單自由度系統(tǒng)(自由振動)

1、第二章單自由度系統(tǒng)的自由振動本章以阻尼彈簧質(zhì)量系統(tǒng)為模型，討論單自由度系統(tǒng)的自由振動。無阻尼系統(tǒng)的2-1自由振動無阻尼單自由度系統(tǒng)的動力學模型如圖1.1所示。假設(shè)質(zhì)量為m，單位為千克。彈簧剛度為k，單位為n/m，即彈簧單位變形所需的外力。圖中虛線示出了自由狀態(tài)下彈簧的位置。當質(zhì)量被連接時，彈簧受到重力的作用，產(chǎn)生拉伸變形，同時，它還產(chǎn)生彈簧回復(fù)力。當它等于重力時，它處于靜態(tài)平衡位置，即W=KDWxm未懸掛質(zhì)量位置靜態(tài)平衡位置k一自由度彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)如果系統(tǒng)的靜態(tài)平衡狀態(tài)由于某種外部初始干擾而被破壞，彈簧力就不等于重力，這種不平衡的彈性恢復(fù)力將使系統(tǒng)產(chǎn)生自由振動。首先，建立坐標。為簡單起見，選擇

2、靜態(tài)平衡位置作為坐標原點，并建立垂直坐標X，從原點向下為正，向上為負，表示質(zhì)量在振動過程中的位置。假設(shè)質(zhì)量m向下移動到x，彈簧的回復(fù)力為K(D x)，這明顯大于重力w。由于不平衡力，質(zhì)量將在合力的作用下加速移動。因此，根據(jù)牛頓運動定律可以建立一個運動方程(作用在一個質(zhì)點上的所有力的合力等于質(zhì)點的質(zhì)量和沿合力方向的加速度的乘積)，與x的正方向一致的力、加速度和速度為正，如下所示重寫為(1-1-1)訂單(1-1-2)單自由度無阻尼系統(tǒng)的自由振動運動方程為(1-1-3)讓方程的特殊解為將上述公式代入特征方程，特征根在(1-1-3)處為(1-1-3)的一般解是(1-1-4)c和d是任意的積分常數(shù)，由運

3、動的初始條件決定。當t=0時，(1-1-5)然后(1-1-6)經(jīng)過三角形變換后，它可以表示為(1-1-7)其中(1-1-8)自由振動的振幅a和初始相位角a與系統(tǒng)參數(shù)和初始條件有關(guān)。系統(tǒng)的振動周期秒系統(tǒng)振動的頻率為秒-1(秒-1)或(赫茲)系統(tǒng)振動的循環(huán)頻率為弧度/秒(弧度/秒)2-2能量法系統(tǒng)的動能t和勢能u之和稱為系統(tǒng)的機械能。在沒有阻尼的情況下，系統(tǒng)沒有能量損失，機械能可以被保存，即溫度單位=常數(shù)(2-2-1)因此，有(2-2-2)應(yīng)用上述兩個公式可以得到系統(tǒng)的運動方程和固有頻率。根據(jù)x=Asin(wn a)定律，讓物體共振。取平衡位置為零的勢能點，物體在任意位置的動能和勢能分別為系統(tǒng)的運

4、動方程可以通過將上述兩個方程代入(1-2-2)得到。當物體移動通過平衡位置x=0時，動能達到最大當物體的位移最大時，即x=，T=0，u達到最大因此，Tmax=Umax(2-2-3)也就是說，必須2-3阻尼系統(tǒng)的自由振動阻尼總是存在于實際系統(tǒng)中，它不斷消耗系統(tǒng)的能量，逐漸削弱運動，直到振動完全消失。阻尼的來源很多，不同來源產(chǎn)生的阻尼力的變化規(guī)律也不同。常見的是一種粘性阻尼，其阻尼力與物體的速度成正比，并且其方向與速度方向相反，即FR=cvc叫做粘性阻尼系數(shù)，v是物體的運動速度。粘性阻尼系統(tǒng)：的運動方程(2-3-1)訂單(2-3-2)(1-3-1)運動方程是(2-3-3)設(shè)置特殊解決方案得到特征方程和特征根(2-3-4)等式(1-3-3)的通解(2-3-5)或(2-3-6)阻尼討論：1.z1，大阻尼條件因為s1和s2都是負實數(shù)，所以運動解X將指數(shù)下降，并趨于平衡位置。2.z=1，臨界阻尼情況特征方程有多個根s1=s2=-p，和通解物體通過平衡位置的時間間隔為(2-3-13)被稱為阻尼振動周期。阻尼振動