自動控制原理第三章一控制系統(tǒng)的時域分析

1、第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法,第三章 控制系統(tǒng)的時域分析法,第一節(jié) 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 第二節(jié) 增加零極點對二階系統(tǒng)響應(yīng)的影響 第三節(jié) 反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 第四節(jié) 勞斯-霍爾維茨穩(wěn)定性判據(jù),第一節(jié) 二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)及性能指標(biāo) 瞬態(tài)響應(yīng)，是指系統(tǒng)的輸出從輸入信號r(t)作用時刻起，到穩(wěn)定狀態(tài)為止，隨時間變化的過程。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，可以考查系統(tǒng)的穩(wěn)定性和過渡過程的性能。分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，有以下方法： 1. 直接求解法 2. 間接評價法 3. 計算機仿真法 本小節(jié)首先討論典型輸入信號、性能指標(biāo)等內(nèi)容，然后討論一階、二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，最后討論如何處理高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)問題。,一

2、、典型輸入信號 （一）階躍信號 階躍信號的表達式為： (3.1) 當(dāng)A=1時，則稱為單位階躍信號，常用1(t)表示，如圖3-1所示。 圖3-1 階躍信號 圖3-2 斜坡信號 ,（二）斜坡信號 斜坡信號在t =0時為零，并隨時間線性增加，所以也叫等 速度信號。它等于階躍信號對時間的積分，而它對時間的導(dǎo)數(shù)就是階躍信號。斜坡信號的表達式為： (3.2),（三）拋物線信號 拋物線信號也叫等加速度信號，它可以通過對斜坡信號的積分而得。拋物線信號的表達式為： （3.3） 當(dāng)A =1時，則稱為單位拋物線信號，如圖3-3所示,（四）脈沖信號 單位脈沖信號的表達式為： (3.4) 其圖形如圖3-4所示。是一寬度

3、為e ，高度為1e 的矩形 脈沖，當(dāng)e 趨于零時就得理想的單位脈沖信號(亦稱d(t) 函數(shù))。 (3.5),（五）正弦信號 正弦信號的表達式為 : （3.6） 其中A為幅值，w =2p/T為角頻率。 圖3-5 正弦信號,二、系統(tǒng)的性能指標(biāo) 系統(tǒng)的瞬態(tài)性能通常以系統(tǒng)在初始條件為零的情況下， 對單位階躍輸入信號的響應(yīng)特性來衡量，如圖3-6所示。 這時瞬態(tài)響應(yīng)的性能指標(biāo)有： 1。最大超調(diào)量sp響應(yīng)曲線偏離穩(wěn)態(tài)值的最大值， 常以百分比表示，即 最大百分比超調(diào)量sp 最大超調(diào)量說明系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。 2。延滯時間td響應(yīng)曲線到達穩(wěn)態(tài)值50%所需的時間， 稱為延滯時間。 圖3-6,3. 上升時間tr它有幾

4、種定義： (1) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%到90%所需時間； (2) 響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的5%到95%所需時間； (3) 響應(yīng)曲線從零開始至第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。 一般對有振蕩的系統(tǒng)常用“(3)”，對無振蕩的系統(tǒng)常用“(1)”。 4. 峰值時間tp響應(yīng)曲線到達第一個峰值所需的時間，定義為峰值時間。 5. 調(diào)整時間ts響應(yīng)曲線從零開始到進入穩(wěn)態(tài)值的95%105%（或98%102%）誤差帶時所需要的時間，定義為調(diào)整時間。,圖3-6 單位階躍響應(yīng),返回, 對于恒值控制系統(tǒng)，它的主要任務(wù)是維持恒值輸出，擾動輸入為主要輸入，所以常以系統(tǒng)對單位擾動輸入信號時的響應(yīng)特性來衡量瞬態(tài)性能。這時參考輸入不變、

5、輸出的希望值不變，響應(yīng)曲線圍繞原來工作狀態(tài)上下波動，如圖3-7所示。,可用一階微分方程描述其動態(tài)過程的系統(tǒng)，稱為一階系統(tǒng)?？紤]如圖3-8所示的一階系統(tǒng)，它代表一個電機的速度控制系統(tǒng)，其中t 是電機的時間常數(shù)。,該一階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 (3.7),三、瞬態(tài)響應(yīng)分析 （一）一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng),圖3-8 一階控制系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，輸出響應(yīng)的拉氏變換為 (3.8) 取C(s)的拉氏反變換，可得一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 (3.9) 系統(tǒng)響應(yīng)如圖3-9所示。 從圖中看出，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為 (3.10),圖3-9 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),若增加放大器

6、增益K，可使穩(wěn)態(tài)值近似為1。實際上，由于放大器的內(nèi)部噪聲隨增益的增加而增大，K不可能為無窮大。而且，線性模型也僅在工作點附近的一定范圍內(nèi)成立。所以，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差 (3.11) 不可能為零。 系統(tǒng)的時間常數(shù)為 (3.12) 它可定義為系統(tǒng)響應(yīng)達到穩(wěn)態(tài)值的63.2%所需要的時間。,由式(3.9)，很容易找到系統(tǒng)輸出值與時間常數(shù)T的對應(yīng)關(guān)系： 從中可以看出，響應(yīng)曲線在經(jīng)過3T（5%誤差）或4T（2%誤差）的時間后進入穩(wěn)態(tài)。,t = T， c(1T) = 0.632 c() t = 2T， c(2T) = 0.865c() t = 3T， c(3T) = 0.950c() t = 4T， c(4T)

7、 = 0.982c(),如果系統(tǒng)響應(yīng)曲線以初始速率繼續(xù)增加，如圖3-9中 的c1(t)所示，T還可定義為c1(t)曲線達到穩(wěn)態(tài)值所需要 的時間。,(3.13),因此,當(dāng)t= T時，c1(t)曲線到達穩(wěn)態(tài)值，即,，,所以,（二）二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 在工程實際中，三階或三階以以上的系統(tǒng)，?？梢越苹蚪惦A為二階系統(tǒng)處理。,圖3-10是典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，它的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,由上式可看出，z 和wn是決定 二階系統(tǒng)動態(tài)特性的兩個非常重 要參數(shù)，其中z 稱為阻尼比，wn 稱為無阻尼自然振蕩頻率.,圖3-10 二階系統(tǒng),例如圖2-2中R-電路，其傳遞函數(shù)為 式中，無阻尼自然振蕩頻率 就是電路當(dāng)R=0時的

8、諧振頻率；阻尼比,又如圖2-3中電樞控制的直流電動機，輸出w 與電樞電壓ua之間傳遞函數(shù)為 或 式中,由式(3.14)描述的系統(tǒng)特征方程為 (3.15) 這是一個二階的代數(shù)方程，故有兩個特征方程根，分別為 (3.16) 顯然，阻尼比不同，特征根的性質(zhì)就不同，系統(tǒng)的響應(yīng)特性也就不同。,下面分別對二階系統(tǒng)在01三種情況下的階躍響應(yīng)進行討論。 1. 0z 1，稱為欠阻尼情況 按式(3.14)，系統(tǒng)傳遞函數(shù)可寫為 GB(s)= (3.17) 它有一對共軛復(fù)數(shù)根 (3.18) 式中 稱為有阻尼振蕩頻率。,在初始條件為零，輸入信號為單位階躍信號r(t)=1(t)時， 系統(tǒng)輸出的拉氏變換為 (3.19) 對

9、式(3.19)求拉氏反變換，則得系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)： (3.20),它是一衰減的振蕩過程，如圖3-11所示，其振蕩頻率就是有阻尼振蕩頻率wd，而其幅值則按指數(shù)曲線（響應(yīng)曲線的包絡(luò)線）衰減，兩者均由參數(shù)z和wn決定。 (a)根分布 (b)單位階躍響應(yīng) 圖3-11 欠阻尼情況(0z 1),系統(tǒng)的誤差則為 (3.21) 當(dāng)t時，穩(wěn)態(tài)誤差e ()。 若z =(wd=wn)，稱為無阻尼情況，系統(tǒng)的特征根為一對共軛虛根，即 (3.22) 此時單位階躍響應(yīng)為 (3.23) 它是一等幅振蕩過程，其振蕩頻率就是無阻尼自然振蕩頻率wn 。當(dāng)系統(tǒng)有一定阻尼時，wd總是小于wn 。,s1,2= jwn,2.

10、z =，稱為臨界阻尼情況 此時系統(tǒng)有兩個相等的實數(shù)特征根： s1= s 2= -wn (3.24) 系統(tǒng)輸出的拉氏變換為 (3.25) 取C(s)的拉氏反變換，求得臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 (3.26),(a)根分布 (b)單位階躍響應(yīng) 圖3-12 臨界阻尼情況(z 1),響應(yīng)曲線如圖3-12所示，它既無超調(diào)，也無振蕩，是一個單 調(diào)的響應(yīng)過程。,3. z ，稱為過阻尼情況 當(dāng)阻尼比z 時，系統(tǒng)有兩個不相等的實數(shù)根： (3.27) 對于單位階躍輸入，C(s)為 (3.28) 將此式進行拉氏反變換，從而求得過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 (3.29),圖3-13表示過阻尼二階系統(tǒng)的根的分布

11、和響應(yīng)曲線。顯然響應(yīng)曲線無超調(diào)，而且過程拖得比z =時來得長。,(a)根分布 (b)單位階躍響應(yīng) 圖3-13 過阻尼情況(z 1),根據(jù)以上分析，可得不同z值下的二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 曲線族,如圖3-14所示。由圖可見，在一定z值下,欠阻尼系統(tǒng) 比臨界阻尼系統(tǒng)更快地達到穩(wěn)態(tài)值，所以一般系統(tǒng)大多設(shè)計 成欠阻尼系統(tǒng)。,01，稱為過阻尼情況 z 1，稱為臨界阻尼情況 z 0，稱為無阻尼,圖3-14 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng),（三）二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng) 當(dāng)輸入信號為單位脈沖信號d (t)，即R(s)=時，二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換為 (3.30) 對式(3.30)求拉氏反變換，得 (3.31) 可見，系

12、統(tǒng)傳遞函數(shù)的拉氏反變換就是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，所以脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)一樣，都可以用來描述系統(tǒng)的特征。,由式(3.31)，對于欠阻尼情況(01)，有 (3.34) 圖3-15表示不同z值時的單位脈沖響應(yīng)曲線。,圖3-15 二階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng),（四）二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo) 通常，工程實際中往往習(xí)慣把二階系統(tǒng)調(diào)整為欠阻尼過程，因為此時系統(tǒng)的響應(yīng)較快，且平穩(wěn)性也較好。 對于單位階躍輸入作用下的欠阻尼系統(tǒng)，有： 1. 上升時間tr 按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得,因此 (3.35) 式中 (3.36) 由式(3.35)可見，要使系統(tǒng)反應(yīng)快，必須減小tr。因此當(dāng)z一定，wn必須加大；若

13、wn為固定值，則z越小，tr也越小。 2. 峰值時間tp 按式(3.20)，對c(t)求一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可得到,到達第一個峰值時 wd tp = p 所以 (3.37) 上式表明，峰值時間tp與有阻尼振蕩頻率wd成反比。當(dāng)wn一定, z越小，tp也越小。,3. 最大超調(diào)量sp 以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超調(diào)量 (3.38) 由上式可見，最大百分比超調(diào)量完全由z決定，z越小，超調(diào)量越大。當(dāng)z =時，sp %= 100%，當(dāng)z =時，sp % =。sp與z的關(guān)系曲線見圖3-16。,圖3-16 sp與z的關(guān)系,4. 調(diào)節(jié)時間ts 根據(jù)定義可以求出調(diào)節(jié)時間ts，如圖3-17

14、所示。圖中T=1/zwn ，為c(t)包絡(luò)曲線的時間常數(shù)，在z =0.69(或0.77)，ts有最小值，以后ts隨z的增大而近乎線性地上升。圖3-17中曲線的不連續(xù)性是由于在z虛線附近稍微變化會引起ts突變造成的，如圖3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包絡(luò)線近似求得，即令e(t)的幅值,由此可求得 若取 ，則得 若取 ，則得,圖3-17 ts與z 的關(guān)系 圖3-18 z稍微突變引起的ts突變,當(dāng)z 0.9時，則 (按到達穩(wěn)態(tài)值的95%105%計) (3.40) 或 (按到達穩(wěn)態(tài)值的98%102%計) 由此可見, zwn大，ts就小，當(dāng)wn一定，則ts與z成反比，這與tp，tr與z的關(guān)系

15、正好相反。 根據(jù)以上分析，如何選取z和wn來滿足系統(tǒng)設(shè)計要求，總結(jié)幾點如下： (1) 當(dāng)wn一定，要減小tr和tp，必須減少z值，要減少ts則應(yīng)增大zwn值，而且z值有一定范圍，不能過大。 (2) 增大wn ，能使tr，tp和ts都減少。 (3) 最大超調(diào)量sp只由z決定, z越小，sp越大。所以，一般根據(jù)sp 的要求選擇z值，在實際系統(tǒng)中，z值一般在0.50.8之間.,例3-1 設(shè)控制系統(tǒng) 如圖3-16所示。其中（a）為無速度反饋系統(tǒng)，（b）為帶速度反饋系統(tǒng)，試確定是系統(tǒng)阻尼比為0.5時 的值，并比較系統(tǒng)（a）和(b)階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。,將上式與式標(biāo)準(zhǔn)式相比較得 解得,（秒）,解 系統(tǒng)

16、（a）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,計算上升時間,峰值時間 超調(diào)量 調(diào)節(jié)時間 系統(tǒng)（b）的閉環(huán)傳遞函數(shù)為,（秒）,（秒）,將上式與式（3-6）相比較得 將 代入，解得 由 和 可求得 通過上述計算可知，采用速度反饋后，可以明顯地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。,（秒）,（秒）,（秒）,例32 設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 若要求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)為 試確定參數(shù)K和a的值。 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 由此得,由題意 即 解得 而 即 解得 a=3 所以,（秒）,四、線性定常系統(tǒng)的重要特性 對于初始條件為零的線性定常系統(tǒng)，在輸入信號r(t)的作用下，其輸出c(t)的拉氏變換為 C(s)=GB (s)R(s)。 若系統(tǒng)的輸入為 其拉氏變換為 這時系統(tǒng)的輸出為 當(dāng)系統(tǒng)輸入信號為原來輸入信號的導(dǎo)數(shù)時，系統(tǒng)的輸出為原來輸出的