平面向量的數(shù)量積.ppt

1、第二十五講平面向量的數(shù)量積,回歸課本,1.向量的夾角 (1)已知兩個(gè)非零向量a和b,作 則AOB=叫做向量a與b的夾角.,(2)向量夾角的范圍是0,a與b同向時(shí),夾角=0;a與b反向時(shí),夾角=. (3)如果向量a與b的夾角是90,我們說a與b垂直,記作ab.,2.向量的投影 |a|cos(|b|cos)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 3.平面向量數(shù)量積的定義 ab=|a|b|cos(是向量a與b的夾角),規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.,4.向量數(shù)量積的性質(zhì) 設(shè)a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與e的夾角,則 (1)ea=ae=|a|cos. (2)ab=a

2、b=0. (3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=|a|b|; 當(dāng)a與b反向時(shí),ab=-|a|b|; 特別地,aa=|a|2或|a|= (4)cos= (5)|ab|a|b|.,5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab=ba.(交換律) (2)(a)b=(ab)=a(b).(數(shù)乘結(jié)合律) (3)(a+b)c=ac+bc.(分配律),6.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a與b的夾角,則cos=,(3)若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則|a|= 這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)

3、間的距離公式. (4)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abab=0 x1x2+y1y2=0.,考點(diǎn)陪練,1.(2019北京)a,b為非零向量,“ab”是“函數(shù)f(x)=(xa+b)(xb-a)為一次函數(shù)”的( ) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件,解析:函數(shù)f(x)=x2ab-(a2-b2)x-ab,當(dāng)函數(shù)f(x)是一次函數(shù)時(shí)必然要求ab=0,即ab,但當(dāng)ab,|a|=|b|時(shí),函數(shù)f(x)不是一次函數(shù),故選B. 答案:B,2.(2019重慶)已知向量a,b滿足ab=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|=( ) A.0B.

4、 C.4D.8 解析:因?yàn)閨2a-b|2=(2a-b)2=4a2+b2-4ab=4a2+b2=4+4=8,故|2a-b|= ,選B. 答案:B,答案:D,答案:A,答案:B,類型一數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算 解題準(zhǔn)備:1.數(shù)量積的運(yùn)算要注意a=0時(shí),ab=0,但ab=0時(shí)不能得到a=0,或b=0,因?yàn)閍b時(shí),也有ab=0. 2.若a、b、c是實(shí)數(shù),則ab=acb=c(a0);但對于向量,就沒有這樣的性質(zhì),即若向量abc滿足ab=ac(a0),則不一定有b=c,即等式兩邊不能同時(shí)約去一個(gè)向量,但可以同時(shí)乘以一個(gè)向量.,答案-25,(2)設(shè)abc是任意的非零向量,且互不共線.給出以下命題:(ab)c-(c

5、a)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不與c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命題的是_. 解析對于只有當(dāng)向量b,c的方向相同時(shí),二者才相等所以錯(cuò);考慮式對應(yīng)的幾何意義,由三角形兩邊之差小于第三邊知正確;由(bc)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b與c垂直,故錯(cuò);向量的乘法運(yùn)算符合多項(xiàng)式乘法法則,所以正確.所以正確命題的序號是. 答案,類型二利用數(shù)量積解決長度、垂直問題 解題準(zhǔn)備:常用的公式與結(jié)論有:,【典例2】已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120. (1)計(jì)算|a+b|,|4a-2b|; (2)當(dāng)k為何值時(shí),(a+2

6、b)(ka-b)?,分析利用|a|= 及abab=0即可解決問題. 解由已知,ab=48 =-16. (1)|a+b|2=a2+2ab+b2 =16+2(-16)+64=48, |a+b|= . |4a-2b|2=16a2-16ab+4b2 =1616-16(-16)+464=3162. |4a-2b|= .,(2)若(a+2b)(ka-b),則(a+2b)(ka-b)=0, ka2+(2k-1)ab-2b2=0. 16k-16(2k-1)-264=0, k=-7.,類型三利用數(shù)量積解決夾角問題 解題準(zhǔn)備:1.涉及到與夾角有關(guān)的問題,往往利用向量的夾角公式解決,這也是平面向量數(shù)量積的一個(gè)重要考

7、點(diǎn).,3.在應(yīng)用上述公式求夾角時(shí),要考慮夾角的取值范圍.,【典例3】已知ab都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a與a+b的夾角. 分析由公式cos= 可知,求兩個(gè)向量的夾角關(guān)鍵是求數(shù)量積及模的積.本題中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求數(shù)量積的關(guān)鍵,考慮怎樣對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.,解解法一:由|a|=|b|=|a-b|得,|a|2=|b|2,|b|2=a2-2ab+b2,所以ab= a2. 而|a+b|2=|a|2+2ab+|b|2=2|a|2+2 |a|2 =3|a|2, 所以|a+b|= |a|. 設(shè)a與a+b的夾角為, 則cos= 由于0180,所以=30.,反思感悟(1)求

8、兩個(gè)向量的夾角,需求得ab及|a|,|b|或得出它們的關(guān)系,注意夾角的取值范圍是0,180.正確理解公式是關(guān)鍵. (2)向量有兩種表示形式,即坐標(biāo)法和幾何法,解題時(shí)要靈活選擇.本題通過比較兩種方法發(fā)現(xiàn),利用向量的幾何形式解答此類題目顯得更加簡捷和直觀.,錯(cuò)源一利用點(diǎn)平移與向量平移設(shè)置陷阱 【典例1】已知A(3,7),B(5,2),將 按向量a=(1,2)平移后所得向量的坐標(biāo)是() A.(1,7)B.(2,-5) C.(10,4)D.(3,-3),錯(cuò)解因?yàn)锳(3,7),B(5,2),所以 =(2,-5), 將x=2,y=-5及h=1,k=2,代入平移公式,得x=2+1=3,y=-5+2=-3,故

9、 按向量a平移后所得向量坐標(biāo)是(3,-3),選D. 剖析平移公式揭示的是點(diǎn)沿著向量平移前后坐標(biāo)的變化關(guān)系,它并不適合向量平移規(guī)律.上述錯(cuò)誤是典型的亂用公式.,正解因向量平移后仍與原向量相等. 故 故選B. 答案B,錯(cuò)源二利用平移前后的解析式設(shè)置陷阱 【典例2】將函數(shù)y=f(x)的圖象按向量a平移,使圖象上的點(diǎn)A的坐標(biāo)由(2,3)變?yōu)?3,5),則平移后圖象的解析式為() A.y=f(x-1)+2B.y=f(x-1)-2 C.y=f(x+1)+2D.y=f(x+1)-2,剖析上述錯(cuò)誤是把點(diǎn)的平移與圖象的平移混為一談.,答案A,錯(cuò)源三利用平移方向設(shè)置陷阱 【典例3】將y=2x-6的圖象按向量a平移

10、后,得到y(tǒng)=2x的圖象,那么a=_. 錯(cuò)解因?yàn)閥=2x-6=2(x-3),所以要得到y(tǒng)=2x的圖象,只需將y=2x-6的圖象沿著x軸向左平移3個(gè)單位長度,故a=(-3,0);又y=2x的圖象可以看作將y=2x-6的圖象沿著y軸向上平移6個(gè)單位長度得到的,故a=(0,6),所以向量a=(-3,0)或(0,6).,剖析上述錯(cuò)誤是對圖象平移的定義沒有弄清所致,根據(jù)圖象平移的定義可知,圖象的平移就是將圖象F上所有點(diǎn)按照同一方向,移動同樣長度,得到圖象F.此處它只需按照同一方向,而沒有要求一定是水平或豎直的移動.,正解設(shè)a=(h,k),P(x,y)是函數(shù)y=2x-6的圖象上任意一點(diǎn),它在函數(shù)y=2x的圖

11、象上的對應(yīng)點(diǎn)為P(x,y),由平移公式 得 將它們代入y=2x- 6中,得y-k=2(x-h)-6,即y=2x-2h-6+k,所以平移后函數(shù)解析式為y=2x-2h-6+k,因?yàn)閥=2x-2h-6+k與y=2x為同一函數(shù),所以-2h-6+k=0,即k=2h+6,因此,所求向量a=(h,2h+6)(hR). 答案(h,2h+6)(hR),錯(cuò)源四誤用實(shí)數(shù)的運(yùn)算律或運(yùn)算法則而致錯(cuò) 【典例4】已知a,b都是非零向量,且向量a+3b與7a-5b垂直,向量a-4b與7a-2b垂直,求向量a與b的夾角.,兩式相減得46ab-23b2=0, 即b(2a-b)=0, 所以b=0(舍去)或2a-b=0, 由2a-b

12、=0知a與b同向,故向量a與b的夾角為0.,剖析本題誤用實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),即實(shí)數(shù)a,b若滿足ab=0則必有a=0或b=0,但對于向量a,b若滿足ab=0,則不一定有a=0或b=0,因?yàn)橛蒩b=|a|b|cos知與有關(guān),當(dāng)=90時(shí),ab=0恒成立,此時(shí)a,b均可以不為0. 正解由前知b2=2ab,代入7a2+16ab-15b2=0得a2=2ab, 所以a2=b2=2ab, 故cos= 則兩向量的夾角=60.,評析向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)的積有著本質(zhì)上的區(qū)別,其主要表現(xiàn)為運(yùn)算律或運(yùn)算法則上的區(qū)別,因此解答向量的數(shù)量積時(shí),不要受到實(shí)數(shù)積形成的定勢思維的影響.,技法一方程思想,答案B 方法與技巧本題考查的是單位向量問題,有關(guān)單位向量的求解常常根據(jù)題設(shè)構(gòu)造方程組,通過解方程組求解.,技法二分類討論思想 【典例2】已知|a|=4,|b|=5,當(dāng)ab時(shí),求a與b的數(shù)量積. 解題切入點(diǎn)已知|a|=4,|b|=5,求ab,只需確定其夾角.注意到ab時(shí),有=0和=180兩種可能,故需分類討論.,解因?yàn)閍b,故當(dāng)a與b同向時(shí), =0,ab=|a|b|cos0=20; 當(dāng)a與b反向時(shí),=180, 所以ab=|a|b|cos180=-20. 方法與技巧對問題分類討論時(shí),要分類完整,做到不重不漏.,技法三整體思想 【典例3】若向量a,b,c滿足a+b+c=0,且|a|=3, |b|=1,|c|