高中數(shù)學(xué)經(jīng)典錯(cuò)因正解匯總第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

1、第二章第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 2.12.1映射、函數(shù)、反函數(shù)映射、函數(shù)、反函數(shù) 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.映射：一般地，設(shè)A、B 兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則 的映射，記作 f：AB.(包括集合 A、B 及 A 到 B 的對(duì)應(yīng)法則) 2.函數(shù)： 設(shè) A，B 都是非空的數(shù)集，如果按某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合 A 中每一個(gè)元 素x，在集合 B 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)， 且 B 中每一個(gè)元素都的原象，這樣的對(duì)應(yīng)叫做 從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)，記作y f (x). 其中所有的輸入值x組成的集合 A 稱為函數(shù)y f (x)定義域. 對(duì)于 A 中的每一個(gè)x， 都

2、有一個(gè)輸出值y與之對(duì)應(yīng)， 我們將所有輸出值y組成的集合稱 為函數(shù)的值域. 3.反函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)(xA)的值域是 C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中 x,y 的關(guān)系， 用 y 把 x 表示出來，得到x=f-1(y) 4. 若對(duì)于 y 在 C 中的任何一個(gè)值， 通過 x 在 A 中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)， 那么 x=f-1(y) 就表示 y 是自變量，x 是自變量 y 的函數(shù)，這樣的函數(shù) 叫做函數(shù) y=f(x)(xA)的反函數(shù)，記作x=f-1(y). 我們一般用 x 表示自變量，用y 表示函 數(shù)， 為此我們常常對(duì)調(diào)函數(shù)x=f-1(y)中的字母 x,y， 把它改寫成 y=f-1(x) 反函數(shù) y=f

3、-1(x) 的定義域、值域分別是函數(shù)y=f(x)的值域、定義域. ，對(duì)于集合A 中的任何 一個(gè)元素，在集合B 中都有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的單值對(duì)應(yīng)叫做集合A 到集合 B 二、疑難知二、疑難知識(shí) 識(shí) 1.對(duì)映射概念的認(rèn)識(shí) (1)與是不同的，即與上有序的.或者說：映射是有方向的， (2) 輸出值的集合是集合B的子集.即集合B中可能有元素在集合A中找不到對(duì)應(yīng)的輸入值. 集合 A 中每一個(gè)輸入值，在集合B 中必定存在唯一的輸出值.或者說：允許集合 B 中有剩留 元素；允許多對(duì)一，不允許一對(duì)多. (3)集合 A，B 可以是數(shù)集，也可以是點(diǎn)集或其它類型的集合. 2.對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí) （1）對(duì)函數(shù)符

4、號(hào) f (x)的理解知道 y=f (x)與f (x)的含義是一樣的，它們都表示 函數(shù)，其中是自變量， f (x)是函數(shù)值，連接的紐帶是法則 .是單值對(duì)應(yīng). 是的 (2)注意定義中的集合 A，B 都是非空的數(shù)集,而不能是其他集合； （3）函數(shù)的三種表示法：解析法，列表法，和圖像法. 3.對(duì)反函數(shù)概念的認(rèn)識(shí) （1）函數(shù)y=f (x)只有滿足是從定義域到值域上一一映射，才有反函數(shù)； （2）反函數(shù)的定義域和值域分別是原函數(shù)的值域和定義域，因此反函數(shù)的定義域一般不 能由其解析式來求，而應(yīng)該通過原函數(shù)的值域而得. （3）互為反函數(shù)的函數(shù)有相同的單調(diào)性，它們的圖像關(guān)于y=x 對(duì)稱. 三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例題

5、 例例 11設(shè) Ma，b，c ，N2,0,2,求（1）從 M 到 N 的映射種數(shù)； （2）從 M 到 N 的映射滿足f(a)f(b)f(c),試確定這樣的映射f的種數(shù). 錯(cuò)解錯(cuò)解： （1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，結(jié)合映射的概念，有 a 2 a 2 a 0a 0 a 2 a 2 b 0 ,b 2 ,b 2 ,b 2,b 0 ,b 2，共 6 個(gè)映射 c 2c 2c 2c 2c 2c 0 a 2 (2)由（1）得滿足條件的映射僅有b 0一種情況 c 2 錯(cuò)因錯(cuò)因：沒有找全滿足條件的映射個(gè)數(shù)，關(guān)健是對(duì)概念認(rèn)識(shí)不清 正解正解： （1）由于 Ma，b，c ，N2,0,2 ，結(jié)合映射的概念，

6、有 一共有 27 個(gè)映射 a 0 a 2 a 2 a 2 （2）符合條件的映射共有4 個(gè),b 2,b 2,b 0 ,b 0, c 2c 2c 2c 0 例例 22已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?，1，求函數(shù)f (x 1)的定義域 錯(cuò)解錯(cuò)解：由于函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?，1，即0 x 1，1 x 1 2 f (x 1)的定義域是1，2 錯(cuò)因錯(cuò)因：對(duì)函數(shù)定義域理解不透，不明白f (x)與f (u(x)定義域之間的區(qū)別與聯(lián)系，其實(shí)在 這里只要明白：f (x)中x取值的范圍與f (u(x)中式子u(x)的取值范圍一致就好了. 正解正解：由于函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?，1，即0 x 1f (x 1)滿足

7、0 x 11 1 x 0，f (x 1)的定義域是1，0 例例 33已知：x N ,f (x) * x 5 f (x 2) (x 6) (x 6) (x 6) (x 6) ，求f (3). x 5 錯(cuò)解錯(cuò)解：f (x) f (x 2) 故f (x) ，f (x 2) (x 2) 5 x 3 x 5 x 3 (x 6) (x 6) ，f (3)330. 錯(cuò)因錯(cuò)因： 沒有理解分段函數(shù)的意義，f (3)的自變量是 3， 應(yīng)代入f (x 2)中去， 而不是代入x 5 中，只有將自變量化為不小于6 的數(shù)才能代入解析式求解. 正解正解：f (x) x 5 f (x 2) (x 6) (x 6) ， f (

8、3)f (3 2) f (5)f (5 2) f (7)7-52 例例 44已知f (x)的反函數(shù)是f 1(x)，如果f (x)與f1(x)的圖像有交點(diǎn)，那么交點(diǎn)必在直 線y x上，判斷此命題是否正確？ 錯(cuò)解錯(cuò)解：正確 錯(cuò)因錯(cuò)因：對(duì)互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y x對(duì)稱這一性質(zhì)理解不深，比如函數(shù) 11 11 1 y ()x與y log 1 x的圖像的交點(diǎn)中，點(diǎn)( , ), 不在直線y x上，由此可以（ ，） 162 44 2 16 說明說明“兩互為反函數(shù)圖像的交點(diǎn)必在直線y x上”是不正確的. 例例 55求函數(shù)y f (x) x 4x 6，x1,5)的值域. 錯(cuò)解錯(cuò)解：Q f (1)1 41 6

9、3, f (5) 5 45 6 11 又x1,5)， f (x)的值域是311 ， 錯(cuò)因錯(cuò)因: :對(duì)函數(shù)定義中，輸入定義域中每一個(gè) x 值都有唯一的 y 值與之對(duì)應(yīng)，錯(cuò)誤地理解為 x 的兩端點(diǎn)時(shí)函數(shù)值就是 y 的取值范圍了. 正解正解：配方，得y f (x) x 4x 6 (x 2) 2 x1,5)，對(duì)稱軸是x 2當(dāng)x 2時(shí)，函數(shù)取最小值為f (2) 2， 22 22 2 f (x) f (5) 11 f (x)的值域是211， 例例 66已知f (x) 3x 4，求函數(shù)f 1(x 1)的解析式. 錯(cuò)解錯(cuò)解：由已知得f (x 1) 3(x 1) 4 3x 7 y 3x 7,即x 1 y 7x

10、7 1 ，f (x 1) 33 錯(cuò)因錯(cuò)因：將函數(shù)f (x 1)錯(cuò)誤地認(rèn)為是f (x 1)的反函數(shù)，是由于對(duì)函數(shù)表達(dá)式理解不透徹 1 所致，實(shí)際上f (x 1)與f 再去得到f 1 (x 1)并不是互為反函數(shù)，一般地應(yīng)該由f (x)先求f1(x)， (x 1). 正解正解：因?yàn)閒 (x) 3x 4的反函數(shù)為f 所以f 1 1(x) x 4 ， 3 (x 1) (x 1) 4x 31 x 1 333 例例 77根據(jù)條件求下列各函數(shù)的解析式： （1）已知f (x)是二次函數(shù)，若f (0) 0, f (x 1) f (x) x 1，求f (x). （2）已知f ( x 1) x 2 x，求f (x)

11、（3）若f (x)滿足f (x) 2f ( ) ax,求f (x) 解解： （1）本題知道函數(shù)的類型，可采用待定系數(shù)法求解 設(shè)f (x)ax bx c 2 1 x (a 0)由于f (0) 0得f (x) ax2bx， 22 又由f (x 1) f (x) x 1，a(x 1) b(x 1) ax bx x 1 即 ax (2a b)x a b ax (b 1)x 1 22 2a b b 1 a 0 a b 1 a b 11 2 1 因此：f (x) x x 222 (2)本題屬于復(fù)合函數(shù)解析式問題，可采用換元法求解 設(shè)u x 1(x 0),x u 1(u 1) f (u) (u 1)2 2(

12、u 1) u21 f (x)x 1（x 1） 2 (u 1) （3）由于f (x)為抽象函數(shù)，可以用消參法求解 111 代x可得：f ( ) 2 f (x) a , xxx 1 與 f (x) 2f ( ) ax x 12aax 聯(lián)列可消去f ( )得：f (x) . x3x3 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)： 求函數(shù)解析式 （1） 若已知函數(shù)f (x)的類型， 常采用待定系數(shù)法； （2） 若已知fg(x) 用 表達(dá)式，常采用換元法或采用湊合法； （3）若為抽象函數(shù)，常采用代換后消參法. 例例 88 已知3x 2y 6x，試求x y 的最大值. 分分 析析 ： 要 求x y的 最 大 值 ， 由 已 知 條 件 很

13、 快 將x y變 為 一 元 二 次 函 數(shù) 2222 2222 19 f (x) (x 3)2,然后求極值點(diǎn)的x值，聯(lián)系到y(tǒng)2 0，這一條件，既快又準(zhǔn)地求 22 出最大值. 解由 3x22y26x得 3 y2 x23x. 2 3 y2 0,x23x 0,0 x 2. 2 3 2 19 x 3x (x 3)2, 222 19 當(dāng)x 2時(shí)，x2 y2有最大值，最大值為(23)2 4. 22 又x y x 222 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：上述解法觀察到了隱蔽條件，體現(xiàn)了思維的深刻性.大部分學(xué)生的作法如下： 3 2x 3x, 2 319 x2 y2 x2x23x (x 3)2, 222 9 當(dāng)x 3時(shí)，x2 y2

14、取最大值，最大值為 2 2 由 3x 2y 6x得y 22 這種解法由于忽略了y 0這一條件，致使計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤.因此，要注意審題，不僅能 從表面形式上發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)， 而且還能從已知條件中發(fā)現(xiàn)其隱蔽條件， 既要注意主要的已知條件， 又要注意次要條件，甚至有些問題的觀察要從相應(yīng)的圖像著手，這樣才能正確地解題. 例例 99設(shè)f (x)是 R 上的函數(shù)，且滿足f (0) 1,并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, y都有 2 f (x y) f (x) y(2x y 1)，求f (x)的表達(dá)式. 解法一解法一：由f (0) 1, f (x y) f (x) y(2x y 1)，設(shè)x y， 得f (0) f (x) x(

15、2x x 1)，所以f (x)x x 1 解法二解法二：令x 0，得f (0 y) f (0) y(y 1) 即f (y) 1 y(y 1) 又將y用x代換到上式中得f (x)x x 1 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：所給函數(shù)中含有兩個(gè)變量時(shí)， 可對(duì)這兩個(gè)變量交替用特殊值代入， 或使這兩個(gè)變量相 等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù).具體取什么特殊值，根據(jù)題目特征而定. 四、典型習(xí)題四、典型習(xí)題 1. 已知函數(shù) f(x)，xF，那么集合(x，y)|y=f(x)，xF(x，y)|x=1中所含元素的 個(gè)數(shù)是（） A.0 B.1 C.0或 1 D.1 或 2 2.對(duì)函數(shù)f (x) 3x ax b作代換x=g(t)，則

16、總不改變f(x)值域的代換是( ) 2 2 2 A.g(t) log 1 t 2 2 B.g(t) ( ) 1 2 t C.g(t)=(t1)D.g(t)=cost 3.方程f(x,y)=0 的曲線如圖所示，那么方程f(2x,y)=0 的曲線是 ( ) ABCD 19 4.2 函數(shù) f(x) |xn|的最小值為 i1 A190 B.171 C.90 D.45 3mx (x)在定義域內(nèi)恒有ff(x)=x,則m等于( ) 44x3 33 A.3B.C.D.3 22 6.已知函數(shù)f (x)滿足：f (a b) f (a) f (b)，f (1) 2，則 5. 若函數(shù)f(x)= f2(1) f (2)

17、f2(2) f (4)f2(3) f (6)f2(4) f (8) . f (1)f (3)f (5)f (7) a1 7.已知函數(shù)f(x)滿足f(logax)= 2 (x ) (其中a0,a1,x0),求f(x)的表達(dá)式. xa 1 8.已知函數(shù)f (x)是函數(shù)y 2 1（xR）的反函數(shù)，函數(shù)g(x)的圖像與函數(shù) x10 1 y 43x 的圖像關(guān)于直線 yx1 成軸對(duì)稱圖形，記F(x)f (x)+g(x). x1 （1）求函數(shù) F（x）的解析式及定義域； （2）試問在函數(shù) F（x） 的圖像上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、 B，使直線 AB 恰好與 y 軸垂直？ 若存在，求出 A、B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)；若

18、不存在，說明理由. 2.22.2 函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì) 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.函數(shù)的單調(diào)性： （1）增函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域?yàn)?I，如果定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任意 兩個(gè)自變量的值x1,x2,當(dāng) x1x2時(shí)， 都有 f(x1)f(x2),那么就說f(x)在這個(gè)區(qū)間上是增函數(shù). （2）減函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)y f (x)的定義域?yàn)?I，如果定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間上任意 兩個(gè)自變量的值 x1,x2,當(dāng) x1x2時(shí),都有 f(x1)f(x2),那么就說 f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函 數(shù). （3）單調(diào)性（單調(diào)區(qū)間）如y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x

19、) 在這區(qū)間上具有單調(diào)性，這一區(qū)間叫做函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 2.函數(shù)的奇偶性： （1） 奇函數(shù)： 一般地， 如果對(duì)于函數(shù) f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x， 都有 f(x) =f(x)， 那么函數(shù) f(x)就叫做奇函數(shù). （2）一般地，如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有 f(x) =f(x)，那么函 數(shù) f(x)就叫做偶函數(shù). （3）如果函數(shù) f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么就說f(x)具有奇偶性. 3.函數(shù)的圖像：將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就 得到平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn) （x0,f(x0)） ，當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)， 就得到一

20、系列 這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)的集合（點(diǎn)集）組成的圖形就是函數(shù)y=f(x)的圖像. 二、疑難知識(shí)二、疑難知識(shí) 1. 對(duì)函數(shù)單調(diào)性的理解， 函數(shù)的單調(diào)性一般在函數(shù)的定義域內(nèi)的某個(gè)子區(qū)間上來討 論，函數(shù) y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù) 在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間 而言的，所以要受到區(qū)間的限制. 2.對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解， 不能只停留在 f(-x)=f(x)和 f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上， 要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有 f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)：函數(shù)的定義域關(guān)于 原

21、點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x， 都有 f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖 像的特殊的對(duì)稱性的反映. 這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，選 擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對(duì)學(xué)生能力的較高要求. 3. 用列表描點(diǎn)法總能作出函數(shù)的圖像，但是不了解函數(shù)本身的特點(diǎn)，就無法了解函數(shù) 圖像的特點(diǎn)，如二次函數(shù)圖像是拋物線， 如果不知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和存在著對(duì)稱軸， 盲 目地列表描點(diǎn)是很難將圖像的特征描繪出來的. 三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例題 例例 11判斷函數(shù)y (

22、 )的單調(diào)性. 錯(cuò)解錯(cuò)解：Q 0 1 3 x 11 1, y ( )x是減函數(shù) 33 錯(cuò)因錯(cuò)因：概念不清，導(dǎo)致判斷錯(cuò)誤.這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，而復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間） ， 仍是從基礎(chǔ)函數(shù)的單調(diào)性（或單調(diào)區(qū)間）分析，但需注意內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)的單調(diào)性的變化. 當(dāng)然這個(gè)函數(shù)可化為y 3，從而可判斷出其單調(diào)性. 正解正解：令t x，則該函數(shù)在 R 上是減函數(shù)，又Q 0 y ( )是增函數(shù) x 11 1, y ( )t在 R 上是減函數(shù)， 33 1 3 x 例例 22判斷函數(shù)f (x) (1 x) 1 x 的奇偶性. 1 x 錯(cuò)解錯(cuò)解：f (x) (1 x) 1 x1 x (1 x)21 x2 1 x

23、1 x f (x) 1(x)21 x2 f (x) f (x) (1 x) 1 x 是偶函數(shù) 1 x 錯(cuò)因錯(cuò)因：對(duì)函數(shù)奇偶性定義實(shí)質(zhì)理解不全面 .對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有 f(-x)=f(x)， f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件. 正解正解：f (x) (1 x) 1 x1 x 有意義時(shí)必須滿足 0 1 x 1 1 x1 x 即函數(shù)的定義域是x1 x 1 ，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以該函數(shù)既不是奇 函數(shù)也不是偶函數(shù) 例 3 判斷f (x) log 2 (x x21)的奇偶性. 2 錯(cuò)解錯(cuò)解：f (x) log 2 (x (x) 1)

24、log 2 (x f (x) f (x)且f (x) f (x) 所以該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) x21) 錯(cuò)因錯(cuò)因：對(duì)數(shù)運(yùn)算公式不熟悉，或者說奇偶性的判別方法不靈活.定義中 f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改為研究 f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)0 是否成立. 正解正解：方法一：f (x) log 2 (x (x)21) log 2 (x log 2 x21) 1 x x21 log 2 (xx21)f (x) f (x)是奇函數(shù) 方法二：f (x) f (x) log 2 (x log 2(x x21)log 2 (x x21) x21)(x x2

25、1) log 2 1 0 f (x) f (x) f (x)是奇函數(shù) 例例 44函數(shù) y=54x x2的單調(diào)增區(qū)間是_. 錯(cuò)解錯(cuò)解：因?yàn)楹瘮?shù)g(x) 5 4x x的對(duì)稱軸是x 2，圖像是拋物線，開口向下，由圖可 知g(x) 5 4x x在(,2上是增函數(shù)，所以 y=54x x2的增區(qū)間是(,2 2 2 錯(cuò)因錯(cuò)因： 在求單調(diào)性的過程中注意到了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性研究方法， 但沒有考慮到函數(shù)的單調(diào) 性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論，從而忽視了函數(shù)的定義域，導(dǎo)致了解題的錯(cuò)誤. 正解正解：y=54x x2的定義域是5,1，又g(x) 5 4x x在區(qū)間5,2上增函數(shù)， 2 在區(qū)間2,1是減函數(shù)，所以 y=54

26、x x2的增區(qū)間是5,2 例例 55 已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3， 3)上的減函數(shù)， 且滿足不等式f(x3)+f(x3)0, 求x的取值范圍. 錯(cuò)解錯(cuò)解：f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x,即x+x60 解得x2 或x3 又 f(x)是定義在(3，3)上的函數(shù)， 所以 2x3 錯(cuò)因錯(cuò)因：只考慮到奇函數(shù)與單調(diào)性，而沒有正確理解函數(shù)的定義域. 22 22 2 3 x 3 30 x 6 正解正解：由,故 0x6,得 2 3 x 3 3 6 x 6 又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x,即x+x60,解得x2 或x3,綜上得 2x6,即A=x|2x6, 例例 66 作出下列函數(shù)的圖像(1)y=|x-2

27、|(x1)；(2)y 10|lg x| 22 . 分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難， 除去對(duì)其函數(shù)性質(zhì)分析外， 我們還 應(yīng)想到對(duì)已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形.在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思 想. 解： (1)當(dāng) x2 時(shí)， 即 x-20 時(shí)， 當(dāng) x2 時(shí)，即 x-20 時(shí)， 1 2 9(x ) (x 2) 24 所以y 19 (x )2(x 2) 24 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖像可根據(jù)二次函數(shù)圖像作出(見圖) (2)當(dāng) x1 時(shí)，lgx0，y=10lgx=x； 當(dāng) 0 x1 時(shí)，lgx0， 所以 這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖) 點(diǎn)評(píng)

28、：作不熟悉的函數(shù)圖像，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價(jià)，要 特別注意 x，y 的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖像.例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、 二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖像. 例例 77若 f(x)= ax 1 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍 x 2 ax 1 1ax 2 1 x 1 2x 2 2 解解：設(shè)2 x 1 x 2 , f (x 1) f (x2 ) (ax 1 1)(x 2 2)(ax 2 1)(x 1 2) (x 1 2)(x 2 2) (ax 1 x 2 2ax 1 x 2 2)(ax 1 x 2 2ax 2 x

29、 1 2) (x 1 2)(x 2 2) 2ax 1 x 1 2ax 2 x 2 (2a 1)(x 1 x 2 ) (x 1 2)(x 2 2)(x 1 2)(x 2 2) 由f(x)= ax 1 在區(qū)間（2，）上是增函數(shù)得 x 2 1 f (x 1) f (x2 ) 02a1 0 a 2 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：有關(guān)于單調(diào)性的問題，當(dāng)我們感覺陌生，不熟悉或走投無路時(shí)， 回到單調(diào)性的定義上 去，往往給我們帶來“柳暗花明又一村”的感覺. 例例 88 已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f( 意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f( 1 )=1,當(dāng)且僅當(dāng) 0x1 時(shí)f(x)0,且對(duì)任 2 x y ),試

30、證明： 1 xy (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 解解：證明： (1)由f(x)+f(y)=f( x y ),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f( 1 xy x)=f( x x )=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)為奇函數(shù). 2 1 x (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令 0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)f(x1)=f( x2 x1 ) 1 x1x2 0x1x20,1x1x20， x 2 x 1 0, 1 x 1x2 又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0 x2x11x2x1, 0 x2 x

31、1x x1 1,由題意知f( 2 )0， 1 x2x11 x1x2 即f(x2)0. 2 (1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)； (2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證. 當(dāng)x ax21 7.已知函數(shù)y=f(x)= (a,b,cR,a0,b0)是奇函數(shù)，當(dāng)x0 時(shí)，f(x)有最小值 2， bx c 5 其中bN 且f(1). 2 (1)試求函數(shù)f(x)的解析式； (2)問函數(shù)f(x)圖像上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存 在，說明理由. 2.32.3基本初等函數(shù)基本初等函數(shù) 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué)一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1. 二次函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì). （1）注意解題中靈活

32、運(yùn)用二次函數(shù)的一般式f (x) ax bx c 2(a 0) 二次函數(shù)的頂點(diǎn)式f (x) a(x m) n 二次函數(shù)的坐標(biāo)式f (x) a(x x 1 )(x x 2 ) 2(a 0)和 (a 0) （2）解二次函數(shù)的問題（如單調(diào)性、最值、值域、二次三項(xiàng)式的恒正恒負(fù)、二次方程根 的范圍等）要充分利用好兩種方法：配方、圖像，很多二次函數(shù)都用數(shù)形結(jié)合的思想去解. f (x) ax bx c 2(a 0)，當(dāng) b2 4ac 0時(shí)圖像與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn). M（x1,0）N(x2,0),|MN|=| x1- x2|= . | a | 二次函數(shù)在閉區(qū)間上必有最大值和最小值， 它只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)

33、的頂點(diǎn) 處取得. 2.指數(shù)函數(shù)y a(a 0,a 1)和對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(a 0,a 1)的概念和性質(zhì). （1）有理指數(shù)冪的意義、冪的運(yùn)算法則： a a a mnmn x ；(a ) a mnmn；(ab) a b （這時(shí) m,n 是有理數(shù)） nnn 對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)、換底公式. log a (M N) log a M log a N; log a Mn nlog a M; log a M log a M log a N N log a nM log c b1 log a M；log a b log c an （2）指數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn).對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像、單調(diào)性與特殊點(diǎn)

34、. 指數(shù)函數(shù)圖像永遠(yuǎn)在 x 軸上方，當(dāng) a1 時(shí)，圖像越接近 y 軸，底數(shù) a 越大；當(dāng) 0a1 時(shí)， 圖像越接近 x 軸， 底數(shù) a 越大; 當(dāng) 0a1 時(shí)， 圖像越接近 x 軸， 底數(shù) a 越小. 3.冪函數(shù)y x的概念、圖像和性質(zhì). 結(jié)合函數(shù)y=x,y=x ,y=x,y=y x , y x 23 12,y=x 的圖像，了解它們的變化情況. 1 2 0 時(shí)，圖像都過（0,0） 、 （1,1）點(diǎn)，在區(qū)間（0，+）上是增函數(shù)； 注意1 與 01 時(shí)，指數(shù)大的圖像在上方. 二、疑難知識(shí)二、疑難知識(shí) 1.二次函數(shù)在區(qū)間上最值的求解要注意利用二次函數(shù)在該區(qū)間上的圖像.二次函數(shù)的對(duì)稱 軸與區(qū)間的位置通

35、常有三種情況： （1）定義域區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)； （2）定義域區(qū)間在對(duì)稱 軸的左側(cè)； （3）對(duì)稱軸的位置在定義域區(qū)間內(nèi) 2.冪的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的運(yùn)用，要注意公式正確使用.會(huì)用語言準(zhǔn)確敘述這些 運(yùn)算性質(zhì)防止出現(xiàn)下列錯(cuò)誤： （1）式子 nan a， （2）log a (M N) log a M log a N;log a (M N) log a M log a N 3.利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解題，一定要注意底數(shù)的取值. 4.函數(shù)y a 性質(zhì). 5.對(duì)數(shù)函數(shù)y log a x(a 0,a 1)與指數(shù)函數(shù)y a(a 0,a 1)互為反函數(shù)，會(huì)將 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式相互轉(zhuǎn)化. 6.冪函數(shù)y x的性質(zhì)，

36、要注意的取值變化對(duì)函數(shù)性質(zhì)的影響. （1）當(dāng) x f (x)的研究方法一般是先研究f (x)的性質(zhì)，再由a的情況討論y af (x)的 奇偶奇 時(shí)，冪函數(shù)是奇函數(shù)； （2）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是偶函數(shù)； （3）當(dāng) 奇奇偶 時(shí)，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，冪函數(shù)為非奇非偶函數(shù). 三、經(jīng)典例題三、經(jīng)典例題 b 例例 11已知log189 a,18 5,求log3645 錯(cuò)解錯(cuò)解：18 5,log185 b log3645 b log 18 45log 18 5 log 18 9b a log 18 36log 18 4 log 18 9log 18 4 a 錯(cuò)因錯(cuò)因：因?qū)π再|(zhì)不熟而導(dǎo)致題目沒解完. 正解正解：1

37、8 5,log185 b log3645 b log 18 45log 18 5 log 18 9 log 18 36log 18 4 log 18 9 2 b ab ab a 18 2 18 2 a log 18 () a2log 18 () a 99 例例 22分析方程f (x) ax bx c 0（a 0）的兩個(gè)根都大于 1 的充要條件. 錯(cuò)解錯(cuò)解：由于方程f (x) ax bx c 0（a 0）對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)為 2 f (x) ax2bx c的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于 1 即可. f (1) 0 f (1) 0 故需滿足b，所以充要條件是b 11 2a 2a 錯(cuò)因錯(cuò)因：上述解法

38、中，只考慮到二次函數(shù)與x 軸交點(diǎn)坐標(biāo)要大于 1，卻忽視了最基本的的前題 條件，應(yīng)讓二次函數(shù)圖像與 x 軸有交點(diǎn)才行，即滿足0，故上述解法得到的不是充要條 件，而是必要不充分條件. f (1) 0 b 正解正解：充要條件是1 2a 2 b 4ac 0 例例 33求函數(shù)y 36 126 5的單調(diào)區(qū)間. x2 錯(cuò)解錯(cuò)解：令6 t，則y 36 126 5t 12t 5 xx xx 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)， 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù) 函數(shù)y 36 126 5的單調(diào)遞減區(qū)間是(,6，單調(diào)遞增區(qū)間為6,) 錯(cuò)因錯(cuò)因：本題為復(fù)合函數(shù)，該解法未考慮中間變量的取值

39、范圍. 正解正解：令6 t，則t 6為增函數(shù)， xx xx y 36x126x5t212t 5(t 6)2 41 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的增函數(shù)， 當(dāng) t6,即 x1 時(shí)，y 為關(guān)于 t 的減函數(shù) 函數(shù)y 36 126 5的單調(diào)遞減區(qū)間是(,1，單調(diào)遞增區(qū)間為1,) 例例 44已知y log a (2 ax)在0，1上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是 錯(cuò)解錯(cuò)解：y log a (2 ax)是由y log a u，u 2 ax復(fù)合而成，又a0 u 2 ax在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知 xx y log a u應(yīng)為增函數(shù)，a1 錯(cuò)因錯(cuò)因：錯(cuò)因：解題中雖然考慮了對(duì)數(shù)函數(shù)與

40、一次函數(shù)復(fù)合關(guān)系，卻忽視了數(shù)定義域的限制， 單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的某個(gè)子區(qū)間，即函數(shù)應(yīng)在0，1上有意義. 正解正解：y log a (2 ax)是由y log a u，u 2 ax復(fù)合而成，又a0 u 2 ax在0，1上是x的減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)關(guān)系知 y log a u應(yīng)為增函數(shù)，a1 又由于x在0，1上時(shí) y log a (2 ax)有意義，u 2 ax又是減函數(shù)，x1 時(shí)， u 2ax取最小值是u min 2 a 0 即可，a2 綜上可知所求的取值范圍是1a2 例例 55已知函數(shù)f (x) log a (3 ax). （1）當(dāng)x0,2時(shí)f (x)恒有意義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. （2）是否存在

41、這樣的實(shí)數(shù)a使得函數(shù)f (x)在區(qū)間1，2上為減函數(shù)，并且最大值為1，如 果存在，試求出a的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由. 分析分析：函數(shù)f (x)為復(fù)合函數(shù)，且含參數(shù)，要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)具體分析找到正確的解題 思路，是否存在性問題，分析時(shí)一般先假設(shè)存在后再證明. 解：解： （1）由假設(shè)，3ax0，對(duì)一切x0,2恒成立，a 0,a 1 顯然，函數(shù) g(x)=3ax在0，2上為減函數(shù)，從而 g(2)32a0 得到a a的取值范圍是（0，1）（1， 3 2 3 ） 2 (2)假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)a，由題設(shè)知f (1)1，即f (1) log a (3 a)1 a 33 此時(shí)f (x) loga(3x

42、) 22 當(dāng)x 2時(shí)，f (x)沒有意義，故這樣的實(shí)數(shù)不存在. 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：本題為探索性問題，應(yīng)用函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化，存在性問題一般的處 理方法是先假設(shè)存在，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理和等價(jià)轉(zhuǎn)化，若推出矛盾，說明假設(shè)不成立. 即不存在，反之沒有矛盾，則問題解決. 1 2x 4xa 例例 66已知函數(shù)f(x)=lg, 其中a為常數(shù)，若當(dāng)x(, 1時(shí),f(x)有意 2a a 1 義，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 分析分析：參數(shù)深含在一個(gè)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式（組）非常 困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把a(bǔ)分離出來，重新認(rèn)識(shí)a與其它變?cè)?x)的依存 關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)

43、系，?？墒乖瓎栴}“柳暗花明”. 1 2x 4xa1 2 3 2 解：0, 且aa+1=(a) +0, 224a a 1 11 ), xx42 11 當(dāng)x(, 1時(shí),y= x 與y= x 都是減函數(shù)， 42 31111 y=( x x )在(, 1上是增函數(shù)，( x x ) max= , 44242 33 a, 故a的取值范圍是(, +). 44 1+2 +4 a0,a( xx 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：發(fā)掘、提煉多變?cè)獑栴}中變?cè)g的相互依存、相互制約的關(guān)系、反客為主，主客換 位，創(chuàng)設(shè)新的函數(shù)，并利用新函數(shù)的性質(zhì)創(chuàng)造性地使原問題獲解， 是解題人思維品質(zhì)高的表 現(xiàn).本題主客換位后，利用新建函數(shù)y=( 實(shí)數(shù)a的取

44、值范圍.此法也叫主元法. 例例 77若(a 1) 1 3 11 )的單調(diào)性轉(zhuǎn)換為函數(shù)最值巧妙地求出了 xx42 (3 2a) 1 3 1 3，試求a的取值范圍. 解解：冪函數(shù)y x有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間， 根據(jù)a 1和32a的正、負(fù)情況，有以下關(guān)系 a 1 0 a 1 0 a 1 0 3 2a 0.3 2a 0. . 32a 0a 1 3 2aa 1 3 2a 23 a，無解，a1 32 23 a的取值范圍是（，1）（，） 32 解三個(gè)不等式組：得 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)y x 1 3有兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，在本題中相當(dāng)重要，不少學(xué)生可能在解題中誤認(rèn) 為a 1 32a，從而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 例例 88 已知 a0 且

45、 a1 ,f (log a x ) = a1 (x ) xa21 (1)求 f(x)； (2)判斷 f(x)的奇偶性與單調(diào)性； 2 (3)對(duì)于 f(x) ,當(dāng) x (1 , 1)時(shí) , 有 f( 1m ) +f (1 m ) 0 ,求 m 的集合 M . 分析分析：先用換元法求出 f(x)的表達(dá)式；再利用有關(guān)函數(shù)的性質(zhì)判斷其奇偶性和單調(diào)性；然 后利用以上結(jié)論解第三問. 解：(1)令 t=logax(tR)，則 x at, f (t) (2) f (x) aa ttxx(a a ), f (x) (a a),(xR). 22a 1a 1 aa xx(aa ) f (x),且xR, f (x)為奇

46、函數(shù).當(dāng)a 1時(shí), 0, a21a21 u(x) axax為增函數(shù),當(dāng)0 a 1時(shí),類似可判斷f (x)為增函數(shù).綜上,無論a 1或0 a 1, f(x)在 R 上都是增函數(shù). (3) f (1m) f (1m2) 0, f (x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù), f (1m) f (m21).又 x(1,1) 11m 1 1 m2111 m 2. 1m m21 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：對(duì)含字母指數(shù)的單調(diào)性，要對(duì)字母進(jìn)行討論 .對(duì)本例的不需要代入 f（x）的表達(dá)式 可求出 m 的取值范圍，請(qǐng)同學(xué)們細(xì)心體會(huì). 四、典型習(xí)題四、典型習(xí)題 1. 函數(shù)f (x) axb的圖像如圖，其中a、b 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

47、） A.a 1,b 0B.a 1,b 0 D.0 a 1,b 0C.0 a 1,b 0 2、已知 2lg(x2y)=lgx+lgy,則 x 的值為（） y A.1B.4C.1 或 4D.4 或 8 2 3、方程log a (x 1) x 2 (0a1)的解的個(gè)數(shù)為（ ） A.0B.1C.2 4、函數(shù) f(x)與 g(x)=( A.0,B.,0 n D.3 1 x2 ) 的圖像關(guān)于直線y=x 對(duì)稱,則 f(4x )的單調(diào)遞增區(qū)間是 2 (） C.0,2D. 2,0 5、 圖中曲線是冪函數(shù) yx 在第一象限的圖像， 已知 n 可取2， 1 2 四個(gè)值,則相應(yīng)于曲線 c1、c2、c3、c4的 n 依

48、次為( ) A.2， 1 ， 1 ，2 B2， 1 ， 1 ，2 2222 1111 C. ，2,2， D. 2，2, 2222 6.求函數(shù) y = log 2 (x 5x+6) 的定義域、值域、單調(diào)區(qū)間. 2 7. 若 x 滿足2(log 1 x) 14log 4 x 3 0 ,求 f(x)=log 2 2 2 x log 22 x 最大值和最小值. 2 8.已知定義在 R 上的函數(shù)f (x) 2 x a ,a為常數(shù) x2 （1）如果f (x)f (x)，求a的值； （2）當(dāng)f (x)滿足（1）時(shí)，用單調(diào)性定義討論f (x)的單調(diào)性. 2.42.4函數(shù)與方程函數(shù)與方程 一、知識(shí)導(dǎo)學(xué) 1.函數(shù)

49、的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系： 一般地，對(duì)于函數(shù)y f (x)（xD）我們稱方程f (x) 0的實(shí)數(shù)根x也叫做函數(shù)的 零點(diǎn)， 即函數(shù)的零點(diǎn)就是使函數(shù)值為零的自變量的值. 求綜合方程f(x)=g(x)的根或根的個(gè) 數(shù)就是求函數(shù)y f (x) g(x)的零點(diǎn). 2.函數(shù)的圖像與方程的根的關(guān)系： 一般地，函數(shù)y f (x)（xD）的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是f (x) 0的根.綜 合方程f(x)=g(x)的根，就是求函數(shù)yf(x)與y=g(x)的圖像的交點(diǎn)或交點(diǎn)個(gè)數(shù)，或求方程 y f (x) g(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 3.判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)的方法： 如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間a,b上圖像是

50、連續(xù)不斷的曲線，并且有f (a) f (b) 0，那 么，函數(shù)y f (x)在區(qū)間（a,b）上至少有一個(gè)零點(diǎn)，即至少存在一個(gè)數(shù)c(a,b)使得 f (c) 0，這個(gè) c 也就是方程f (x) 0的一個(gè)根.對(duì)于我們學(xué)習(xí)的簡(jiǎn)單函數(shù)，可以借助 或者把f (x)寫成g(x)h(x)， 然后借助y g(x)、y h(x)y f (x)圖像判斷解的個(gè)數(shù)， 的圖像的交點(diǎn)去判斷函數(shù)f (x)的零點(diǎn)情況. 4. 二次函數(shù)、一元二次方程、二次函數(shù)圖像之間的關(guān)系： 2 二次函數(shù)y ax bxc的零點(diǎn)，就是二次方程ax bxc 0的根，也是二次函數(shù) 2 y ax2bxc的圖像與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 5. 二分法：

51、對(duì)于區(qū)間a,b上的連續(xù)不斷，且f (a) f (b) 0的函數(shù)y f (x)，通過不斷地把函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二， 使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)， 進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法 叫做二分法. 二、疑難知識(shí) 1.關(guān)于函數(shù)y f (x) g(x)的零點(diǎn)，就是方程f (x) g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是y f (x)與 函數(shù)y g(x)圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo). 要深刻理解，解題中靈活運(yùn)用. 2.如果二次函數(shù)y f (x) ax bx c，在閉區(qū)間m,n上滿足f (m) f (n) 0，那么方 程ax bxc 0在區(qū)間（m,n）上有唯一解，即存在唯一的x 1 (m,n)，使f (x1) 0， 方程ax b

52、xc 0另一解x2(,m)(n,). 3. 二次方程ax bxc 0的根在某一區(qū)間時(shí)，滿足的條件應(yīng)據(jù)具體情形而定.如二次方 程f (x)ax bxc 0的根都在區(qū)間(m,n)時(shí) 2 2 2 2 2 0 b m n 應(yīng)滿足：2a f (m) 0 f (n) 0 4.用二分法求二次方程的近似解一般步驟是 （1）取一個(gè)區(qū)間（a,b）使f (a) f (b) 0 （2）取區(qū)間的中點(diǎn)，x 0 ab 2 （3）計(jì)算 f (x 0 )，若f (x 0 ) 0，則x 0 就是f (x) 0的解，計(jì)算終止；若 f (a) f (x 0 ) 0，則解位于區(qū)間（ a, x 0 ）中，令a1 a,b 1 x 0 ；若

53、f (x0) f (b) 0則解 位于區(qū)間（ x 0 ,b ）令a 1 x 0 ,b 1 b （4）取區(qū)間是（a 1,b1 ）的中點(diǎn)，x 1 總位于區(qū)間（an,bn）內(nèi) （5）當(dāng)an,bn精確到規(guī)定的精確度的近似值相等時(shí)，那么這個(gè)值就是所求的近似解. 三、經(jīng)典例題 例例 11已知函數(shù)f (x) x ax 3a若x2,2時(shí)，f (x)0 恒成立， 求a的取值范圍. 錯(cuò)解錯(cuò)解： （一）Q f (x) 0恒成立，a 4(3a)0 恒成立 解得a的取值范圍為6 a 2 錯(cuò)解錯(cuò)解： （二）f (x) x ax 3a若x2,2時(shí)，f (x)0 恒成立 2 f (2) 0 (2) 2a3a 0 即 2f (

54、2) 0 2 2a3a 0 2 2 2 a 1 b 1重服第二步、第三驟直到第 n 步，方程的解 2 解得a的取值范圍為7 a 2 7 3 錯(cuò)因錯(cuò)因：對(duì)二次函數(shù)f (x)ax bxc當(dāng)xR上f (x)0 恒成立時(shí)，0 f (2) 0 片面理解為，ax bxc0，x2,2恒成立時(shí)，0 ；或者理解為 f (2) 0 2 這都是由于函數(shù)性質(zhì)掌握得不透徹而導(dǎo)致的錯(cuò)誤.二次函數(shù)最值問題中“軸變區(qū)間定”要對(duì) 對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論； “軸定區(qū)間變”要對(duì)區(qū)間進(jìn)行討論. 正解正解：設(shè)f (x)的最小值為g(a) （1）當(dāng) 7 a 2即a4 時(shí)，g(a)f (2)73a0，得a 故此時(shí)a不存在； 32 a2a (2

55、) 當(dāng)2,2即4a4 時(shí)，g(a)3a0，得6a2 42 又4a4，故4a2； （3） 故7a4 綜上，得7a2 2 a 2即a4 時(shí)，g(a)f (2)7a0，得a7，又a4 2 例例 22已知mx x1 0有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求m的取值范圍. 2 錯(cuò)解錯(cuò)解：設(shè)f (x) mx x1mx x1 0有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi) 2 f (0) f (1) 0得m2 錯(cuò)因錯(cuò)因：對(duì)于一般f (x)，若f (a) f (b) 0，那么，函數(shù)y f (x)在區(qū)間（a,b）上至少有 一個(gè)零點(diǎn)，但不一定唯一.對(duì)于二次函數(shù)f (x)，若f (a) f (b) 0則在區(qū)間（a,b）上存在 唯一的

56、零點(diǎn)，一次函數(shù)有同樣的結(jié)論成立. 但方程f (x)0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根時(shí)，不僅是f (a) f (b) 0，也有可 能f (a) f (b) 0.如二次函數(shù)圖像是下列這種情況時(shí)，就是這種情況. 由圖可知f (x)0 在區(qū)間（a,b）上有且只有一根，但是 f (a) f (b) 0 正解正解：設(shè)f (x) mx x1， （1）當(dāng)m0 時(shí)方程的根為1，不滿足條件. （2）當(dāng)m0mx x1 0有且只有一根在區(qū)間（0,1）內(nèi) 又f (0)10 有兩種可能情形f (1) 0得m2 或者f (1) 0且0 綜上所得，m2 例例 33已知一次函數(shù)y kxb與二次函數(shù)y ax2圖像如圖，其中 2

57、 2 1 0 即x f (x) x 1 f (x) x 1 x F(x) x 1 x F(x) (x 1 x)(1 ax ax 2 ) (x 1 x)(1ax 2 ) 0 x x1 x2 x1 f (x) 0 綜合得x f (x) x1 （2）依題意知x0 x0 1 .x1 x 0,1 ax2 0 a bb1 ，又x1 x2 2aa a(x 1 x 2 ) 1ax 1 ax 2 1b 2a2a2a ax 1 x 1 2a2 ax21 0,x0 點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)健有三： 一是用作差比較法證明不等式； 二是正確選擇二次函數(shù)的表達(dá) 式，即本題選用兩根式表示； 三要知道二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱， 此直線為二次函數(shù)的 對(duì)稱軸，即x0 b 2a 2 例例 88 已知函數(shù)f (x) x 2bx c(c b 1), f (1) 0，且方程f (x) 1 0有實(shí)根. (1)求證：-3c-1,b0. (2)若 m 是方程f (x) 1 0的一個(gè)實(shí)根，判斷f (m 4)的正負(fù)并加以證明 分析： （1）題中條件涉及不等關(guān)系的有c b 1和方程f (x) 1 0有實(shí)根. 及一個(gè)等式f (1) 0，通過適當(dāng)代換及不等