多元函數(shù)取得極值的條件.ppt

1、多元函數(shù)取得極值的條件,無(wú)約束問(wèn)題,取得極值的條件,必要條件,若函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)P(x0,y0)存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，且 P(x0,y0)是函數(shù)f(x,y)的極值點(diǎn)，則,駐點(diǎn),充分條件,若函數(shù)z= f(x,y) 在點(diǎn)P(x0,y0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)且存在一,階及二階偏導(dǎo)數(shù)，又,令,則,時(shí)具有極值，且當(dāng)A0,時(shí)有極小值。,0時(shí)沒(méi)有極值,不能確定,n元函數(shù)取得極值的條件？,梯度,具有偏導(dǎo)數(shù)，,Hesse矩陣,必要條件,若n元函數(shù)f(x)在存在偏導(dǎo)數(shù)，且x*是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則,一階條件,二階條件,二階充分條件,證明:,所以,約束問(wèn)題,取得極值的條件,對(duì)于多元函數(shù)的條件極值，在高等數(shù)學(xué)中給出Lag

2、range乘子法。Lagrange乘子法只給出可能極值點(diǎn)，沒(méi)有給出判別這些點(diǎn)究竟是否是極值點(diǎn)的方法，也沒(méi)有給出判別是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)的方法。,問(wèn)題：,對(duì)于一般的有約束極值問(wèn)題，取得極值的條件是什么？,一般的約束極值問(wèn)題：,幾個(gè)概念：,可行域：,可行方向：,(1),指標(biāo)集,起作用集,起作用約束在x的領(lǐng)域限制了可行點(diǎn)的范圍。當(dāng)點(diǎn)沿某些方向稍微離開(kāi)x時(shí)，仍能滿足約束條件；而沿另一些方向離開(kāi)x時(shí)，不論步長(zhǎng)多么小，都將違背這些約束。,對(duì)于非起作用約束（ci(x)0），x是否是局部最優(yōu)解與這些非起作用約束無(wú)關(guān)。,序列可行方向：,序列可行方向的性質(zhì),設(shè)ci(x)在x處可微，則,證明,性質(zhì)1,同樣可證性質(zhì)

3、2,設(shè)fi(x)在x*處可微，且取得局部極小值，則,必要條件,說(shuō)明,Lagrane函數(shù),KT條件等價(jià)于,i稱為L(zhǎng)agrange乘子,Lagrange乘子法,x*稱為KT點(diǎn),一階條件,證明,首先證明集合非空,由于該方程組的系數(shù)矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)，所以該方程組有解,考察方程組,是SFD(x*,X)的子集,而SFD(x*,X)是閉集，所以S*的閉包c(diǎn)l(S*) SFD(x*,X)，即,下面證明,下面證明dcl(S*),于是,所以,定理得證,一階充分條件,證明,二階條件,線性化零約束方向集,設(shè)x*是KT點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子，dRn。如果,則稱d是在x*處的線性化零約束方向。在x*處的所

4、有線性化零約束方向的集合記為G(x*,),序列零約束方向集,設(shè)x*是KT點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果存在序列dkRn和k0(k=1,2, )使得,則稱d是在x*處的序列零約束方向。在x*處的所有序列零約束方向的集合記為S(x*,)。 可證S(x*,) G(x*,),二階必要條件,設(shè)x*是問(wèn)題（1）的局部極小點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子。則必有,證明,則存在序列dkRn和k0(k=1,2, )使得,因此,由于x*是問(wèn)題（1）的局部極小點(diǎn)，對(duì)充分大的k有,充分條件,設(shè)x*是KT點(diǎn)，是相應(yīng)的Lagrange乘子。如果,則x*是問(wèn)題（1）的局部嚴(yán)格極小點(diǎn)。,證明,定理成立,推論,設(shè)x*是K