運(yùn)籌學(xué)_單純形法_應(yīng)用舉例.ppt

1、要制作100套鋼筋架子，每套有長2.9m、2.1 m和1.5m的鋼筋各一根。已知原材料長7.4m，應(yīng)如何切割，使用原材料最節(jié)省。 解：所謂合理利用原材料，就是要使料頭總 長最少。表1.14是節(jié)省材料的幾種較好方案。,設(shè)按種方案下料的原材料數(shù)x1根，方案 用x2根，方案用x3根，方案用x4根，方 案用x5根， 根據(jù)表1-14可列出約束條件：,目標(biāo)是使用料最少，即, 方案選擇。 某廠計(jì)劃期分為n各階段，在第j(j=1,n)個(gè) 階段，生產(chǎn)上要用rj個(gè)專用工具。到階段末， 凡在這個(gè)階段內(nèi)使用過的工具都應(yīng)該送去修 理后才能再使用。修理分兩種，一是慢修， 即等某種規(guī)格工具積壓到一定批量后集中修， 每件b元

2、，需要p個(gè)階段能取回。二是送去后 立即修，這樣費(fèi)用貴一些，每件c(cb)元， q(qp)個(gè)階段可取回。新購一個(gè)這樣的工具 需a(ac)元。,用xj表示第j個(gè)計(jì)劃階段新購的工具數(shù)； yj表示第j階段末送去慢修的工具數(shù)； zj表示第j階段末送去快修的工具數(shù)； sj表示j階段木工具的存儲數(shù)。 則每個(gè)階段需用的工具數(shù)rj有以下關(guān)系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,n) rj= xj (j=1,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,n) 且yn-p= yn-p+1= yn=0 zn-q= zn

3、-q+1= zn=0,所以上述問題可描述為下面線性規(guī)劃模型：,xj= rj (j=1,q+1) xj+ zj-q-1= rj (j=q+2,p+1) xj+ zj-q-1 +yj-p-1 = rj (j=p+2,n) yj+ zj + sj + sj-1 = rj (j=1,n) yj=0 (jn -p) zj=0 (jn-q) xj,， yj ， zj ， sj 0,原料供應(yīng)限制,含量要求限制,用單純形法求得,即該廠每月生產(chǎn)甲種牌號糖果1812/3kg，乙種牌號糖果4793/3kg，不生產(chǎn)丙種牌號糖果，才能獲利最大。,注：最后要解釋最優(yōu)解的實(shí)際意義。,例某工廠要用三種原料1、 2、3混合調(diào)配

4、出三種不同規(guī)格的 產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如右表。 問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利 潤收入為最大？,解：設(shè) xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料 j 的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮： 對于甲： x11，x12，x13； 對于乙： x21，x22，x23； 對于丙： x31，x32，x33； 對于原料1： x11，x21，x31； 對于原料2： x12，x22，x32； 對于原料3： x13，x23，x33； 目標(biāo)函數(shù)： 利潤最大，利潤 = 收入 - 原料支出 約束條件： 規(guī)格要求 4 個(gè)； 供應(yīng)量限制 3 個(gè)。,利潤=總收入-總成本=甲乙丙三種產(chǎn)品的銷售單價(jià)*產(chǎn)品數(shù)量-甲乙丙使用的

5、原料單價(jià)*原料數(shù)量，故有 目標(biāo)函數(shù) Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 約束條件： 從第1個(gè)表中有： x110.5(x11+x12+x13) x120.25(x11+x12+x13) x210.25(x21+x22+x23) x220.5(x21+x22+x23),從第2個(gè)表中，生產(chǎn)甲乙丙的原材料不能超過原材料的供應(yīng)限額，故有 (x11

6、+x21+x31)100 (x12+x22+x32)100 (x13+x23+x33)60 通過整理，得到以下模型：,目標(biāo)函數(shù)：Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 約束條件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超過25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超過50%） x11+ x21

7、 + x31 100 (供應(yīng)量限制） x12+ x22 + x32 100 (供應(yīng)量限制） x13+ x23 + x33 60 (供應(yīng)量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3,例.汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標(biāo)描述，用“辛烷數(shù)”來定量描述其點(diǎn)火特性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有1、2、3、4種標(biāo)準(zhǔn)汽油，其特性和庫存量列于表4-6中，將這四種標(biāo)準(zhǔn)汽油混合，可得到標(biāo)號為1，2的兩種飛機(jī)汽油，這兩種汽油的性能指標(biāo)及產(chǎn)量需求列于表4-7中。問應(yīng)如何根據(jù)庫存情況適量混合各種標(biāo)準(zhǔn)汽油，既滿足飛機(jī)汽油的性能指標(biāo)，又使2號汽油滿足需求，并使得1號汽油產(chǎn)量最高

8、？,表4-6,表4-7,解：設(shè)xij為飛機(jī)汽油i中所用標(biāo)準(zhǔn)汽油j的數(shù)量(L)。 目標(biāo)函數(shù)為飛機(jī)汽油1的總產(chǎn)量：,庫存量約束為：,產(chǎn)量約束為飛機(jī)汽油2的產(chǎn)量：,由物理中的分壓定律， 可得有關(guān)蒸汽壓力的約束條件：,同樣可得有關(guān)辛烷數(shù)的約束條件為：,綜上所述，得該問題的數(shù)學(xué)模型為：,人事安排 某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī) 和乘務(wù)人員數(shù)如下： 設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段一開始時(shí)上班，并 連續(xù)工作八小時(shí)，問該公交線路怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員， 既能滿足工作需要，又配備最少司機(jī)和乘務(wù)人員?,解：設(shè) xi 表示第i班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù), 這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)：

9、Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 約束條件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0,例一家中型的百貨商場，它對售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如下表所示。為了保證售貨人員充分休息，售貨人員每周工作5天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應(yīng)該如何安排售貨人員的作息，既滿足工作需要，又使配備的售貨人員的人數(shù)最少？,解：設(shè) xi ( i = 1,2,7)表示星期一至日開始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。 目標(biāo)函數(shù)： Min x

10、1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 約束條件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 0,生產(chǎn)問題 某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都需要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工

11、和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？,解：設(shè) x1,x2,x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種 產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5 分別為由外協(xié)鑄造再由本公司加工和裝配的甲、乙兩 種產(chǎn)品的件數(shù)。 求 xi 的利潤：利潤 = 售價(jià) - 各成本之和 產(chǎn)品甲全部自制的利潤 =23-(3+2+3)=15 產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤 =23-(5+2+3)=13 產(chǎn)品乙全部自制的利潤 =18-(5+1+2)=

12、10 產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤 =18-(6+1+2)=9 產(chǎn)品丙的利潤 =16-(4+3+2)=7 可得到 xi （i = 1,2,3,4,5） 的利潤分別為 15、10、7、13、9 元。,通過以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型: 目標(biāo)函數(shù)： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 約束條件： 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0,例永久機(jī)械廠生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過A、B兩 道工

13、序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備A1、A2能完成 A 工序；有三種規(guī)格的設(shè)備B1、B2、B3能完成 B 工序?？稍贏、B的任何規(guī)格的設(shè)備上加工； 可在任意規(guī)格的A設(shè)備上加工，但對B工序，只能在B1設(shè)備上加工；只能在A2與B2設(shè)備上加工。數(shù)據(jù)如表。問：為使該廠獲得最大利潤，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？,解：設(shè) xijk 表示第 i 種產(chǎn)品，在第 j 種工序上的第 k 種設(shè)備上加工的數(shù)量。建立如下的數(shù)學(xué)模型: s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 設(shè)備 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 設(shè)備 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 設(shè)備 B

14、1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 設(shè)備 B2 ） 7x123 4000 （ 設(shè)備 B3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x211+ x212- x221 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） x312 - x322 = 0 （產(chǎn)品在A、B工序加工的數(shù)量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3,目標(biāo)函數(shù)為計(jì)算利潤最大化，利潤的計(jì)算公式為： 利潤 = （銷售單價(jià) - 原料單價(jià)）* 產(chǎn)品件數(shù)之和 -（每臺時(shí)的設(shè)備費(fèi)用*設(shè)備實(shí)際使用的總臺時(shí)數(shù)）之和。 這樣得到目

15、標(biāo)函數(shù)： Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312 300/6000(5x111+10 x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)- 250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123). 經(jīng)整理可得： Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123,投資問題某部門現(xiàn)有資金200

16、萬元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資。已知：項(xiàng) 目A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利110%；項(xiàng)目B：從第 一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利125%，但規(guī)定每年最大投資額 不能超過30萬元；項(xiàng)目C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利140%，但規(guī) 定最大投資額不能超過80萬元；項(xiàng)目D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本 利155%，但規(guī)定最大投資額不能超過100萬元。 據(jù)測定每萬元每次投資的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如右表： 問： a）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額為最大？ b）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有資金的本利

17、在330萬元的基礎(chǔ)上使得其投資總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)為最?。?解： 1）確定決策變量：連續(xù)投資問題 設(shè) xij ( i = 15，j = 14)表示第 i 年初投資于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)項(xiàng)目的金額。這樣我們建立如下的決策變量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24,2）約束條件： 第一年：A當(dāng)年末可收回投資，故第一年年初應(yīng)把全部資金投出去，于是 x11+ x12 = 200； 第二年：B次年末才可收回投資，故第二年年初有資金1.1 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； 第三年：年

18、初有資金 1.1x21+ 1.25x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； 第四年：年初有資金 1.1x31+ 1.25x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； 第五年：年初有資金 1.1x41+ 1.25x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投資限制： xi2 30 ( i =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 3）目標(biāo)函數(shù)及模型： a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+