中該公式集是協(xié)調(diào)的，否則，稱在模型 中是不協(xié)調(diào)的。,2020年7月19日星期日,24,語義后承,設(shè) 是任意模型，L 是所有 構(gòu)成的模型類，是公式集（=A1，A2， An），B是

18、公式。如果模型 上任何賦值都滿足：只要 =（即（）=T），就有 =B（即（B）=T），則稱（在模型類C 中）B是的語義后承（邏輯蘊涵B，或與B具有語義推出關(guān)系，推出B是有效的），記為= L B。 如果在模型 上存在賦值，使得 =，但 B，則稱B不是的語義后承（不能有效地推出B，與B沒有語義推出關(guān)系），記為L B。,2020年7月19日星期日,25,應(yīng)用實例,由前提“（這架飛機上）所有乘客或者是中國人或者是日本人”能否有效地推出結(jié)論“（這架飛機上）所有乘客是中國人，或者，所有乘客是日本人”。 以（這架飛機上）乘客為論域D，以P、Q分別表示一元謂詞“是中國人”和“是日本人”，則前提和結(jié)論的形式分別

19、是： A：x（PxQx）， B： xPxxQx 。,2020年7月19日星期日,26,取模型，使得D=d1,d2,d3,d4,d5,其中d1、d2、d3中國人；d4、d5日本人,=是 上的一個賦值，其中為：(x)=d ，dD； 任取dD,都有(x/d)(PxQx)=T, 所以,(x（PxQx)=T(即前提“（這架飛機上）所有乘客或者是中國人或者是日本人”為真)； 但是，存在dD(例如，d4),使得(x/d)(Px)=F,也存在dD(例如d1),使得(x/d) (Qx)=F，所以，(xPx)=F，而且(xQx)=F； 因此，(xPxxQx)=F（即結(jié)論“(這架飛機上)所乘客是中國人，或者，所有乘

20、客是日本人”假），即：x（PxQx）L xPxxQx。,第四章 謂詞邏輯,第三節(jié) 謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)QNP,2020年7月19日星期日,28,謂詞邏輯自然推理的一般步驟,1、把給定的前提符號化（如果給定前提是自然語言的話）； 2、用有關(guān)的規(guī)則消去量詞； 3、運用命題邏輯自然推理的規(guī)則，求出不帶量詞的結(jié)論； 4、用有關(guān)規(guī)則給結(jié)論添上量詞。,2020年7月19日星期日,29,全稱量詞的推理,所有動物都有死， 所有虎都是動物， 所以，所有虎都有死。 （）（） 1 （）（） 2 （） 消去（）的全稱量詞 （） 消去（）的全稱量詞 （） （）、()假言三段論 （）（） （）引入全稱量詞,2020年7

21、月19日星期日,30,消去全稱量詞的推理規(guī)則,消去全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱例示規(guī)則（_） 從 可推出(/)，其中(/）表示消去全稱量詞，并用個體詞代替中的個體詞的每一出現(xiàn)而得到的公式。 對_的限制：自由變元帶標(biāo)記 在推理時，如果引進(jìn)的前提或假設(shè)中有自由變元，那么，須在該前提或假設(shè)的右邊注上標(biāo)記。注有標(biāo)記的變元叫做“帶標(biāo)記的變元”。,2020年7月19日星期日,31,引入全稱量詞的推理規(guī)則,引入全稱量詞的推理規(guī)則也稱全稱概括規(guī)則（+） 如果個體變元在公式中是不帶標(biāo)記的（即v不在前提和A依賴的假設(shè)中自由出現(xiàn)），那么可從推出。 對個體變元進(jìn)行全稱概括是有條件的：必須不帶標(biāo)記。 下面推理是無效的：

22、不加限制地使用+ 構(gòu)造一個模型，使得D是自然數(shù)，謂詞H解釋為“小于3”。=，其中(x) =1。于是(Hx)=T（即前提“1小于3”是真的），而(xHx)=F，即結(jié)論的解釋命題“所有自然數(shù)小于3”是假的。 由此可見，對帶有標(biāo)記的個體變元不能進(jìn)行全稱概括。,2020年7月19日星期日,32,全稱量詞推理規(guī)則的應(yīng)用,所有絕緣體(x)都不能導(dǎo)電（）。金屬（）都導(dǎo)電，鋁制品（）都是金屬，所以，鋁制品不是絕緣體。 （）（） （）（） （）（） （） （），_ （） （），_ （） （），_ （） ，H（+ 的假設(shè)） （） ，(6)，(7)，_ （） ，(5)，(8)，_ （） ，(4)，(9)，_ （）

23、(7)(10)，+ （）（） (11)，+,2020年7月19日星期日,33,存在量詞的推理規(guī)則,（） A （） (1), _ 從（）到（）不是有效的邏輯推理： 構(gòu)造一個模型 使得D是自然數(shù)，一元謂詞F解釋為“大于1”。=,其中，（x）=1。于是(xFx)=T,即（）的解釋“有的自然數(shù)大于1”是真的，而(Fx)=F,即（）的解釋“大于”是假的。 因此，從不能推出。 斷定了至少有一個具有性質(zhì)的個體存在。但是，這一個體是不確定的，不能斷定它就是某個具體的個體，因此，可以用符號： ，；1，2， 表示不確定個體。F意指：“不確定個體有性質(zhì)”。 從而，可以從推出,2020年7月19日星期日,34,存在量

24、詞的推理規(guī)則,消去存在量詞的推理規(guī)則 消去存在量詞的推理規(guī)則也稱為存在例示規(guī)則（_） 從可推出（），稱為新名，即在前的公式中沒有出現(xiàn)過的不確定個體的名稱，并且須帶標(biāo)記。 引入存在量詞的推理規(guī)則 引入存在量詞的推理規(guī)則規(guī)則也稱為存在概括規(guī)則（+） 從（t）可推出。其中，t可以是不確定個體的名稱，也可以是個體常項或個體變元。,2020年7月19日星期日,35,關(guān)于存在量詞推理的應(yīng)用,x(HxGx)，xHxxGx （）（） （） （） ，（），_ （） （），_ （） ，（3），（4），_ （） （），+,2020年7月19日星期日,36,關(guān)于存在量詞推理的應(yīng)用,所有哺乳動物（）是動物（），有的哺乳

25、動物是水生的（），所以，有的動物是水生的。 （）（） （）（） （） ，（），_ （） （），_ （） ，（），_ （） ，（4），（5），_ （） ，（），_ （） ，（），（）， + （）（） （），+,2020年7月19日星期日,37,_規(guī)則的限制,（1）不確定個體的名稱必須是沒有出現(xiàn)過的新名 （2）新名必須帶標(biāo)記。 （） （） （） ，（），_ （） ，（），_ （） ,（3）,（4），_ （6） （） （），_ 這個形式推理中，違反了_的第一個限制，因而造成指稱混亂，導(dǎo)致推理無效。,2020年7月19日星期日,38,_規(guī)則的限制,第二個限制（新名必須帶標(biāo)記）的理由： 如果新名不帶標(biāo)記

26、，那么對它也可進(jìn)行全稱概括：從“某個體有性質(zhì)”推出“所有個體都有性質(zhì)”，這當(dāng)然是荒謬的。所以，在用-規(guī)則進(jìn)行推導(dǎo)時，均帶標(biāo)記， 并且，依賴帶標(biāo)記公式的各公式，其中如有，亦須帶標(biāo)記。 一旦新名從公式中消失后，就應(yīng)同時消去該新名的標(biāo)記。,2020年7月19日星期日,39,關(guān)于量詞推理的應(yīng)用,所有中文系學(xué)生（）都喜歡（）任何藝術(shù)家（），沒有中文系學(xué)生喜歡任何數(shù)學(xué)家（），有中文系學(xué)生。所以，沒有藝術(shù)家是數(shù)學(xué)家。 （1）（） A1 （2）（） A2 （3） A3 （4） ,(),_ （5）（） ()，_,2020年7月19日星期日,40,（6）(zz) (2),_ （7）y（） ,(4),(5)，_ （

27、8）(zz) ,(4),(6)，_ （9） ,(7),_ （0）Ey ,(8),_ （1）Ey ,(10),RP. （2）Ey , (9),(11),HS （3）y（Ey） (12),+,2020年7月19日星期日,41,量詞的推理規(guī)則的進(jìn)一步限制,限制一：運用-和+時，必須遵守個體變元的代入規(guī)則。 限制二：運用_規(guī)則時，公式中可能有的自由個體變元均應(yīng)記為新名的標(biāo)記的下標(biāo)。 合理代換：不改變原公式量詞的約束關(guān)系的代換。 不合理代換（盲目代換）：改變原公式量詞的約束關(guān)系的代換。,2020年7月19日星期日,42,違反量詞推理規(guī)則的應(yīng)用舉例,下面是錯誤地運用_的推理： （）xyGxy A1 （）y

28、Gyy （1）,_（x/y） 構(gòu)造一個模型 ，使得D是自然數(shù)，謂詞G解釋為“小于”。=。于是:（xyGxy）=T,即（1）的解釋“沒有最大的自然數(shù)”是真的，而（yGyy）=F，即(2)的解釋“有小于自己的自然數(shù)”是假的。這個推理之所以無效，是由于對（1）_時進(jìn)行了盲目的代換，x本來不受y的約束，但以y代換x后，代入y的卻被y約束了。,2020年7月19日星期日,43,違反量詞推理規(guī)則的應(yīng)用舉例,下面是錯誤運用+的推理： 在包括運算符“+”的一階語言L中，進(jìn)行如下推理： （1）（） A1 （2）（） ，（1），_ （3）（） （2），+ 構(gòu)造一個模型，使得D是實數(shù)，謂詞解釋成“”，那么（1）的解

29、釋是真的。（3）的解釋是假的。原因是對（2）錯誤地運用了+，（2）中不受約束的，代換后被約束。,2020年7月19日星期日,44,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,謂詞邏輯的自然推理系統(tǒng)QNP是一個根據(jù)量詞和聯(lián)結(jié)詞的推導(dǎo)規(guī)則，運用有前提的形式推演構(gòu)建起來的形式系統(tǒng)。 關(guān)于量詞的否定規(guī)律： Q1：xAxA； Q2：xAxA； Q3：xAxA； Q4：xA xA。,2020年7月19日星期日,45,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q1的證明 先證：xAxA： （1）xA(x) A(x是A中自由變元) （2）xA(x) H （3）xA(X) (2)，_ （4）A() ，(3)，_ （5）A() (

30、1)，_ （6）A()A() ，(3)，(4)，+ (7)xA(x) (2)(6)，_(消去H),2020年7月19日星期日,46,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q1的證明 再證：xA xA: (1)xA(x) A(x是A的自由變元) (2)xA(x) H1 (3)A(x) x，H2 (4)xA(x) (3)，+ (5)A(x)xA(x) (3)(4)，+(消去H2) (6)A（x） (1)，(5)，M.T. (7)A(x) (6)，_ (8)xA(x) (7)，+ (9)xA(x)xA(x) (2)，(8)，+ (10)xA(x) (2)(9)，_(消去H1),2020年7月19日星期日

31、,47,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,設(shè)A是任何公式，x在A中不自由，我們有: Q5：AxA Q6：xAA Q7a：xAyA(x/y) (y不在A中出現(xiàn)) Q7b：yAxA(y/x) (x不在A中出現(xiàn)) Q8a：xAyA(x/y) (y不在A中出現(xiàn)) Q8b：yAxA(y/x) (x不在A中出現(xiàn)) 改名規(guī)則：改變量詞所約束的變元的置換規(guī)則。 由于xAyA(x/y), xAyA(x/y),因此，我們可以用等價置換規(guī)則把一個公式中出現(xiàn)的xA置換為yA(x/y),或者把xA置換為yA（x/y）。,2020年7月19日星期日,48,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q9：xyA yxA； Q10：

32、xy yxA； Q11：xyA yxA； （1）xyA(x,y) A(x,y是A中自由變元） （2）yA(,y) ,(1), - （3）A(,y) ,(2), - （4）xA(x,y) (3), + （5）yxA(x,y) (4),+ Q12：x(AB)xAxB (x對的分配律) Q13：x(AB)xAxB (x對的分配律),2020年7月19日星期日,49,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q13的證明 先證：x(AB)xAxB (1) x(AB) A (2) (xAxB) H (3) A()B() ,(1),_ (4) xAxB (2),R.P.(De.M） (5) xAxB (4),R.

33、P.(Q3) (6) xA (5),_ (7) xB (5),_ (8) A() (6), _ (9) B() (7), _ (10) B() ,(3),(8),_ (11)B()B() ,(9),(10),+ (12)xAxB (2)(11),_(消去H),2020年7月19日星期日,50,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q13的證明 再證:xAxBx(AB) (1)xAxB A (2)x(AB) H (3) x(AB) (2),R.P.(Q3) (4) x(AB) (3),R.P.(DeM.) (5) xAB (4),R.P.(Q12) (6) xA (5),_ (7) xA (6),R

34、.P.(Q3) (8) xB (5),_ (9) xB (8),R.P.(Q3) (10) xB (1),(7),_ (11) xBxB (9),(10),+ (12)x(AB) (2)(11)，_(消去H),2020年7月19日星期日,51,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q14：x(AB)xAxB Q15：x(AB)xAxB Q14：x(AB)xAxB Q15：x(AB)xAxB 只證Q14： （1）x(AB) A (2)xA H (3)AB (1),_ (4)A (2),_ (5)B (3),(4),_ (6)xB (5),+ (7)xAxB (2)(6),+(消去H),2020年7月19日星期日,52,QNP系統(tǒng)的語形(語法)推出關(guān)系,Q16：xAxBx(AB) Q17：x(AB)xAxB 但是，Q16和Q17反過來不成立，即： x(AB)xAxB xAxB x(AB) 對任意的公式A和B，如果x不在B中自由出現(xiàn)，那么，我們有： Q18：x(AB)xAB Q19：x(AB)xAB Q20：x(AB)xAB Q21：x(AB)xAB Q22：x(AB)xAB Q23：x(AB)xAB Q24：x(BA)BxA Q25：x(BA)BxA,2020年7月19日星期日,53,量詞和聯(lián)結(jié)詞轄域之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,分析命題A“只有千里馬吃飽