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1、專題2:函數(shù)的圖象與性質(zhì)(兩課時(shí))班級(jí) 姓名 一、前測(cè)訓(xùn)練1求下列函數(shù)的值域:(1)ysin(2x) x0, (2)y (3)yx(4)f(x)()xx,x1,2 (5)f(x)x2 (6)f(x)xlnx答案:(1),1;(2)(1,1;(3)(,;(4),3;(5)21,); (6),).2(1)f(x)x()的奇偶性為 (2)若f(x)為奇函數(shù),則a的值為 答案:(1)偶函數(shù);(2)3(1)函數(shù)f(x)的增區(qū)間為 ; (2)f(x)log(x22x)的增區(qū)間為 ;(3)f(x)lnx2x2的減區(qū)間為 答案:(1)(,1)和(1,);(2)(,0);(3)(,) 4(1)若f(x)是R上的
2、奇函數(shù),且當(dāng)x0時(shí),f(x)1,則f(x) (2)若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),在(,0上是減函數(shù),且f(2)=0,則f(x)0的x的取值范圍是 答案:(1);(2)(2,2).5設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),f(x2)f(x),當(dāng)0x1時(shí),f(x)x,(1)則f(7.5) ;(2)當(dāng)x4,6時(shí),f(x) 答案:(1);(2)6(1)已知函數(shù)f(x)ln(2x1),將函數(shù)yf(x)圖象向右平移2個(gè)單位后的解析式為 與函數(shù)yf(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)解析式為 (2)方程xm有一個(gè)實(shí)數(shù)解,則m的取值范圍為 答案:(1)yln(2x3);yln(12x);(2)1,1).7(1)若函數(shù)ylog
3、2(x2)的圖象與yf(x)的圖象關(guān)于x1對(duì)稱,則f(x)= (2)已知f(x)log2|ax3|關(guān)于x1對(duì)稱,則實(shí)數(shù)a 答案:(1)log2(4x);(2)3或0二、方法聯(lián)想1值域求法(1)圖象法;(2)復(fù)合函數(shù)法;(3)部分分式法;(4)換元法;(5)單調(diào)性法;(6)基本不等式法;(7)導(dǎo)數(shù)法2判斷函數(shù)奇偶性方法1 定義法;方法2 圖象法優(yōu)先考慮用圖象法,定義法前先判斷定義域但證明奇偶性只能用定義法已知函數(shù)奇偶性方法1 若函數(shù)為奇函數(shù)且0在定義域內(nèi),用f(0)0;方法2 利用特殊值法;方法3 利用定義 優(yōu)先用方法1,再用方法2,注意檢驗(yàn)但如果是解答題,必須用定義證明其奇偶性3判斷函數(shù)單調(diào)性
4、方法1 圖象法;方法2 復(fù)合函數(shù)法;方法3 導(dǎo)數(shù)法;方法4 定義法 判斷函數(shù)的單調(diào)性優(yōu)先考慮定義域,方法選擇可先考慮圖象法,再考慮復(fù)合函數(shù)法,關(guān)鍵時(shí)候用導(dǎo)數(shù)法,別忘了定義法 注意:?jiǎn)握{(diào)性證明只能用導(dǎo)數(shù)法和定義法4奇偶性、單調(diào)性應(yīng)用處理函數(shù)問(wèn)題,如最值、解不等式、圖象等,可分析函數(shù)的奇偶性,判斷函數(shù)的單調(diào)性,其中奇(偶)函數(shù)y軸兩側(cè)單調(diào)性口訣:奇同偶反5奇偶性、對(duì)稱性、周期性的綜合常用結(jié)論: 如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意x,都有f(xT) f(x),則稱f(x)為周期函數(shù) 若函數(shù)滿足f(xa)f(x),則f(x)的周期為2a 若函數(shù)滿足f(xa) ,則f(x)的周期為2a若
5、函數(shù)滿足f(xa) ,則f(x)的周期為2a6函數(shù)圖象變換 (一)對(duì)稱變換; (二)翻折變換; (三)平移變換; (四)伸縮變換處理函數(shù)問(wèn)題優(yōu)先考慮函數(shù)的圖象,即數(shù)形結(jié)合法作函數(shù)圖象時(shí),先考慮用圖象變換法轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)問(wèn)題我們也可以由函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì)(或值域),反過(guò)來(lái)要考慮函數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)作圖的作用7圖象的對(duì)稱問(wèn)題 方法1 相關(guān)點(diǎn)法;方法2 特殊值法 常用結(jié)論:若函數(shù)滿足f(ax)f(bx),則f(x)圖象關(guān)于x 對(duì)稱若函數(shù)滿足f(ax)f(bx)m,則f(x)圖象關(guān)于(,)對(duì)稱三、例題分析第一層次例1.已知函數(shù)f(x)(1)試判斷f(x)的奇偶性并給予證明;(2)求證:f(x)在區(qū)間
6、(0,1)上單調(diào)遞減.解:(1)f(x)為奇函數(shù). (2)略.【教學(xué)建議】1.本題考查用定義判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.本題的易錯(cuò)點(diǎn)有兩個(gè),一是忽視先求出定義域,直接判斷f(x)與f(x)的關(guān)系;二是在第二問(wèn)中機(jī)械套用定義,對(duì)f(x1)、f(x2)直接作差,反而無(wú)法證明函數(shù)的單調(diào)性.2.對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x),它由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定,因此對(duì)函數(shù)一系列的性質(zhì)的研究也都應(yīng)該在定義域的基礎(chǔ)上展開(kāi),判斷函數(shù)的奇偶性必須先檢驗(yàn)函數(shù)的定義域是否對(duì)稱,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也必須首先判斷函數(shù)的定義域.3.本題中的函數(shù)f(x)的解析式是由多個(gè)基本初等函數(shù)復(fù)合而成,因此其單調(diào)性的證明轉(zhuǎn)化為幾個(gè)基本初等函數(shù)單調(diào)性的判
7、斷,證明過(guò)程的最后一步利用了不等式的性質(zhì):若ab0,cd0,則acbd.例2.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對(duì)任意實(shí)數(shù)x,恒有f(x2)f(x)當(dāng)x0,2時(shí),f(x)2xx2.(1)求證:f(x)是周期函數(shù);(2)當(dāng)x2,4時(shí),求f(x)的解析式;(3)計(jì)算f(0)f(1)f(2)f(2 014)解:(1)f(x)是周期為4的周期函數(shù)(2)f(x)x26x8,x2,4(3)1.【教學(xué)建議】1.本題考查函數(shù)的周期性和奇偶性.第一問(wèn)只需證明f(x4)f(x),即可說(shuō)明f(x)是周期函數(shù);第二問(wèn)利用奇偶性求得函數(shù)f(x)在2,0上的解析式,進(jìn)而利用周期性求得f(x)在2,4上的解析式;第三問(wèn)則是
8、利用函數(shù)值的周期性求和.2.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是在第二問(wèn)的求解析式,應(yīng)強(qiáng)調(diào)將所求區(qū)間上的x轉(zhuǎn)化為符合已知區(qū)間上的變量特征,進(jìn)而利用已知的解析式求出結(jié)論.3.函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題,是高考考查的重點(diǎn)問(wèn)題判斷函數(shù)的周期只需證明f(xT)f(x) (T0),便可證明函數(shù)是周期函數(shù),且周期為T.例3.函數(shù)f(x)的定義域Dx|x0,且滿足對(duì)于任意x1,x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;(3)如果f(4)1,f(3x1)f(2x6)3,且f(x)在(0,)上是增函數(shù),求x的取值范圍解:(1)f(1)0.(2)f(x)為偶函數(shù)(3
9、)x的取值范圍是x|x或x3或3x5【教學(xué)建議】1.本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.第一問(wèn)解決有關(guān)求函數(shù)值的賦值問(wèn)題;第二問(wèn)通過(guò)賦值研究f(x)、f(x)的關(guān)系;第三問(wèn)則必須將不等式轉(zhuǎn)化為f(M)f(N)的形式,再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為MN或MN的形式求解2.對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查常常是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查,既有具體函數(shù),也有抽象函數(shù).在解題中應(yīng)充分利用問(wèn)題的條件推出函數(shù)的性質(zhì),從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題.3.函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)的對(duì)稱特征,是函數(shù)的整體特性.利用函數(shù)的奇偶性可以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上,是簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑.尤其注意偶函數(shù)的性質(zhì):f(|x|)f
10、(x).4.數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程,每一步等價(jià)轉(zhuǎn)化都必須是正確的、規(guī)范的,如本例中:f(x)為偶函數(shù),不等式等價(jià)于f|(3x1)(2x6)|f(64),|(3x1)(2x6)|64,且(3x1)(2x6)0.這里的易錯(cuò)點(diǎn)是漏掉(3x1)(2x6)0第二層次例1.已知函數(shù)f(x)(1)當(dāng)ab1時(shí),求滿足f(x)3x的x的取值范圍;(2)若yf(x)的定義域?yàn)镽,又是奇函數(shù),求yf(x)的解析式,判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.解:(1)x的取值范圍為(,1(2)f (x)(1). f (x) 在R上單調(diào)遞減.【教學(xué)建議】1.本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性.第一問(wèn)中涉及指數(shù)不等式
11、的解法,第二問(wèn)涉及等式恒成立問(wèn)題.2.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是第二問(wèn)中忽視由“f(x)的定義域?yàn)镽”所得到的“b0”的條件.3.單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì),它往往與不等式相結(jié)合,應(yīng)用時(shí)要看清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.判斷函數(shù)的單調(diào)性的常用方法有:能畫出圖象的一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察;由基本初等函數(shù)通過(guò)加減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷問(wèn)題;對(duì)于解析式較復(fù)雜的一般用導(dǎo)數(shù)法;對(duì)于抽象函數(shù)的一般用定義法.例2.函數(shù)f(x)的定義域Dx|x0,且滿足對(duì)于任意x1,x2D.有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值;(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;(3)如果f(4)1,f(
12、3x1)f(2x6)3,且f(x)在(0,)上是增函數(shù),求x的取值范圍解:(1)f(1)0.(2)f(x)為偶函數(shù)(3)x的取值范圍是x|x或x3或3x5【教學(xué)建議】1.本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性.第一問(wèn)解決有關(guān)求函數(shù)值的賦值問(wèn)題;第二問(wèn)通過(guò)賦值研究f(x)、f(x)的關(guān)系;第三問(wèn)則必須將不等式轉(zhuǎn)化為f(M)f(N)的形式,再結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為MN或MN的形式求解2.對(duì)函數(shù)性質(zhì)的考查常常是將單調(diào)性、奇偶性、周期性等綜合一起考查,既有具體函數(shù),也有抽象函數(shù).在解題中應(yīng)充分利用問(wèn)題的條件退整函數(shù)的性質(zhì),從而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解題.3.函數(shù)的奇偶性反映了函數(shù)的對(duì)稱性,是函數(shù)的整體特性.利用函數(shù)的奇偶性可
13、以把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上,是簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑.尤其注意偶函數(shù)的性質(zhì):f(|x|)f(x).4.數(shù)學(xué)解題的過(guò)程就是一個(gè)轉(zhuǎn)化的過(guò)程,每一步等價(jià)轉(zhuǎn)化都必須是正確的、規(guī)范的,如本例中:f(x)為偶函數(shù),不等式等價(jià)于f|(3x1)(2x6)|f(64),|(3x1)(2x6)|64,且(3x1)(2x6)0.這里的易錯(cuò)點(diǎn)是漏掉(3x1)(2x6)0例3.設(shè)n為正整數(shù),規(guī)定:fn(x)fff(x),已知f(x).(1)解不等式f(x)x;(2)設(shè)集合A0,1,2,對(duì)任意xA,證明:f3(x)x;(3)探求f2 014;(4)若集合Bx|f12(x)x,x0,2,證明:B中
14、至少包含有8個(gè)元素解:(1)解集為.(2)證明:f(0)2,f(1)0,f(2)1,當(dāng)x0時(shí),f3(0)f(f(f(0)f(f(2)f(1)0;當(dāng)x1時(shí),f3(1)f(f(f(1)f(f(0)f(2)1;當(dāng)x2時(shí),f3(2)f(f(f(2)f(f(1)f(0)2.即對(duì)任意xA,恒有f3(x)x.(3).(4)由(1)知,f,fn.則f12.B.由(2)知,對(duì)x0,或1,或2,恒有f3(x)x,f12(x)f43(x)x.則0,1,2B.由(3)知,對(duì)x,恒有f12(x)f43(x)x,B.綜上所述,0,1,2,B.B中至少含有8個(gè)元素【教學(xué)建議】1.本題給出新定義內(nèi)容,第一問(wèn)就是解不等式,第二
15、問(wèn)實(shí)際就是對(duì)定義的認(rèn)識(shí)并直接套用,第三問(wèn)則需要對(duì)定義進(jìn)行更深一步的認(rèn)識(shí),探究函數(shù)值之間存在的規(guī)律2.形如f(g(x)的函數(shù)求值時(shí),應(yīng)遵循先內(nèi)后外的原則;對(duì)于分段函數(shù)的求值(解不等式)問(wèn)題,必須依據(jù)條件準(zhǔn)確地找出利用哪一段求解.3.自定義問(wèn)題是用數(shù)學(xué)符號(hào)、文字?jǐn)⑹鼋o出一個(gè)教材之外的新定義,它要求在短時(shí)間內(nèi)通過(guò)閱讀、理解,解決題目給出的問(wèn)題.解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確把握新定義的含義,把從新定義中獲取的新信息進(jìn)行有效的整合,并轉(zhuǎn)化為熟悉的知識(shí)加以解決.4.周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì),本題體現(xiàn)的是函數(shù)值的周期性.第三層次例1.已知函數(shù)f(x)(1)當(dāng)ab1時(shí),求滿足f(x)3x的x的取值范圍;(
16、2)若yf(x)的定義域?yàn)镽,又是奇函數(shù),求yf(x)的解析式,判斷其在R上的單調(diào)性并加以證明.解:(1)x的取值范圍為(,1(2)f (x)(1). f (x) 在R上單調(diào)遞減.【教學(xué)建議】1.本題考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性.第一問(wèn)中涉及指數(shù)不等式的解法,第二問(wèn)涉及等式恒成立問(wèn)題.2.本題的易錯(cuò)點(diǎn)是第二問(wèn)中忽視由“f(x)的定義域?yàn)镽”所得到的“b0”的條件.3.單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì),它往往與不等式相結(jié)合,應(yīng)用時(shí)要看清函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.4.判斷函數(shù)的單調(diào)性的常用方法有:能畫出圖象的一般用數(shù)形結(jié)合法去觀察;由基本初等函數(shù)通過(guò)加減運(yùn)算或復(fù)合而成的函數(shù),常轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的單
17、調(diào)性判斷問(wèn)題;對(duì)于解析式較復(fù)雜的一般用導(dǎo)數(shù)法;對(duì)于抽象函數(shù)的一般用定義法.例2.已知函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镽,并對(duì)一切實(shí)數(shù)x,都滿足f(2x)f(2x)(1)證明:函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱;(2)若f(x)是偶函數(shù),且x0,2時(shí),f(x)2x1,求x4,0時(shí)的f(x)的表達(dá)式解:(1)證明:設(shè)P(x0,y0)是函數(shù)yf(x)圖象上任一點(diǎn),則y0f(x0),點(diǎn)P關(guān)于直線x2的對(duì)稱點(diǎn)為P(4x0,y0)f(4x0)f(2(2x0)f(2(2x0)f(x0)y0,P也在yf(x)的圖象上,函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱(2)f(x)【教學(xué)建議】1.本題設(shè)奇函數(shù)的對(duì)稱性、奇偶性.第
18、一問(wèn)中函數(shù)圖象對(duì)稱性的證明可轉(zhuǎn)化為圖象的上任意點(diǎn)的對(duì)稱性的證明.第二問(wèn)中函數(shù)f(x)在4,0上表達(dá)式是分段函數(shù).2.在第二問(wèn)中,“f(2x)f(2x)”與“f(4x)f(x)”都是表示函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x2對(duì)稱,又由函數(shù)的奇偶性得到:f(4x)f(x)f(x).這樣可以進(jìn)一步得到定義在R上的函數(shù)f(x)是周期函數(shù),4是它的一個(gè)周期.因此第二問(wèn)也可以通過(guò)說(shuō)明函數(shù)的周期性來(lái)求解析式.事實(shí)上,若一個(gè)函數(shù)具備奇偶性、對(duì)稱性、周期性中兩個(gè)性質(zhì),那么它一定也具備第三個(gè)性質(zhì).例3.已知函數(shù)f(x)ax2|x|2a1(a為實(shí)常數(shù))(1)若a1,作函數(shù)f(x)的圖象;(2)設(shè)f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式;(3)設(shè)h(x),若函數(shù)h(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍解:(1)作圖象如右圖所示(2)g(a)(3)實(shí)數(shù)a的取值范圍為【教學(xué)建議】1.本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì),結(jié)合絕對(duì)值考查分類討論思想,第一問(wèn)主要是畫圖;第二問(wèn)中二次函數(shù)屬于軸動(dòng)區(qū)
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