課標(biāo)通用2018年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.3導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用學(xué)案理

1、3.3衍生產(chǎn)品的綜合應(yīng)用測試點(diǎn)1使用導(dǎo)數(shù)來研究生活中的優(yōu)化問題標(biāo)題1一個村莊計(jì)劃建造一個沒有蓋子的圓柱形水庫(無論其厚度如何)。水庫底部的半徑為0.5米，高度為0.5米，容積為0.5立方米。假設(shè)建筑成本僅與表面積有關(guān)。邊的建筑成本為100元/平方米，底的建筑成本為160元/平方米。水庫總建設(shè)成本為12 000元(為)。(1)將V表示為r的函數(shù)V(r)，并求出該函數(shù)的定義域；(2)討論了函數(shù)V(r)的單調(diào)性，當(dāng)R和H確定時，儲層的體積最大。(1)由于庫側(cè)總成本為1002 RH=200 RH元，庫底總成本為160r2元。因此，水庫的總成本為(200 RH 160 R2)。根據(jù)問題的含義，200相對

2、濕度160 R2=12000，所以h=(300-4R2)，因此v (r)= r2h=(300r-4r3)。由于r0，可以從h0獲得0 r5。因此，函數(shù)V(r)的定義域是(0，5)。(2)因?yàn)関 (r)=(300r-4r3)，因此，v(r)=(300-12r 2)，讓v(r)=0，解將是r=5或-5 (r=-5 0，放棄它)。當(dāng)r(0，5)時，V(r)為0，所以V(r)在(0，5)處是一個遞增函數(shù)。當(dāng)r(5，5)時，V(r)為0，所以V(r)是(5，5)上的遞減函數(shù)。因此，V(r)在r=5，h=8時達(dá)到最大值。也就是說，當(dāng)r=5和h=8時，儲層的體積最大。用導(dǎo)數(shù)解決生活中最優(yōu)化問題的四個步驟(1

3、)分析實(shí)際問題中變量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f (x );(2)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，求解方程f(x)=0；(3)比較區(qū)間末端函數(shù)值與f(x)=0的點(diǎn)，最大(小)值即為最大(小)值；(4)回到實(shí)際問題來回答。在商場銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，日銷售量y(單位：公斤)和銷售價格x(單位：元/公斤)滿足關(guān)系y=10 (x-6) 2，其中3 x 6，a為常數(shù)，當(dāng)已知銷售價格為5元/公斤時，每天可銷售11公斤商品。(1)找到a的值；(2)如果商品的成本是3元/公斤，試著確定銷售價格x的價值，從而使商品的日銷售利潤最大化。(1)因?yàn)楫?dāng)x=5，y=11時，所

4、以10=11，a=2。(2)根據(jù)(1)，該商品的日銷售量為y=10 (x-6) 2。因此，商場每天銷售商品所獲得的利潤f(x)=(x-3)=2+10(x-3)(x-6)2，3x6。因此，f(x)=10(x-6)2 2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6)。因此，當(dāng)x變化時，f(x)和f(x)的變化如下。x(3，4)4(4，6)f(x)+0-f(x)最大42從上表可以看出，x=4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3，6)中的最大值，也是最大值。因此，當(dāng)x=4時，函數(shù)f(x)得到最大值，最大值等于42。答：當(dāng)售價為4元/公斤時，商店的日利潤最大。測試點(diǎn)2使用導(dǎo)數(shù)來研究方程的零點(diǎn)問題題目2 2017山東

5、濰坊模擬函數(shù)f (x)=x2，g (x)=alnx (a0)是已知的。(1)求函數(shù)f (x)=f (x) g (x)的極值；(2)如果函數(shù)g (x)=f (x)-g (x) (a-1) x在區(qū)間中有兩個零，它就是實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答 (1)根據(jù)問題的含義，f (x)=f (x) g (x)=ax2lnx，f(x)=axln x+ax=ax(2ln x+1)，Xe從F(x)0獲得，00，G(x)單調(diào)增加。為了使G(x)在區(qū)間中有兩個零，需要滿足也就是說比較下面和的大小。由于-=0，因此，因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是。讓函數(shù)f (x)=-klnx，k0。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)證明了

6、如果f(x)中有零點(diǎn)，則區(qū)間(1)中只有一個零點(diǎn)。(1)解：從f (x)=-klnx (k0)，得到X 0且f(x)=x-=。f(x)=0時，解為x=(負(fù)值被截?cái)?。當(dāng)x變化時，f(x)和f(x)在區(qū)間(0，)中的變化如下：x(0，)(，+)f(x)-0+f(x)因此，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(，)。f(x)的最小值在x=f()時獲得。(2)從(1)中證明了區(qū)間(0，)中f(x)的最小值是f ()=。因?yàn)閒(x)有零點(diǎn)，它0，所以ke，當(dāng)k=e時，f(x)在區(qū)間(1)中單調(diào)遞減，f ()=0，因此x=是區(qū)間(1)中f(x)的唯一零。當(dāng)ke，f(x)在區(qū)間f()=0中單調(diào)

7、減小，f (1)=0，f ()=0時，因此，f(x)在區(qū)間(1)中只有一個零點(diǎn)?？偠灾?，如果f(x)中有零點(diǎn)，那么在區(qū)間(1)中就只有一個零點(diǎn)。測試點(diǎn)3使用導(dǎo)數(shù)來研究與不等式相關(guān)的問題【關(guān)注考試情況】導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容，很難以答題形式進(jìn)行考查，屬于中高年級試題。主要有以下主張：角度一證明不平等題目3 2017安徽合肥第二模型已知函數(shù)f (x)=。(1)如果f(x)是區(qū)間(-，2)中的單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)如果a=0且x0 1，讓直線y=g (x)是函數(shù)f(x)在x=x0時的圖像的切線，并證明f (x) g (x)。(1)解很容易得到f(x)=，根據(jù)問題

8、的含義，f(x)0適用于x(-，2)，因此，x 1-a適用于x(-，2)，1-a2,a-1.因此，實(shí)數(shù)A的取值范圍是(-，-1)。(2)證明如果A=0，那么F(x)=0。函數(shù)f(x)的圖像在x=x0時的切線方程是y=g(x)=f(x0)(x-x0)f(x0)。設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x0)(x-x0)-f(x0)，xR，然后h (x)=f (x)-f (x0)=-=。設(shè) (x)=(1-x) ex0-(1-x0) ex，xR，然后(x)=-ex0-(1-x0)ex，x01,(x)0，(x)在r上單調(diào)下降，而 (x0)=0。 (x) 0當(dāng)x x0時，當(dāng)x x0， (x) 0時

9、，h(x) 0當(dāng)x x0時，當(dāng)x x0時H (x) 0，h(x)是區(qū)間(-，x0)中的遞增函數(shù)和區(qū)間(x0，)中的遞減函數(shù)。當(dāng)xR時， h (x) h (x0)=0，f(x)g(x).角度2不等式常數(shù)建立問題題目4 2017青海西寧模擬已知函數(shù)f (x)=x2 2x，g (x)=xex。(1)求f (x)-g (x)的極值；(2)當(dāng)x(-2，0)成立時，f (x) 1 ag (x)成立，這是實(shí)數(shù)a的取值范圍.(1)讓h (x)=f (x)-g (x)=x2 2x-xex，然后h(x)=(x 1)(2-ex)，設(shè)h(x)=0，解是x=-1或x=ln 2。當(dāng)x發(fā)生變化時，h(x)和h(x)的變化如

10、下表所示。x(-，-1)-1(-1，ln 2)ln 2(ln 2，+)h(x)-0+0-h(x)最低限度maxh(x)最小值=h (-1)=-1，h(x)最大值=h (ln2)=ln22，即f (x)-g (x)最小值為-1，最大值為ln22。(2)從問題的意義來看，當(dāng)x(-2，0)時，x2 2x 1 axex成立，即a成立。讓t (x)=， T (x)=，當(dāng)x(-2，-1)、t(x)0和t(x)單調(diào)增加時；當(dāng)x(-1，0)時，t(x)0和t(x)單調(diào)下降。因此，當(dāng)x(-2，0)時，t (x) max=t (-1)=0。a0.因此，實(shí)數(shù)A的取值范圍是0，)。角度三存在不平等的建立【題目5】【2

11、017福建四中六校聯(lián)考】已知A為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=AlNx2-4x。(1)是否有實(shí)數(shù)a，使得f(x)在x=1時得到極值？證明你的結(jié)論；(2)讓g (x)=(a-2) x，如果x0，那么f(x0)g(x0)成立，且實(shí)數(shù)a的取值范圍不變.解 (1)沒有實(shí)數(shù)A，這使得f(x)在x=1時得到極值?？梢宰C明：函數(shù)f(x)的定義域是(0，)，f(x)=2x-4=。假設(shè)有一個實(shí)數(shù)a，所以f(x)取x=1時的極值，然后f (1)=0。 a=2，此時，f (x)=，當(dāng)x0，f(x)0成立時，f(x)在(0，)上單調(diào)增加， x=1不是f(x)的極值點(diǎn)。因此，沒有實(shí)數(shù)a，這使得f(x)在x=1時得到極值。(2)從

12、f(x0)g(x0)，(x0-lnx0) a x-2x0、寫f (x)=x-ln x (x0)，f(x)=(x0)，當(dāng)01，f(x)0和F(x)單調(diào)增加。F(x)F(1)=10，a，G (x)=，x，g(x)=。x,2-2ln x=2(1-ln x)0，x-2ln x+20，當(dāng)x時，g (x)0和G(x)單調(diào)下降；當(dāng)x(1，e)時，G(x)0和G(x)單調(diào)增加，G(x)min=G(1)=-1,aG(x)min=-1.因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是-1，)。導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用：兩種解題策略(1)用導(dǎo)數(shù)證明不等式如果我們證明F(x) g (x)，x(a，b)，我們可以構(gòu)造函數(shù)f (x)=f (x)-g

13、 (x)。如果f(x)0，則f (x)是(a，b)中的遞減函數(shù)，如果f(。(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式的常數(shù)建立問題用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題，首先要構(gòu)造一個函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最大值，然后用參數(shù)得到相應(yīng)的不等式，從而找到參數(shù)的范圍；它還可以分離變量和構(gòu)造函數(shù)，并將問題直接轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最大值問題。振體訓(xùn)練1.讓函數(shù)f (x)=ex (2x-1)-ax a，其中a 1，如果有一個唯一的整數(shù)x0使f (x0)小于0，那么a的取值范圍是()A.B華盛頓特區(qū)答：d .分析結(jié)果：f (0)=-1 a 0， x0=0。X0=0是唯一的整數(shù)，也就是說，解是a。和a 1， a 1，因此選擇d .2.陜西卷

14、2014如圖所示，飛機(jī)在4公里高度水平飛行，從a著陸點(diǎn)10公里的水平距離下降。已知下降飛行路徑是三次函數(shù)圖像的一部分，因此該函數(shù)的解析表達(dá)式為()A.y=x3-xB.y=x3-xC.y=x3-xD.y=-x3+x答：答分析：讓分辨率函數(shù)為y=f (x)，這意味著f(5)=2，f (-5)=2，f (5)=0。通過替換驗(yàn)證很容易得到y(tǒng)=x3-x，所以選擇a .3.遼寧卷2014當(dāng)X-2，1時，不等式AX3-X2 4X 3 0成立，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為()A.-5，-3BC.-6，-2D.-4，-3回答：c。分析：當(dāng)x=0時，ax3-x2 4x 30變?yōu)?0，即a r .當(dāng)x(0，1)，ax3 x

15、2-4x-3時，a,amax.讓 (x)=，(x)=-=-0，(x)在(0，1)上單調(diào)增加，(x)最大值=(1)=6。a-6.當(dāng)x-2，0，a時，amin.讓 (x)=，(x)=，當(dāng)x-2，-1，(x)0時；當(dāng)x(-1，0)時，(x) 0。當(dāng)x=-1時，(x)有一個最小值，也就是最小值。(x)min=(-1)=-2， a -2?？偠灾?，a的范圍是-6，-2。4.2016新課程標(biāo)準(zhǔn)第一冊眾所周知，函數(shù)f (x)=(x-2) ex a (x-1) 2有兩個零。(1)找出a的取值范圍；(2)設(shè)x1和x2是f(x)的兩個零，并證明x1是x22。(1)溶液：f(x)=(x-1)ex 2a(x-1)=(x-1)(ex 2a)。假設(shè)a=0，那么f(x)=(x-2) ex，f(x)只有一個零點(diǎn)。()如果a0被設(shè)置，當(dāng)x(-，1)時f(x)0；當(dāng)x(1，)，f(x)0。因此，f(x)在(-，1)上單調(diào)減少，在(1，)上單調(diào)增加。f (1)=-e，f (2)=a，b滿足b0，b (b-2) a (b-1) 2=A0。因此，f(x)中有兩個零。()設(shè)a0，設(shè)f(x)=0 x=1或