圖論-劉汝佳.ppt

1、通過(guò)搜索若干圖論算法、劉汝佳、目錄、DFS相關(guān)算法二進(jìn)制圖相關(guān)算法聯(lián)網(wǎng)流相關(guān)算法最小問(wèn)題樹、DFS相關(guān)算法、基本應(yīng)用、連通分量二進(jìn)制圖來(lái)確定無(wú)方向性圖的連接性，時(shí)間斯坦共和國(guó)和邊緣分類，時(shí)間初始化為0，并且最大值為2|E|。 數(shù)值本身沒有意義，但大小關(guān)系是有意義的，voidprevisit (intu ) preu=DFS _ clock； 視頻投影機(jī)=DFS _時(shí)鐘。 無(wú)向圖：只有與樹邊相反的邊，無(wú)向連通圖的割頂，DFS森林必定只有一棵樹。 樹根是從山頂上砍下來(lái)的嗎？ 只有當(dāng)有兩個(gè)以上的兒子時(shí)，才能看出只切割樹邊的相反一側(cè)的邊，不存在跨越兩個(gè)子樹的邊。 在其他方面，情況會(huì)有些復(fù)雜。 我們有以

2、下定理：定理：在無(wú)向連通圖g的DFS樹中，非根結(jié)點(diǎn)u是g的分配頂點(diǎn)，并且在u中只有一個(gè)兒子w，因此，w及其子孫都是逆邊不返回u的祖先(不返回u )。 根據(jù)定理的證明，u中有一個(gè)兒子w，w及其所有后代的相反邊不會(huì)返回u的祖先(不返回u )。 為了方便起見，若將low(u )設(shè)為u及其后代能夠連續(xù)的最早的祖先的pre值，則定理的條件能夠簡(jiǎn)記為以low(w)=pre(u )的方式在節(jié)點(diǎn)u存在兒子w。 如果low(w)pre(u )，即w最多只能與自各兒聯(lián)系，則只能刪除(u，w )一邊而使圖g非連通。 滿足該條件的邊稱為橋接器(bridge )，low函數(shù)自身的修正算法是將void dfs(int u

3、，int fa) /u的母節(jié)點(diǎn)作為fa，首次調(diào)用fa=-1lowu=preu=dfs_初始化low (u ) int d=gu for (英寸=0； i d； 列舉出i ) /各邊(u，w) int w=Gui。 國(guó)際貨幣基金組織未網(wǎng)站數(shù)據(jù)庫(kù)到prew) /點(diǎn)v的0) dfs(w，u ) (所有pre值都被初始化為0 )； /w的父親節(jié)點(diǎn)是u lowu=min (低，低)； /使用后代的low函數(shù)更新else if(w！ 最小(最小，最前)； /在反方向的邊更新，雙連通和邊-雙連通，如果一個(gè)無(wú)方向連通圖沒有切斷，那么稱為點(diǎn)-雙連通，一般簡(jiǎn)稱為雙連通(biconnected )，如果沒有橋，那么

4、稱為邊-雙連通(edge-biconnected )。 點(diǎn)-雙連通的等效條件：任意兩點(diǎn)上存在兩條“點(diǎn)不重疊”路徑。 這個(gè)要求，因?yàn)閮蛇叾荚谕粋€(gè)單純的環(huán)上，所以相當(dāng)于內(nèi)部沒有分割頂點(diǎn)。 邊-雙連通的等效條件：在任意兩點(diǎn)存在兩條“邊不重疊”路徑。 并非所有邊都是橋，因?yàn)榇艘笊缘?，每條邊必須在至少一個(gè)簡(jiǎn)單環(huán)中。 點(diǎn)/邊-二重連通成分，下圖中有兩個(gè)點(diǎn)-二重連通成分： 1、2、3和3、4、5，但只有一個(gè)邊-二重連通成分： 1、2、3、4、5。 算法，邊-二重連成分：走兩步，求所有的橋，然后再進(jìn)行dfs染色。 由于邊緣-雙連通成分沒有共同的頂點(diǎn)，只要保證在第2次dfs時(shí)不通過(guò)橋接即可。 點(diǎn)-雙連通分量

5、：天津校正算法(參照后述)、void DFS (入口、出口) lowu=preu=DFS _ clock； int d=Gu.size ()； for (英寸=0； i=preu) /u是分割頂點(diǎn)或根，意味著一個(gè)bcc的結(jié)束bcc_cnt。 打印機(jī)(bcc % d、連接(% d、%d):n、bcc_cnt、u、w )； 派爾e； do e=S.top ()； S.pop ()； 打印(% d % dn、首次打印、秒)； 威爾！=mp(u，w )； 魔法少女最小(最小，最前)； 有有向圖的強(qiáng)連通分量，理想的是從I、c、d依次從DFS出發(fā)，則對(duì)每個(gè)DFS恰好獲得一個(gè)SCC、Kosaraju算法，執(zhí)

6、行兩次DFS，其中的第一次DFS獲得關(guān)于各SCC的拓?fù)浞治鲰樞虻男畔ⅲ诙蜠FS獲得關(guān)于該拓?fù)浞治鲰樞虻摹?步驟2 :校正g的轉(zhuǎn)置GT (即，將所有的有向邊(u，v )改變?yōu)橛邢蜻?v，u ) )步驟3 :對(duì)GT執(zhí)行DFS，并且若在主循環(huán)中以從小到大的順序考慮列表中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)，則針對(duì)每個(gè)DFS獲得不同的sfs修訂多少騎士不能參加任何會(huì)議。 有n個(gè)騎士，m個(gè)相互憎恨的騎士對(duì)N=1000，m=100000，以騎士為頂點(diǎn)制作無(wú)向圖g。 如果兩個(gè)騎士不互相憎恨的話，他們之間就會(huì)有無(wú)向邊。 問(wèn)題是求出哪個(gè)奇圈都沒有的頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)。 如果圖g不連通，就應(yīng)該對(duì)每個(gè)連通分量分別求解。 在下文中，假設(shè)圖g是連

7、通的。 假定節(jié)點(diǎn)v在一個(gè)奇數(shù)環(huán)上，定義使得該環(huán)上的所有節(jié)點(diǎn)屬于相同的點(diǎn)-雙連通分量。 因?yàn)檫@個(gè)雙重連通成分包含奇圈，所以不一定是二分圖。 相反地成立了嗎？ 即，如果結(jié)點(diǎn)v所屬的某個(gè)雙連通成分b (由于v有可能屬于多個(gè)雙連通成分)不是二分圖，則v必然屬于一個(gè)奇圈嗎？問(wèn)題是，表示盡管b不是二分圖，但必然包含奇圈c，該c中可能不包含v 我們必須想辦法混合v。 如圖所示，根據(jù)連通性，從v必須能夠到達(dá)c中的某個(gè)結(jié)點(diǎn)u1。 根據(jù)雙重連通性，在c中存在另一個(gè)結(jié)點(diǎn)u2，從v開始有2個(gè)非交叉路徑(除起點(diǎn)以外沒有共同結(jié)點(diǎn))，分別到達(dá)u1和u2。 在c中，u-1到u-2的兩條路線的長(zhǎng)度都是奇偶，因此可以構(gòu)造總是穿過(guò)

8、v的奇圈。 主算法：對(duì)于各連通成分的各二重連通成分b，如果不是二分圖，則在b內(nèi)的所有結(jié)點(diǎn)上標(biāo)記為“奇圈上”。 供水井下的礦工，地下的稀有金屬礦由n條隧道和幾個(gè)連接點(diǎn)構(gòu)成，每條隧道連接兩個(gè)連接點(diǎn)。 任意兩個(gè)連接點(diǎn)之間最多只有一條隧道。 為了減少礦工的危險(xiǎn)，你的任務(wù)是在一些連接點(diǎn)上安裝太平供水井和相應(yīng)的逃生裝置，以便無(wú)論哪個(gè)連接點(diǎn)倒塌，不在這個(gè)連接點(diǎn)上的所有礦工都能到達(dá)太平供水井并逃生。為了節(jié)約成本，盡可能在連接點(diǎn)上挖太平井太平井?dāng)?shù)量最少時(shí)的設(shè)置方案總數(shù)也有必要進(jìn)行訂正。 本問(wèn)題的模型是，在無(wú)向圖上選擇盡可能少的點(diǎn)進(jìn)行涂黑(對(duì)應(yīng)太平井)，任意地去除點(diǎn)之后，使每個(gè)連通成分至少有一個(gè)黑點(diǎn)。 可以看出，

9、將切削掌門人涂黑不花費(fèi)成本，同一點(diǎn)-雙重連通成分中圖的兩個(gè)黑點(diǎn)也不花費(fèi)成本。 進(jìn)一步分析可知，如果將各點(diǎn)-雙重連通成分收縮為一個(gè)點(diǎn)，圖整體就會(huì)變成一棵樹。 最好的方案是，對(duì)每個(gè)樹的葉結(jié)點(diǎn)選擇一個(gè)非割頂進(jìn)行涂黑，云同步地解決兩個(gè)問(wèn)題。 一個(gè)特殊的情況是整個(gè)圖沒有斷開。 此時(shí)，必須涂抹至少兩個(gè)點(diǎn)，計(jì)劃總數(shù)為C(V，2 )，其中v是連接點(diǎn)的數(shù)量。 在等價(jià)性證明、數(shù)學(xué)中，我們常常需要完成一些命題的等價(jià)性證明。 例如，命題a，b，c，d有4個(gè)，證明ab，還有bc，最后的cd。注意每次的證明是雙向的，總共完成了6次的導(dǎo)出。 另一種方法是證明ab、bc、cd和最后的da，僅需4次。 現(xiàn)在，你的任務(wù)是證明n個(gè)

10、命題都是等價(jià)的。 并且，你的小伙伴已經(jīng)為你做了m次推導(dǎo)(知道每次推導(dǎo)的內(nèi)容)。 你必須至少進(jìn)行幾次導(dǎo)出才能完成整個(gè)證明嗎n=20000，m=50000，用分析、圖論用語(yǔ)來(lái)說(shuō)，本問(wèn)題是給出n個(gè)節(jié)點(diǎn)的m條邊的有向圖，盡量填充少的邊，使新的格拉夫強(qiáng)連通。 首先找到強(qiáng)連通成分，將各個(gè)強(qiáng)連通成分縮小為一個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)DAG，接著如果a個(gè)結(jié)點(diǎn)(別忘了，這里的各結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于原圖的一個(gè)強(qiáng)連通成分)的入度為0，b個(gè)結(jié)點(diǎn)的出度為0，則maxa，b為答案。 注意特殊情況：原圖緊密連接時(shí)，答案不是1而是0。 證明留給讀者。 無(wú)向仙人掌、仙人掌各點(diǎn)定義為最多1個(gè)簡(jiǎn)單(結(jié)點(diǎn)不重復(fù))電路上的連通無(wú)向圖。 你的任務(wù)是訂正無(wú)向圖

11、的“仙人掌度”。 也就是說(shuō)，它有多少生成子格拉夫(包括它自己)都是仙人掌的。 如果原圖不是仙人掌，輸出0、采用分析DFS樹的方法求出問(wèn)題解決的方法。首先，對(duì)于一個(gè)節(jié)點(diǎn)u，如果DFS樹上的某小盆友v滿足low(v) 1，則該圖必然輸出0而不是仙人掌。 對(duì)于仙人掌，只需修正仙人掌度即可嗎？很明顯，對(duì)于不屬于任何環(huán)的邊，無(wú)法刪除，但對(duì)于長(zhǎng)度為l的環(huán)，有L 1種選擇(保留或刪除其中的任意一條邊)。 根據(jù)乘法原理，答案是所有環(huán)長(zhǎng)度加1相乘的結(jié)果。 所有算法的時(shí)間復(fù)雜度都是O(m )，因?yàn)樗械墓ぷ鞫伎梢栽谝粋€(gè)DFS內(nèi)完成。 為具體實(shí)現(xiàn)，需要留心不需要遞歸地修正答案以避免棧內(nèi)存的向上溢出。 一個(gè)好方法是遞

12、歸地只記錄每個(gè)環(huán)的長(zhǎng)度，等所有處理完成后再進(jìn)行高精度的修正運(yùn)算。 二叉圖最大匹配，二叉圖最大匹配，二叉圖：節(jié)點(diǎn)可分為兩個(gè)部分x和y，各部分無(wú)內(nèi)部邊緣連續(xù)匹配：沒有共同點(diǎn)的邊集合未復(fù)蓋點(diǎn)：不與任何匹配邊相鄰的點(diǎn)最大匹配：邊數(shù)最多的匹配、和如果最終將穿過(guò)一個(gè)非匹配邊到達(dá)另一個(gè)非匹配點(diǎn)的非匹配邊的數(shù)量大于匹配邊的數(shù)量的匹配邊與非匹配邊進(jìn)行交換，則該匹配是合法的，但如果給基數(shù)加1，則可以使用、 匹配是最大匹配，m不是最大匹配，取最大匹配m，取m和m的對(duì)稱差g，g在m中的邊應(yīng)該比m中多。 g有三個(gè)可能的連通分支孤立點(diǎn)。 因?yàn)閙的擴(kuò)展電路存在(如果存在)并與m最大匹配不符點(diǎn)，所以存在m的擴(kuò)展電路，并且Ha

13、ll定理在二叉圖(x，y，e )中對(duì)于x的任何子定徑套a存在完全匹配(x的節(jié)點(diǎn)全部匹配)的滿足條件： 如果不是始終需要的空，則各個(gè)節(jié)點(diǎn)是吸收點(diǎn)的(否則有擴(kuò)展路徑) .尋找以x0為端點(diǎn)的m相關(guān)的所有交織路徑，設(shè)y節(jié)點(diǎn)的集合為y，x節(jié)點(diǎn)的集合為x，則y節(jié)點(diǎn)與X-x0的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此|X|Y| 假定A=X，并且不是來(lái)自固定的未復(fù)蓋點(diǎn)的樹Edmonds-Karp算法：對(duì)所有的未復(fù)蓋點(diǎn)進(jìn)行排隊(duì)，而是BFS搜索/擴(kuò)展路由時(shí)間都是o (m ) -最大O(n )次時(shí)間復(fù)雜度O(nm ) Hopcroft算法：每次沿多個(gè)放大電路向云同步放大，每次搜索多個(gè)節(jié)點(diǎn)不交叉的最短放大電路時(shí)的最短放大電路定徑套極大，基

14、于時(shí)間復(fù)雜度DFS，算法：一次選擇一個(gè)未蓋點(diǎn)u進(jìn)行DFS的Hopcroft算法， 如果每次發(fā)現(xiàn)的最短擴(kuò)大路集是極大的，則可以證明只要擴(kuò)大下一個(gè)密鑰即可：在O(m )時(shí)間中找到極大最短擴(kuò)大路集的步驟1 :在距離標(biāo)簽條中擴(kuò)大匈牙利樹，找到第一個(gè)未蓋點(diǎn)時(shí)不停這樣，找到的所有未蓋點(diǎn)距離標(biāo)簽條都是相同的步驟2 :每次取得任一未蓋點(diǎn)時(shí)，在DFS中找到到起點(diǎn)的擴(kuò)展路徑(僅距離標(biāo)簽條下降的方向)，標(biāo)記通過(guò)點(diǎn)，找到所有擴(kuò)展路徑的總時(shí)間為O(m )，基于DFS的算法， 每次定理：從貪婪匹配(而不是空匹配)假定g的匹配為m，不存在來(lái)自非吸收點(diǎn)u的擴(kuò)大后的電路，并且如果存在另一個(gè)擴(kuò)大后的電路p，那么g也不存在來(lái)自u(píng)的

15、關(guān)于擴(kuò)大后的新匹配的擴(kuò)大后的電路，并且定理3360將g的匹配假定為m 假設(shè)不存在來(lái)自非吸收點(diǎn)u的放大電路，存在的g也從u開始與放大后的新匹配m相關(guān)的放大電路證明：放大后從u開始存在放大電路q，如果q和p不相交，則q在M-放大電路中不符點(diǎn)q的兩個(gè)M-非吸收點(diǎn)從u，v .從u開始沿著q行走，設(shè)第一個(gè)p中結(jié)點(diǎn)為w，w將p分成兩個(gè)，其中一個(gè)在m中邊與w相關(guān)，得到從u開始擴(kuò)展的路、w、v0、_0。 匹配邊緣中權(quán)重最大的邊緣權(quán)重最小算法1:2分最大邊緣權(quán)重，去除不滿足條件的邊緣，最大匹配算法2 :從權(quán)重最低的邊緣開始，一次添加一個(gè)邊緣，保持交錯(cuò)樹的森林。 您最多可以添加一個(gè)聯(lián)蕾絲花邊。 只要找到n條交織軌道即可，但因?yàn)榫S持交織樹森林的平房復(fù)雜度為O(1)，所以總時(shí)間復(fù)雜度依然為O(N3)，進(jìn)行分析，如果有完美的匹配，則Alice失敗。 因?yàn)锽ob只需沿匹配的邊緣行進(jìn)，所以Alice獲勝：任意確定最大匹配，Alice Alice只需要沿著匹配的邊緣移動(dòng)，下一個(gè)Bob只需要它移動(dòng)到另一個(gè)復(fù)蓋點(diǎn)，而Alice就可以移動(dòng)到它。 應(yīng)用實(shí)例：機(jī)器調(diào)度，有兩臺(tái)機(jī)器a、b和n個(gè)應(yīng)執(zhí)行的塔斯克。 每臺(tái)機(jī)器有m種不同的模式，每臺(tái)塔斯克I正好在一臺(tái)