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1、扭 轉(zhuǎn) 變 形, 概述 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形 扭轉(zhuǎn)超靜定問題 扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的力學(xué)性能 扭轉(zhuǎn)圓桿的強(qiáng)度計(jì)算和剛度計(jì)算 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn),第三章 扭 轉(zhuǎn),31 概 述,外力特點(diǎn)： 外力是平衡力偶系，作用在與桿軸線垂直的平面內(nèi)。,變形特點(diǎn)： 所有橫截面繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，任意兩橫截面之間產(chǎn)生相對(duì)角位移。,扭轉(zhuǎn)角,以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的桿件 軸,扭轉(zhuǎn)桿件橫截面上的內(nèi)力 扭矩,扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定： 按右手螺旋法則，四個(gè)手指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，大拇指離開橫截面為正，指向橫截面為負(fù)。,扭轉(zhuǎn)桿件某一截面上的扭矩，等于該截面一側(cè)桿上所有外力偶矩的代數(shù)和。,外力偶矩矢離開該截面取正，指向該截面取負(fù)。,扭轉(zhuǎn)桿

2、件上集中外力偶矩作用處，左、右截面上的扭矩值有突變，突變值就等于該集中外力偶矩的大小。,扭矩圖的特征：,某段上無外力偶矩作用，扭矩為常量。,某段上有均布外力偶矩作用，扭矩線性變化。,畫扭矩圖。,Mx（kNm）,Mx1 =2 kNm,Mx2 = 1 kNm,外力偶矩 T 與功率 P 和轉(zhuǎn)速 n 的關(guān)系：,32 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力,一、橫截面上的應(yīng)力, 幾何方面,單位長度桿的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角, G , 物理方面,G 切變模量,材料常數(shù),在彈性范圍內(nèi),剪切虎克定律, d A,= Mx, 靜力學(xué)方面,截面的 極慣性矩,圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的最大切應(yīng)力,當(dāng) max 時(shí)， max,扭 轉(zhuǎn) 截 面 系 數(shù),二、極慣性

3、矩和扭轉(zhuǎn)截面系數(shù),實(shí)心圓截面：, = d / D,圓環(huán)截面,薄壁圓環(huán)截面,三、切應(yīng)力互等定理,d x,d y,d z,單 元 體,過一點(diǎn)的相互垂直 的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力 必然成對(duì)出現(xiàn)，且數(shù)值 相等，兩者都垂直于兩 個(gè)平面的交線，方向則 共同指向或共同背離這 一交線。,Mx,t,t ,例：直徑 d100 mm 的實(shí)心圓軸，兩端受力偶矩T10 kNm作用而扭轉(zhuǎn)，求橫截面上的最大切應(yīng)力。若改用內(nèi)、外直徑比值為0.5的空心圓軸，且橫截面面積和以上實(shí)心軸橫截面面積相等，問最大切應(yīng)力是多少？,空心圓截面上的最大切應(yīng)力比實(shí)心圓截面上的小。,？,從兩方面考慮： 應(yīng)力分布規(guī)律； 截面幾何性質(zhì)。,解,實(shí)心圓軸,空

4、心圓軸,返回,單位長度的 扭轉(zhuǎn)角,兩截面的 相對(duì)扭轉(zhuǎn)角,GIP 扭轉(zhuǎn)剛度,33 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形,Mx、G、IP 為常量時(shí),例：圖示鉆桿橫截面直徑為 20 mm，旋 轉(zhuǎn)時(shí) BC 段受均勻分布的力偶矩 m 作用，已 知使其轉(zhuǎn)動(dòng)的外力偶矩 T120 Nm，材料的切 變模量G80 GPa,求鉆 桿兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。,T m BC 0,M x m x,x （0，0.1 m）,j BC ,j AC j AB +j BC 0.0239 rad,31、4、6,作業(yè)：P66,例：兩端固定的等截面圓桿 AB，在 C 截面承受外力矩 T 作用，試求兩端的約束力。,TATBT0, r0 jl,34 扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的力學(xué)

5、性能,低碳鋼, G ,p ：剪切比例極限,S ：剪切屈服極限,鑄 鐵,b ：剪切強(qiáng)度極限,試驗(yàn)驗(yàn)證和理論證明：,塑性材料： u S 脆性材料： u b,強(qiáng)度指標(biāo)（失效應(yīng)力、極限應(yīng)力）,脆性材料,塑性材料,塑性材料制成的桿件沿橫截面被剪斷，脆性材料制成的桿件在與軸線約成45度的螺旋面上發(fā)生斷裂。,？,35 扭轉(zhuǎn)圓桿的強(qiáng)度計(jì)算 和剛度計(jì)算,一、強(qiáng)度條件, ,二、剛度條件, q ,例1：階梯軸受外力偶 作用，已知 T1 = 4 kNm ， T2 = 1.5 kNm ，AB、BC 段直徑分別為 d175 mm 和 d260 mm ，容許切應(yīng)力 t 60 MPa，容許單位扭轉(zhuǎn)角 q 0.6 O/m ，切

6、變模量 G80 GPa，求：校核軸的強(qiáng)度； C 截面相對(duì) A 截面的扭轉(zhuǎn)角； 校核軸的剛度。,Mx ( kNm ),1.畫扭矩圖,2.校核強(qiáng)度,AB 段：max 30.2 MPa,BC 段：max 35.4 MPa,軸：max 35.4 MPa ,滿足強(qiáng)度條件 ！,3.計(jì)算 jAC,j AB 8.0481103 rad 0.4611,j BC 1. 4737103 rad 0.0844,j AC j ABj BC 0.3767,4.校核剛度,不滿足剛度條件 ！,D47.6 mm d 23.8 mm,D52.7 mm d 26.35 mm,取 D52.7 mm d 26.35 mm,例：直徑 D

7、100 mm 的軸 ,由兩段聯(lián)接而成；聯(lián) 接處加凸緣，并在D0200 mm 的圓周上布置 8個(gè)螺栓 緊固，已知軸在扭轉(zhuǎn)時(shí)的最大切應(yīng)力為70 MPa，螺栓 的容許切應(yīng)力t 60 MPa，試求螺栓所需的直徑。,螺栓群問題,單剪,36 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn),非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面而發(fā)生翹曲。,若橫截面的翹曲受到限制，則橫截面上存在t 和s 。,若橫截面的翹曲沒受到限制，則橫截面上只存在t 。,實(shí)體截面桿 s 可忽略不計(jì)； 薄壁截面桿 s 不能忽略。,約束扭轉(zhuǎn),自由扭轉(zhuǎn),約束扭轉(zhuǎn)問題中：,薄壁結(jié)構(gòu)力學(xué),自由扭轉(zhuǎn),一、矩形截面桿,橫截面周邊上各點(diǎn)處的切應(yīng)力平行于周邊。,t ,t ,自由表面,角

8、點(diǎn)處切應(yīng)力為零。,自由表面,橫截面,最大切應(yīng)力max 發(fā)生在截面長邊中點(diǎn)處，而短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力1也有相當(dāng)大的數(shù)值。,WT a b3 ， IT b b4,a 、b 、g 與比值 m = hb 有關(guān),短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力,最大切應(yīng)力,單位長度桿的扭轉(zhuǎn)角,狹長矩形截面（m 10）,a = b m / 3,WT h b2 / 3,IT h b3 / 3,38、9,作業(yè)：P67,矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn),二、開口薄壁截面桿,中線, 閉口薄壁截面桿、開口薄壁截面桿,Mx ：橫截面上的總扭矩，Mx i ：第 i 個(gè)狹長矩形截面上的扭矩。,Mx =Mx i,扭轉(zhuǎn)后，開口薄壁截面桿的橫截面雖然翹曲，但橫截面的周邊形狀在其變形前平面上的投影保持不變