高三數(shù)學(xué)上冊 15.1《多面體的概念》學(xué)案 滬教版

1、多面體概念、性質(zhì)及其應(yīng)用復(fù)習(xí)重點：系統(tǒng)梳理落實多面體的有關(guān)概念、性質(zhì)以及運用概念性質(zhì)分析處理以多面體為依托的立體幾何基本問題的基本方法。 復(fù)習(xí)難點：面積、體積計算中角度、方位的轉(zhuǎn)換；“等體積法”、“割補法”的靈活運用；錐、臺關(guān)系及截面問題的分析處理。 范例分析： 例1過正方體的每三個頂點都可以確定一個平面，其中能與這個正方體的12條棱所成角都相等的不同平面有幾個？ 分析：由正方體的概性，12條棱中可分為3組，每組的四條棱互相平行，要找出與12條棱成角都相等的平面，只需找出與共點的三條棱成角的平面即可。 解：（法一）正方體的每個頂點和所在面的面對角線對應(yīng)一個正三棱錐，如A點對應(yīng)正三棱錐A-A1B

2、D。這個正三棱錐的底面A1BD是合條件平面，8個頂點對應(yīng)8個平面，即滿足題設(shè)要求的平面有8個。 （法二）正方體8個頂點，每三點可以確定一個平面，共 =56個，其中6個對角面中每三點所確定的平面與每個表面中每三個點所確定的平面均不符合條件，因此合條件的平面的個數(shù)是： -6 =8（個） 評注：理解多面體的概念，是指不僅要知道這些概念，還應(yīng)能靈活地運用這些概念所蘊含的性質(zhì)正確推理，尤其是正方體，三棱錐的有關(guān)概性應(yīng)更為關(guān)注。如本題關(guān)鍵的展開就在于運用正方體的性質(zhì)把研究與12條棱或等角的問題簡化為只研究與共點的三條棱成等角的問題。 例2如圖，三棱錐P-ABC中，PA=a, AB=AC=2a, PAB=P

3、AC=BAC=60, 求這個三棱錐的體積。 分析：由AB=AC，BAC=60ABC為正三角形，由PAB=PBC，點P在面ABC上的射影必在BAC的角平分線上。 解（法一）（直接用公式）： 作BC中點D，連結(jié)AD，PD；過P作PO平面ABC于O， PAB=PAC，AB=AC，PABPAC，ADBC， PB=PC， PDBC， BC平面PAD， 平面ABC平面PAD， O點必在AD上，過O作OEAB于E，連結(jié)PE，則PEAB， 在RtPAE中，PAE=60，PA=a， PE= a, AE= , OE=AEtan30, 在RtPOE中，PO= = a, 又易知SABC= a2, VP-ABC= SA

4、BCPO= a3。解（法二）（利用等積轉(zhuǎn)換法）： 在PAB中，PA=a, AB=2a, PAB=60, PB2=a2+(2a)2-2a(2a)cos60=3a2, PAB是直角三角形，PAPB，同理可證PAPC，又PBPC=P， PA平面PBC， 在PBC中，PB=PC= a, BC=2a, SPBC= a2, VP-ABC=VA-PBC= SPBCPA= a3。解 （法三）（用分割求積法解）： 由法一，BC平面PAD， VP-ABC=VB-PAD+VC-PAD=2VB-PAD= SPADBD= a3。解（法四）（用補形法求解）： 延長AP到Q，使PQ=a, 連結(jié)QB，QC，可得到一個棱長為2

5、a的正四面體， VP-ABC= VQ-ABC= (2a)3= a3。評注：10形如這樣 的圖形，（三線共點兩兩成等角），其分析處理應(yīng)熟練，因正棱錐，正棱臺的局部就是這樣的圖形，此題法1中還可如右圖示處理，證明AO平分BAC，它正是正棱錐性質(zhì)中所說的四個Rt。 20割補法、與三棱錐視角的轉(zhuǎn)換是體積計算中的基本方法，要注意掌握運用。 例3已知正三棱臺上、下底面面積分別為S1和S(S1AB2且AB3AB2, 而AB1與AB3則大小關(guān)系不定， 可知a,b,c的關(guān)系為：2ac2bc且2ab2bc，2bc與2ab不定。 即ab且ac，b,c關(guān)系不定。 評注：多面體的側(cè)面展開圖是研究多面體表面積的基礎(chǔ)，也是

6、化空間問題為平面問題的基本方法，是研究多面體有關(guān)問題必備的一種思路。其關(guān)鍵是掌握好空間圖形的各元素在展開前與展開后各自相應(yīng)的關(guān)系（包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系）。測試選擇題1如圖，在四面體P-ABC中，PCAB，PC=AB=2，E、F分別為PA和BC的中點，則EF等于（） A、1B、C、 D、 2已知三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P是側(cè)棱B1B上一點，則四棱錐P-ACC1A1的體積為（） A、 B、C、 D、 3三棱錐的側(cè)面兩兩互相垂直，且所有棱長之和為3+ ，則三棱錐的體積的最大值為（） A、 B、 C、 D、 4正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，過底邊AB垂直于側(cè)棱PC的截面交PC于D，

7、截面DAB與底面所成角為，則截面以下部分的體積是（） A、 B、 C、 D、 5如 圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別為AA1、CC1上的點，而且滿足AP=C1Q，則四棱錐B-APQC的體積是（） A、 VB、 VC、 VD、 V 6已知正四棱臺的上、下底面面積分別是S、Q，則它們的中截面把棱臺的側(cè)面分成兩部分的側(cè)面面積之比為（）。 A、 B、 C、 D、 7已知圓錐的母線長為l，底面半徑為R，如果過圓錐頂點的截面面積的最大值是 l2，則（） A、 B、C、 D、 8若一球外切圓錐的高是這個球直徑的2倍，則圓錐的全面積和球表面積之比是（） A、21B、31C、32D、94

8、9球與圓臺的上、下底面及母線都相切，且球面面積與圓臺側(cè)面面積之比為34，則球的體積與圓臺體積之比是（） A、34B、79C、514D、613 10半徑為1的球面上有A、B、C三點，已知A和B，A和C之間的球面距離均是 ，B和C之間的球面距離是 ，則過A、B、C三點的截面到球心的距離是（） A、 B、 C、 D、 答案與解析答案：1、B 2、C 3、D 4、C 5、B 6、B 7、C 8、A 9、D 10、C 解析：1取PB中點M，連結(jié)EM，MF，則ME=MF=1，且MEMF。 2把2個完全相同的三棱柱放在一起，構(gòu)成一個四棱柱ABDC-A1B1D1C1， 則 。 3設(shè)三條側(cè)棱長x,y, z，則

9、3=x+y+z+ 3 3 =3 ， 而體積V= xyz的最大值易求。 4取AB中點M，連結(jié)DM，CM，則DMC=，并且MCD為Rt，V= SABDCD，易求。 5取特殊點，P，Q為所在棱中點，結(jié)合上面第2題求解即可。 6取特殊值，如果S=Q，則應(yīng)為11，舍去D。如果S=0(變成棱錐)，比為13，代入驗證， 答案為B，注意：千萬不要去計算，做選擇題之大忌。 7因為 l2= l2sin90，所以圓錐軸截面頂角大于等于90，據(jù)此求解即可。8畫出軸截面圖。設(shè)球半徑R，則SO1=3R，并且OB=BM，設(shè)OB=r，在RTSO1M和RTSOB中列方程可解出。 9畫出軸截面，設(shè)圓臺以上，下底半徑r,R，則母線

10、長為r+R，用r,R表示出球的半徑，再表示出表面積和體積即可。 注意8，9這種組合體問題都要畫出軸截面圖。 10把OABC拿出來，則OA面BOC，BOC= ，要求的即O到面ABC的距離，根據(jù)體積相等求距離即可。 空間圖形的分解與組合空間想象力是高考要求的能力之一，它也是對空間圖形進行處理所必備的能力。其中一種表現(xiàn)方式就是在頭腦中能對空間圖形進行分解與組合。即把復(fù)雜圖形分解為簡單圖形；把簡單圖形合成復(fù)雜圖形；把空間圖形拆成平面圖形，把平面圖形合成空間圖形。在解決一些較復(fù)雜的立體幾何問題時，就比較突出的表現(xiàn)出這種處理圖形的能力。下面通過兩個例題進行說明。 例1已知三棱錐S-ABC，ABC=90，A

11、B=BC，且SA=SB=SC=m,問二面角A-SB-C多大時，其體積最大。 解： SA=SB=SC， 頂點S在底面的射影O是ABC的外心， 又ABC是等腰直角三角形，O是AC中點，作AHSB，H是垂足，連CH， SABSBC， CHSB，SB平面AHC， AHC是二面角A-SB-C的平面角，設(shè)AHC=， 設(shè)AB=BC=2a, 則AC=2 a, 在RtAHO中，AH= ，OH= acot2，在SAB中，SD= ，又AHSB=ABSD， m=2a ，得2a2=(2-csc2 )m2=(1-cot2 )m2 又VS-ABC=VS-AHC+VB-AHC= SAHCSH+ SAHCBH= SAHCSB，

12、 其中SAHC= ACOH=2a2cot =m2(1-cot2 )cot V= m3(1-cot2 )cot V2= m6(1-cot2 )2cot2 = m6(1-cot2 )(1-cot2 )2cot2 m6 3= m6, 當(dāng)且僅當(dāng)1-cot2 =2cot2 ，即cot = , =120時，等號成立。 故當(dāng)二面角A-SB-C為120時，三棱錐的體積最大。 評述：考慮到要建立V與的函數(shù)關(guān)系式，更容易的表達出V和找出,本題是把三棱錐分割成兩個小三棱錐，利用“兩個小三棱錐體積之和等于原三棱錐的體積”。實際上是把待處理問題的關(guān)鍵結(jié)構(gòu)重新搭配，在新的關(guān)系結(jié)構(gòu)中，尋求解決問題的途徑。增加了AHC面積這

13、樣一個內(nèi)容，出現(xiàn)了二面角的平面角面積SAHC體積V的新關(guān)系，建立了V與的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)我們認為所給問題的關(guān)系結(jié)構(gòu)不適合解決問題時，那就予以分解，重新組合，使之化為我們能解決的問題。這也是一種化歸的思想方法。 例2正三棱柱ABC-A1B1C1，E是BB1的中點。 （1）求證：平面A1EC平面AC1； （2）若AA1=AB=a，求CE與AC1面所成的角； （3）在（2）的條件下，求平面A1EC與平面A1B1C1所成的二面角及CE與平面A1B1C1所成的角。 解：（1）設(shè)D是AC中點，F(xiàn)是A1C中點，連結(jié)BD，EF和DF， DF DF BE, 四邊形DFEB是平行四邊形，EF BD， 三棱柱是正三棱

14、柱， BDAC，又平面ABC平面AC1， BD平面AC1， EF平面AC1， EF 平面A1EC， 平面A1EC平面AC1。 （2）由（1）知，EF平面AC1， AC1是CE在平面AC1的射影，ECA1是CE與平面AC1所成的角， 在RtEFC中，EF=BD= a，F(xiàn)C= A1C= a，tanECA1= , 即直線CE與平面AC1所成的角為arctan 。（3）延長CE和C1B1交于G，連結(jié)A1G，則A1G是平面A1EC與平面A1B1C1的交線， BB1/CC1， EB1= BB1= CC1， GB1=B1C1， 在A1GC1中，A1B1=B1C1=GB1， B1A1C1=60，GA1B1=3

15、0， GA1C1=90， CC1平面A1B1C1，A1C1是A1C在平面A1B1C1的射影，GC1是CE在平面A1B1C1的射影， 又A1C1A1G，由三垂線定理得A1CA1G， CA1C1是二面角C-A1G-C1的平面角，CGC1是CE與平面A1B1C1所成的角， 在RtA1C1C中，A1C1=CC1， CA1C1=45， 在RtGC1C中，CC1=a, GC1=2B1C1=2a, tanCGC1= . 即平面A1EC與平面A1B1C1所成的二面角是45；CE與平面A1B1C1所成的角為arctan 。 評述：本題在證明過程中要添加較多的輔助線，特別是截面與底面所成的二面角的棱未在圖中出現(xiàn)。

16、需要添加輔助線面找到兩個面的交線。當(dāng)用平面的性質(zhì)找到棱A1G時，可以發(fā)現(xiàn)，本題的綜合圖形中包含一個常見的各面都是直角三角形的四面體，可以稱為基本圖形(如圖所示）。由于此基本圖形可以涉及到立體幾何中許多重要的概念與定理，如異面直線和射影概念；三垂線定理；直線與平面，平面與平面的平行與垂直的概念和定理；各種角和距離的概念與計算等。因此如掌握這個基本圖形，對解題會有很大幫助?！熬C合圖形基本化”是解綜合題的一個策賂，在解題時分析、觀察，如果發(fā)現(xiàn)上述情況可以歸為基本圖形去解決。 高考中的立體幾何綜合題。主要考察的是空間想象能力。強調(diào)的是對圖形的認識、理解和應(yīng)用。要求即會用圖形表現(xiàn)空間形體，又會由圖形想象

17、出直觀的形象。既會觀察、分析各種幾何要素(點、線、面、體)的相互位置關(guān)系，又會對圖形進行變換和綜合，即對圖形進行分解分割，組合拼補，變形轉(zhuǎn)換、位移或不同視角觀察圖形。 另外，高考試題中的圖形，所涉及的線面、面面位置關(guān)系大多不是習(xí)慣所見的標(biāo)準位置(如圖中只有少數(shù)面是水平放置)。因此正確認識非標(biāo)準位置的圖形，成為空間想象能力的一個組成部分，也是高考的重點之一。因而在觀察想象空間圖形時，要善于排除無關(guān)因素的干擾(如一些遮擋的線、面)，抓住主體，正確作出判斷。高考真題1設(shè)命題甲：“直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，平面ACB1與對角面BB1D1D1垂直”；命題乙：“直四棱柱ABCD-A1B1C1D

18、1是正方體”。那么，甲是乙的（ ）。 A、充分必要條件B、充分非必要條件 C、必要非充分條件D、既非充分又非必要條件 解： 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1 面ACB1面BB1D1D 而正方體ABCD-A1B1C1D1 面ACB1面BB1D1D， 甲是乙的必要非充分條件 應(yīng)選C。 2如圖，在 直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時，有A1CB1D1（注：填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）。 解：應(yīng)填“ACBD”或任何能推導(dǎo)出這個條件的其他條件，例如ABCD是正方形或菱形等。 A1A底面ABCD，AC是A1C在底面ABCD的射影，若ACBD，

19、則根據(jù)三垂線定理有A1CBD， 又B1D1/BD A1CB1D1。 應(yīng)該填“ACBD”。 3如圖1所示，在直角梯形ABCD中，D=BAD=90,AD=DC= AB=a，將ADC沿AC折起，使D到D。記面ACD為，面ABC為，面BCD為。 （1）若二面角-AC-為直二面角（如圖2），求二面角-BC-的大??； （2）若二面角-AC-為60, （如圖3），求三棱錐D-ABC的體積。 分析：本題主要考察直線、平面的位置關(guān)系、空間想像能力、邏輯推理能力和運算能力 解：（1）AC= a, BC= a, AB=2a, AB2=AC2+BC2, ACBC。又，BC b，=AC， BC， BCCD， 得ACD是

20、二面角-BC-的平面角。 ADC是等腰直角三角形， ACD=45， 二面角 -BC-的大小為45（如圖4） （2）設(shè)E是AC的中點，連DE， DA=DC， DEAC， 作DH，垂足為H，連EH，則EHAC， DEH是二面角-AC-的平面角，DEH=60， DH=DEsinDEH= a = a， SABC= ACBC= a a=a2, VD-ABC= SABCDH= a3。 4如 圖所示，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面A1ACC1與底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2 ，且AA1A1C，AA1=A1C。 （1）求側(cè)棱A1A與底面ABC所成角的大??； （2）求側(cè)面A1ABB1與

21、底面ABC所成二面角的大小； （3）求頂點C到側(cè)面A1ABB1的距離。分析：本題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，棱柱的性質(zhì)，空間的角和距離的概念，邏輯思維能 力，空間想象能力及運算能力。 解：（1）如圖，作A1DAC，垂足為D，由面A1ACC1面ABC，得A1D面ABC， A1AD為A1A與面ABC所成的角， AA1A1C，AA1=A1C， A1AD=45為所求。 （2）作DEAB，垂足為E，連A1E，則由A1D面ABC，得A1EAB， A1ED是面A1ABB1與面ABC所成二面角的平面角。 由已知，ABBC，得ED/BC，又D是AC的中點，BC=2，AC=2 ， DE=1，AD=A1D= ，tanA1ED= ，故A1ED=60為所求。 （3）由點C作平面A1ABB1的垂線，垂足為H，則CH的長是C到平面A1ABB1的距離， 連結(jié)HB，由于ABBC，得ABHB，又A1EAB，知HB/A1E，且BC/DE， HBC=A1ED=60， CH=BC