社會統(tǒng)計學(盧淑華)-第十三章

1、第十三講 方差分析（定類定距） （ x、 y屬丌同變量層次）,定類定距是常見的現(xiàn)象：,性別考試成績 地區(qū)平均收入 民族離婚率 方差分析：分析或檢驗總體間均值是否有所不同，而 不是方差是否不同。檢驗所用的手段則是通過方差 來進行的。 種類：一元方差分析（一個定類變量）,二元方差分析 三元方差分析,不只一個,第一節(jié) 一元方差分析, ,一、方差分析的假定 1、與回歸的比較（定距定距） 自變量控制后，因變量是一連串的值 （ yi 為隨機變量） 回歸：可以找出自變量與因變量之間的 變化方向。 方差：自變量取不同類別時，因變量 yi 的均值是否有所不同,例：回歸不方差分析比較,職業(yè)聲望,受教育程,度,80

2、,18,70 60 50 40,15 12 10 8,職業(yè),子女數(shù),工人（4人） 2；1；3；2；,干部（3人） 農(nóng)民（3人）,1；2；1； 2；3；4；, 21 m , ,2、方差分析的假定： （對因變量分布的必要限制，只有總體分 布滿足這些限制的條件下，方差分析的討 論才是有意義的） 1）等方差性 總體中，自變量 xi 的每一個數(shù)值 A1 , A2 , Am 對應的因變量 yi 的分布都具有相同的方差 2 2 2,注意：,1、總體方差相等，樣本方差不一定相等。 2、來自等總體的樣本方差不會相差太遠，最 大與最小相差不超過2-3倍。 3、總體方差可通過樣本方差進行點估計。 公式：樣本容量的加

3、權：,n1 1S12 n2 1S22 n1 1 n2 1 ,S 2 , ,2）yi 的分布為正態(tài)形 要求每一個 Ai 所對應的 yi 分布都呈正態(tài) 性（與回歸一致） 總結：,yi 應滿足正態(tài)分布,N ui , 2 ,二、方差 分析的檢驗：,設：總體自變量A共分為m類，A1 , A2 , Am,從A1 中抽取 n1 A2 n2 Am nm 則有統(tǒng)計表：,A1,A2,Am,21 22,m1 m 2,y1n1,y2n2,y,nm,m,y11 y12 ,y y ,y y ,y1,y,2,y,m,原假設 H 0 ： u1 u2 um 備擇假設 H 1 ：有一個以上類別，其均值不等 統(tǒng)計量：,BSS RS

4、S,F ,m 1 n m,F m 1, n m,當 F F 時，拒絕原假設 當 F F 時，接受原假設,總平方和：TSS ( yij y ),組間平方和： BSS (yi y ) n i ( yi y ),m n i m,統(tǒng)計量的推導不計算,2,2,2,TSS BSS RSS,i 1 j1 i 1,2 i 1 j1,m n i i 1 j1, y, yij n n i yi,ij,1,1 n,1 n i,n i j1,總平均值：y ,第i類樣本的組平均值： yi ,統(tǒng)計量的計算還需： 觀測總數(shù)：n n i,例：下列資料，迚行方差檢驗。,教師（n=5) 讀書數(shù) （本/年） 8 10 12 20

5、5,學生（n=5）讀書數(shù) （本/年） 10 3 6 12 5,yij y ,E1 TSS ,2, ij ,y y,RSS。,2,E RSS ,i, ,當方差分析檢驗呈顯著性后，討論兩變量 之間的相關程度，用減少誤差比例PRE的 方法： E1 ：不知因變量y與自變量取值A1 , A2 , Am 有關時，預測y所犯的錯誤，其值為TSS。 m n i 1 j 1 E 2 ：知道因變量y 與自變量取值 A1 , A2 , Am 有關后，預測y時所犯的錯誤，其值等于 m n 2 i 1 j 1,2,三、相關比率 eta,E1 E2 TSS RSS BSS BSS為已經(jīng)被自變量解釋掉的誤差，解釋掉的 誤差

6、越大，變量之間的關系越密切，因此：,TSS,eta2 BSS,例：,已知：BSS=3.5 RSS=95 求eta2,練習：以下資料求eta2,甲地（家庭人口 數(shù)） 6 7 7 3 5,乙地（家庭人口 數(shù)） 4 4 5 3 5,丙地（家庭人口 數(shù)） 3 3 2 4 2,第三節(jié) 二元方差分析 （自變量增加到兩個 ),一、二元方差分析的數(shù)學模型,（一）兩種模型 1、自變量A、B獨立的對因變量發(fā)生影響： 獨立模型（或線性可加性模型） 每一觀測值 yi 均為三種以上因素作用的結 果：yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij 2、同時考慮A、B兩變量的交互影響： 交互 模型： yij y Ai 的效

7、果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij,（二）兩種模型對觀測值數(shù)目的要求 1、對獨立模型： A共有a 種取值，B共有b種取值，對于可 能取值 a b 種搭配，每種情況只要隨機 抽取一次，組成 a b 個觀測值即可。 2、對具有交互作用的模型： 如果a b 種搭配只進行一次觀測，則無 法區(qū)別數(shù)據(jù)的變化是由于自變量的交互 作用，還是外界未知因素干擾的結果。 因此，對于a b 種搭配，每種情況至少 要觀測2次，則總觀測數(shù)為a b r r 2, ,A與B兩個變量獨立，圖形是平行線,（三）、忽略外界干擾因素后的兩種模 型的圖形： 0 1、理想的獨立模型 yij y Ai 的效果 B j 的效果 例

8、：教員不同教學方法(A)和不同性格(B) 對教學效果的影響。,A1 注入式教學法 A2 啟發(fā)式教學法,B1 性格內向 B1 性格外向, ,2、理想的交互模型： yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 線段失去平衡是變量間存在交互作用的 標志。,使每種搭配 至少測量二次以上 。 2rBA, ,（四）實際的模型 在存在干擾情況下 ij ，上述線段不再是平行 線，有三種情況： 1、本身為獨立模型，其圖形為非平行性是由 外界隨機因素干擾而成的： yij y Ai 的效果 B j 的效果 ij 2、非平行性是由交互作用引起的。 yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交

9、互作用 3）非平行性由交互因素和隨機因素引起的。 yij y Ai 的效果 B j 的效果 ABij 交互作用 ij 由于交互影響（長駐）與隨機干擾（隨機）性 質不同，因此，為使交互作用表現(xiàn)出來，必須 i j,二、無重復情況下二元方差分析, ,（一）無重復情況下二元方差分析的假 定和假設。 原假設 H 0 為：1、ai 0i 1a 2、 i 0 j 1b 備擇假設 H 1 為：參數(shù)不全為0, ,（二）、方差分析的 檢驗 統(tǒng)計量的推導（平方和的分析法） 1、樣本觀測值,T*1 T*2,T*j,B1 B2, B j, Bb,A1 y11 y12,A2 Ai y21 yi 1 y22 yi 2,Aa

10、 ya1 ya 2, y1 j, y,2 j, y,ij, yaj, y1b T1*, y2 b T2*, yib Ti*, yab,i 1 yij a T * j,j 1 yij b T i*,yi , yij a i 1 yi b j 1 y j, ,2、行平均值 y j,1 a 1 a,y j ,y ,1 a 1 b,1 ab, 5、總離差平方和TSS 2 A B,y j 是A的平均值，因此，A的影響已被抵消，只 反映變量B對A的影響。 3、列平均值 yi ：按列將觀測值加總求平均 1 a 1 b 4、總平均值, T i* T *,1,BssA b i1,：變量B的離差平方和（已被變量B

11、,：剩余平方和,未被A、B解釋掉的誤差,7、BssB,8、 Rss,6、BssA ：變量A的離差平方和（已被變量A 解釋掉的錯誤） 2 a 2 ab,解釋掉的錯誤） 2 b 2,Rss ,9、變量A的平均離差平方和, ,10、變量B的平均離差平方和, , ,BssA a 1,BssA ,a 1 為自由度,BssB b 1,BssB ,b 1 為自由度,11、平均剩余誤差平方和 Rss a 1b 1 a 1b 1 為自由度,Fb 1a 1b 1,F B ,統(tǒng)計量：, ,Rss Rss,A,F A ,Fa 1a 1b 1,F,RssB Rss 根據(jù)顯著性水平 ，查附表得 A B 若： A A 顯著

12、即拒絕域，原假設不成立 F A A 相反，接受域，原假設成立； F B B 顯著即拒絕域，原假設不成立 F B B 相反，接受域，原假設成立, ijk 相互獨立，且有,0, ,三、重復情況下的二元方差分析,i,備擇假設 H 1 ：參數(shù)不全為0,(一）、假設與假定 除考慮自變量A和B的獨立作用外，還要A和B的 交互作用，其數(shù)學模型為： yijk u ai j a ij ijk k 1,2r (r為 A B j 每種搭配重復數(shù)） 2 原假設 H 0 ：ai 0 j 0, 0, a ij,T *, yijk abr,y ,y j ,（二）、重復情況下二元方差分析的檢驗, ,對每一種搭配各進行r次重復

13、的獨立觀測， 得到a、b、r個樣本觀測值。 1、總平均值： 1 abr 2、行平均值： T * j* ar 3、列平均值：yi T i* br,Tss , Bss A BssB ,T T *,4、格平均值：,T r,ij,yij, Rss,AB, 5、總離差平方和TSS： 2 yijk y,6、Bss A ：列間平方和變量A解釋掉的誤差。,2 i* br abr,Bss A ,BssB ,T T,T T,Rss yijk yij , ,2 2 ij* * r abr,Bss ,7、行間平方和： 2 2 * j* * ar abr 8、交互作用： AB AB Bss BssA BssB,9、剩余誤差RSS： 2 Rss Tss BssA BssB AB, ,檢驗的統(tǒng)計量為： H 0 ： a ij 0 H 1 ：不全為0 統(tǒng)計量：,abr 1 a 1b 1,F A B, AB Rss, AB Rss