第九章冪法.ppt

1、,冪法與反冪法,矩陣特征值與特征向量的計(jì)算,一問題的提出： 工程技術(shù)的許多實(shí)際問題，例如振動(dòng)問題，穩(wěn)定問題的求解，有時(shí)會(huì)歸結(jié)成求矩陣的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。 學(xué)過線性代數(shù)后，我們已知求矩陣A的特征值和特征向量的解法，即先求出A的特征多項(xiàng)式：,令0。 通過求解上述高次多項(xiàng)式方程，所得根即為矩陣A的特征值，然后求解方程組0，就可得出特征值對(duì)應(yīng)的特征向量X。,但眾所周知，高次多項(xiàng)式求根是相當(dāng)困難的，而且重根的計(jì)算精度較低。同時(shí)，矩陣A求特征多項(xiàng)式系數(shù)的過程對(duì)舍入誤差十分敏感，這對(duì)最后計(jì)算結(jié)果影響很大。因此，從數(shù)值計(jì)算角度來看，上述方法缺乏實(shí)用價(jià)值。 目前，求矩陣特征值問題實(shí)際采用的是迭代法和變換法

2、。這里將介紹通過求矩陣特征向量求出特征值的一種迭代法-冪法，而后再介紹一些反冪法的內(nèi)容。,(1)冪法 定理：設(shè)矩陣A的特征值為 并設(shè)A有完全的特征向量系 (它們線性無關(guān))，則對(duì)任意一個(gè)非零向量V0Rn 所構(gòu)造的向量序列 有 其中表示向量的第j個(gè)分量.,證 僅就為實(shí)數(shù)的情況來證明.假定 于是,由矩陣特征值定義知 ,得,.,同理可得,假定 ,因?yàn)?,故得,從上述證明過程可得出計(jì)算矩陣A的按模最大特征值的方法,具體步驟如下： (1)任取一非零向量V0Rn,一般可取V0=(1,1,.,1)T (2)計(jì)算Vk=AVk-1 (3)當(dāng)k足夠大時(shí),即可得到：,若按上述計(jì)算過程，有一嚴(yán)重缺點(diǎn)，當(dāng)|1|1 （或|

3、 1 |1時(shí)）Vk中不為零的分量將隨K的增大而無限增大，計(jì)算機(jī)就可能出現(xiàn)上溢（或隨K的增大而很快出現(xiàn)下溢），因此，在實(shí)際計(jì)算時(shí)，須按規(guī)范法計(jì)算，每步先對(duì)向量Vk進(jìn)行“規(guī)范化”， 即取Vk中絕對(duì)值最大的一個(gè)分量記作 mk =max(Vk )，用mk遍除的所有向量Vk ，得到規(guī)范化向量。,為說明上述算法的正確性，我們?cè)囎C明下述定理 定理二：在定理一的條件下,規(guī)范化向量序列uk收斂于矩陣A按模最大的特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量,而向量序列Vk的絕對(duì)值最大的分量mk收斂于1,即,證:,用冪法求矩陣,按模最大特征值1和對(duì)應(yīng)的特征向量x1,解:取初始向量V0= u0=(1,1,1)T ，計(jì)算出Vk,uk和mk,

4、迭代7次的結(jié)果列于下表,由上可見經(jīng)過7次迭代, m7的值已穩(wěn)定到小數(shù)后5位，故所求的按模最大特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量可取作：,（2）反冪法： 基本思路：設(shè)A沒有零特征值，則A非奇異，即A的逆陣存在，設(shè)的特征值為 其對(duì)應(yīng)的特征向量為 因?yàn)?A xk = k xk 所以 A-1 xk = k-1 xk 故k-1就是矩陣A-1的特征值，它們滿足,對(duì)應(yīng)的特征向量仍為xk 。因此，求矩陣的按模最小特征值，就相當(dāng)于求其逆陣A-1的按模最大特征值n-1 ，這只需應(yīng)用冪法即可求得。,注意點(diǎn)： 由于求逆非常費(fèi)時(shí)。故在用迭代向量 由uk-1求Vk時(shí)，可采用解方程組 的辦法。由于每次解方程組的系數(shù)矩陣都相同，故計(jì)算并不復(fù)雜。如果預(yù)先將作三角分解，這樣使每次迭代僅僅求解兩個(gè)三角方程組就更省時(shí)了。特別當(dāng)n較大時(shí)，將大大地節(jié)省計(jì)算量。 3冪法小結(jié)： 冪法適用范圍為求矩陣的按模最大特征值及相應(yīng)的特征向量，其優(yōu)點(diǎn)是算法簡(jiǎn)單，容易編