高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案 理 新人教A版_第1頁
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文檔簡介

1、2.6對數(shù)與對數(shù)函數(shù)2014高考會這樣考1.考查對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì);2.對數(shù)方程或不等式的求解;3.考查和對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)復(fù)習(xí)備考要這樣做1.注意函數(shù)定義域的限制以及底數(shù)和1的大小關(guān)系對函數(shù)性質(zhì)的影響;2.熟練掌握對數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì),搞清復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)以及和對數(shù)函數(shù)的關(guān)系1 對數(shù)的概念如果axN(a0且a1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作xlogaN,其中_a_叫做對數(shù)的底數(shù),_N_叫做真數(shù)2 對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的運算法則如果a0且a1,M0,N0,那么loga(MN)logaMlogaN;logalogaMlogaN;logaMnnlogaM (nR);logam

2、MnlogaM.(2)對數(shù)的性質(zhì)alogaN_N_;logaaN_N_(a0且a1)(3)對數(shù)的重要公式換底公式:logbN (a,b均大于零且不等于1);logab,推廣logablogbclogcdlogad.3 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1時,y0當(dāng)0x1時,y1時,y0當(dāng)0x0(6)在(0,)上是增函數(shù)(7)在(0,)上是減函數(shù)4. 反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線_yx_對稱難點正本疑點清源1 對數(shù)值取正、負值的規(guī)律當(dāng)a1且b1或0a且0b0;當(dāng)a1且0b1或0a1時,logab0對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和a的值有關(guān),因而,在研究對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,

3、要按0a1進行分類討論3 關(guān)于對數(shù)值的大小比較(1)化同底后利用函數(shù)的單調(diào)性;(2)作差或作商法;(3)利用中間量(0或1);(4)化同真數(shù)后利用圖象比較1 (2011江蘇)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間是_答案解析函數(shù)f(x)的定義域為,令t2x1 (t0)因為ylog5t在t(0,)上為增函數(shù),t2x1在上為增函數(shù),所以函數(shù)ylog5(2x1)的單調(diào)增區(qū)間為.2 函數(shù)yloga(x3)1 (a0且a1)的圖象恒過點A,若點A在直線mxny10上(其中mn0),則的最小值為_答案8解析yloga(x3)1 (a0且a1)的圖象恒過點A(2,1),A(2,1)在直線mxny10上,

4、即2mn1.(2mn)4428,當(dāng)且僅當(dāng)4m2n2時取等號3 (2012安徽)(log29)(log34)等于 ()A. B. C2 D4答案D解析方法一原式4.方法二原式2log23224.4 (2012重慶)已知alog23log2,blog29log2,clog32,則a,b,c的大小關(guān)系是 ()AabcCabbc答案B解析alog23log2log23,blog29log2log23,ab.又函數(shù)ylogax(a1)為增函數(shù),alog23log221,clog32c.5 (2011安徽)若點(a,b)在ylg x圖象上,a1,則下列點也在此圖象上的是 ()A. B(10a,1b)C.

5、D(a2,2b)答案D解析由點(a,b)在ylg x圖象上,知blg a.對于A,點,當(dāng)x時,ylg lg abb,不在圖象上對于B,點(10a,1b),當(dāng)x10a時,ylg(10a)lg 10lg a1b1b,不在圖象上對于C,點,當(dāng)x時,ylg 1lg a1bb1,不在圖象上對于D,點(a2,2b),當(dāng)xa2時,ylg a22lg a2b,該點在此圖象上.題型一對數(shù)式的運算例1計算下列各式:(1)lg 25lg 2lg 50(lg 2)2;(2);(3)(log32log92)(log43log83)思維啟迪:(1)lg 2lg 50沒有辦法直接化簡,可考慮提取公因數(shù)lg 2.(2)將根號

6、下配成完全平方的形式,開根號(3)利用換底公式,是本題的切入口解(1)原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.(2)原式.(3)原式.探究提高(1)在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù)進行變形,化成分數(shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并,在運算中要注意化同底或指數(shù)與對數(shù)互化(2)熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧 求值:(1);(2)(lg 5)2lg 50lg 2;(3)lg lglg.解(1)原式.(2)原式(l

7、g 5)2lg(105)lg (lg 5)2(1lg 5)(1lg 5)(lg 5)21(lg 5)21.(3)原式lg lg 4lg(7)lg lg.題型二對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)例2已知f(x)是定義在(,)上的偶函數(shù),且在(,0上是增函數(shù),設(shè)af(log47),bf(log3),cf(0.20.6),則a,b,c的大小關(guān)系是 ()Acab BcbaCbca Dabc思維啟迪:比較大小可充分利用函數(shù)的單調(diào)性或找中間值;利用函數(shù)圖象可以直觀地得到各自變量的大小關(guān)系答案B解析log3log23log49,bf(log3)f(log49)f(log49),log472log49,又f(x)是定義在(

8、,)上的偶函數(shù),且在(,0上是增函數(shù),故f(x)在0,)上是單調(diào)遞減的,f(0.20.6)f(log3)f(log47),即cba.探究提高(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)最重要的性質(zhì),可以用來比較函數(shù)值的大小,解不等式等;(2)函數(shù)圖象可以直觀表示函數(shù)的所有關(guān)系,充分利用函數(shù)圖象解題也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 (1)(2012天津)已知a21.2,b0.8,c2log52,則a,b,c的大小關(guān)系為 ()Acba Bcab Cbac Dbca答案A解析b0.820.821.2a,c2log52log522log55120.8b,故cb0且a1)的圖象過兩點(1,0)和(0,1),則a_,b_.答案22解析

9、f(x)的圖象過兩點(1,0)和(0,1)則f(1)loga(1b)0且f(0)loga(0b)1,即.題型三對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例3已知函數(shù)f(x)loga(3ax)(1)當(dāng)x0,2時,函數(shù)f(x)恒有意義,求實數(shù)a的取值范圍;(2)是否存在這樣的實數(shù)a,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù),并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由思維啟迪:f(x)恒有意義轉(zhuǎn)化為“恒成立”問題,分離實數(shù)a來解決;探究a是否存在,可從單調(diào)性入手解(1)a0且a1,設(shè)y3ax,則y3ax為減函數(shù),x0,2時,t最小值為32a,當(dāng)x0,2,f(x)恒有意義,即x0,2時,3ax0恒成立32a

10、0.a0且a1,a(0,1).(2)t3ax,a0,函數(shù)t(x)為減函數(shù),f(x)在區(qū)間1,2上為減函數(shù),ylogat為增函數(shù),a1,x1,2時,t(x)最小值為32a,f(x)最大值為f(1)loga(3a),即,故不存在探究提高解決對數(shù)函數(shù)綜合問題的方法無論討論函數(shù)的性質(zhì),還是利用函數(shù)的性質(zhì)(1)要分清函數(shù)的底數(shù)a(0,1),還是a(1,);(2)確定函數(shù)的定義域,無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì),都要在其定義域上進行;(3)如果需將函數(shù)解析式變形,一定要保證其等價性,否則結(jié)論錯誤 已知f(x)log4(4x1)(1)求f(x)的定義域;(2)討論f(x)的單調(diào)性;(3)求f(x

11、)在區(qū)間上的值域解(1)由4x10,得x0.f(x)的定義域為x|x0(2)設(shè)0x1x2,則04x114x21,log4(4x11)log4(4x21),f(x1)0且a1)求證:(1)函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè);(2)函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0.審題視角(1)要證明f(x)的圖象總在y軸的一側(cè),說明f(x)的自變量只能在(0,)或(,0)內(nèi)取值(2)可以在f(x)上任取兩點A(x1,y1),B(x2,y2),證明k0即可規(guī)范解答證明(1)由ax10,得ax1,1分當(dāng)a1時,x0,即函數(shù)f(x)的定義域為(0,),此時函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的右側(cè);3分當(dāng)0a1時,x

12、0,即函數(shù)f(x)的定義域為(,0),此時函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的左側(cè)5分函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè)6分(2)設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2)是函數(shù)f(x)圖象上的任意兩點,且x11時,由(1)知0x1x2,1ax1ax2,0ax11ax21.01,y1y20.又x1x20.9分當(dāng)0a1時,由(1)知x1x2ax21,ax11ax210.10分1,y1y20.又x1x20.函數(shù)f(x)圖象上任意兩點連線的斜率都大于0.12分溫馨提醒說到數(shù)形結(jié)合思想,我們想到是更多的以“形”助“數(shù)”來解決問題事實上,本題是以“數(shù)”來說明“形”的問題,同樣體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的思想本題的易錯點:找不到證明

13、問題的切入口如第(1)問,不知道求其定義域不能正確進行分類討論若對數(shù)或指數(shù)的底數(shù)中含有參數(shù),一般要進行分類討論.方法與技巧1 指數(shù)式abN與對數(shù)式logaNb的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對數(shù)運算法則的關(guān)鍵2 多個對數(shù)函數(shù)圖象比較底數(shù)大小的問題,可通過圖象與直線y1交點的橫坐標進行判定3 注意對數(shù)恒等式、對數(shù)換底公式及等式logambnlogab,logab在解題中的靈活應(yīng)用失誤與防范1 在運算性質(zhì)logaMnnlogaM中,要特別注意條件,在無M0的條件下應(yīng)為logaMnnloga|M|(nN*,且n為偶數(shù))2 指數(shù)函數(shù)yax (a0,且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)互為反函數(shù),

14、應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別3 解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題時需注意兩點(1)務(wù)必先研究函數(shù)的定義域;(2)注意對數(shù)底數(shù)的取值范圍.(時間:60分鐘)A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題(每小題5分,共20分)1 已知xln ,ylog52,ze,則 ()Axyz BzxyCzyx Dyzln e,x1.ylog52log5,0y,z1.綜上可得,yzf(a),則實數(shù)a的取值范圍是 ()A(1,0)(0,1) B(,1)(1,)C(1,0)(1,) D(,1)(0,1)答案C解析f(a)f(a)或或a1或1a0,且a1,uax3為增函數(shù),若函數(shù)f(x)為增函數(shù),則f(x)logau必

15、為增函數(shù),因此a1.又yax3在1,3上恒為正,a30,即a3,故選D.4 設(shè)函數(shù)f(x)定義在實數(shù)集上,f(2x)f(x),且當(dāng)x1時,f(x)ln x,則有 ()Af()f(2)f()Bf()f(2)f()Cf()f()f(2)Df(2)f()|1|1|,f()f()f(2)二、填空題(每小題5分,共15分)5 (2012江蘇)函數(shù)f(x)的定義域為_答案(0,解析要使函數(shù)f(x)有意義,則解得04.即實數(shù)a的取值范圍是(4,),c4.三、解答題(共25分)8 (12分)已知函數(shù)f(x)loga(a0,b0,a1)(1)求f(x)的定義域;(2)討論f(x)的奇偶性解(1)使f(x)有意義

16、,則0,b0,xb或xb或x0,解得x3,Mx|x3,f(x)2x234x42x3(2x)2.令2xt,x3,t8或0t8或0t2)由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)0t8時,f(t)(,160),當(dāng)2xt,即xlog2時,f(x)max.綜上可知,當(dāng)xlog2時,f(x)取到最大值,無最小值B組專項能力提升一、選擇題(每小題5分,共15分)1 設(shè)f(x)lg是奇函數(shù),則使f(x)0的x的取值范圍是 ()A(1,0) B(0,1)C(,0) D(,0)(1,)答案A解析由f(x)是奇函數(shù)可得a1,f(x)lg,定義域為(1,1)由f(x)0,可得01,1x0,a1)在1,2上的最大值與最小值之和為log

17、a26,則a的值為 ()A. B. C2 D4答案C解析當(dāng)x0時,函數(shù)yax,ylogax的單調(diào)性相同,因此函數(shù)f(x)axlogax是(0,)上的單調(diào)函數(shù),f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2,由題意得a2aloga26loga2.即a2a60,解得a2或a3(舍去)二、填空題(每小題4分,共12分)4 函數(shù)f(x)log(x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_答案(,1)解析設(shè)tx22x3,則ylogt.由t0解得x3,故函數(shù)的定義域為(,1)(3,)又tx22x3(x1)24在(,1)上為減函數(shù),在(1,)上為增函數(shù)而函數(shù)ylogt為關(guān)于t的減函數(shù),所以,函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(,1)5 (2012南京質(zhì)檢)若log2a1時,log2a0log2a1,0,1a21a,a2a0,0a1,a1.當(dāng)02a1時,log2a1.1a0,1a21a,a2a0,a1,此時不合題意綜上所述,a.6 設(shè)函數(shù)f(x)logax (a0,且a1),若f(x1x2x2 015)8,則f(x)f(x)f(x)_.答案16解析f(x1x2x2 015)loga(x1x2x2 015)8,f(x)f(x)f(x)lo

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