1.2 應變分量與協(xié)調(diào)方程.ppt

1、由于外部因素 物體內(nèi)部各點空間位置發(fā)生變化 位移形式 剛體位移：物體內(nèi)部各點位置變化，但仍保持初始狀態(tài)相對位置不變。 變形位移：位移不僅使得位置改變，而且改變了物體內(nèi)部各個點的相對位置。, 載荷或溫度,位移,1.2 應變分量,M(x,y,z),M(x,y,z),位移u，v，w是單值連續(xù)函數(shù) 進一步分析位移函數(shù)具有連續(xù)的三階導數(shù) 一點的變形通過微分六面體單元描述 微分單元體的變形，分為兩部分討論 正應變棱邊的伸長和縮短 切應變棱邊之間夾角（直角）改變,幾何意義,正應變,幾何方程 位移分量和應變分量之間的關系,幾何方程又稱柯西方程 微分線段伸長正應變大于零 微分線段夾角縮小切應變分量大于零,微小應

2、變的幾何解釋,幾何方程位移導數(shù)表示的應變 應變描述一點的變形，但還不足以完全描述彈性體的變形 原因是沒有考慮單元體位置的改變 單元體的剛體轉(zhuǎn)動 剛性位移可以分解為平動與轉(zhuǎn)動 剛性轉(zhuǎn)動變形位移的一部分，但是不產(chǎn)生變形。,變形通過應變描述 坐標變換時，應變分量是隨之坐標改變而變化。 應變分量的轉(zhuǎn)軸公式 應變張量,主應變與主應變方向,應變狀態(tài),應變張量一旦確定，則任意坐標系下的應變分量均可確定。因此應變狀態(tài)就完全確定。 坐標變換后各應變分量均發(fā)生改變，但作為一個整體，所描述的應變狀態(tài)并未改變。 主應變與應變主軸 切應變?yōu)?的方向 應變主軸方向的正應變,應變主軸,主應變,應變狀態(tài)特征方程,l，m，n齊

3、次線性方程組 非零解的條件為方程系數(shù)行列式的值為零,展開,主應變確定 應變主軸方向變形,應變不變量,第一，第二和第三應變不變量,一點的應變狀態(tài)與坐標系選取無關，因此坐標變換不影響應變狀態(tài)是確定的。 應變不變量就是應變狀態(tài)性質(zhì)的表現(xiàn),應力張量應變張量 應力不變量應變不變量 主應變和應變主軸與主應力和應力主軸的特性類似 各向同性材料，應力主軸和應變主軸是重合的,公式比較,體積應變 彈性體一點體積的改變量 引入體積應變有助于 簡化公式 解釋,協(xié)調(diào)方程,數(shù)學意義： 幾何方程6個應變分量通過3個位移分量描述 力學意義變形連續(xù) 彈性體任意一點的變形必須受到其相鄰單元體變形的約束,例1 設 ex =3x,

4、ey =2y, gxy =xy, ez =gxz =gyz =0,求其位移。 解：,顯然該應變分量沒有對應的位移。 要使這一方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件。以下我們將著手建立這一條件。,要使幾何方程求解位移時方程組不矛盾，則六個應變分量必須滿足一定的條件。 從幾何方程中消去位移分量，第一式和第二式分別對y和 x求二階偏導數(shù)，然后相加可得,將幾何方程的四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導數(shù) 前后兩式相加并減去中間一式，則,對x求一階偏導數(shù)，則,分別輪換x,y,z，則可得如下六個關系式,將幾何方程的四，五，六式分別對z，x，y求一階偏導數(shù) 前后兩式相加并減去中間一式，則,應變協(xié)調(diào)

5、方程 圣維南 （Saint Venant）方程,變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學意義 使3個位移為未知函數(shù)的六個幾何方程不相矛盾。 變形協(xié)調(diào)方程的物理意義 物體變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿足一定的關系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。 為使變形后的物體保持連續(xù)體，應變分量必須滿足一定的關系。,證明應變協(xié)調(diào)方程是變形連續(xù)的必要和充分條件。 變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)。 目標如果應變分量滿足應變協(xié)調(diào)方程，則對于單連通域，就可以通過幾何方程積分求得單值連續(xù)的位移分量。 利用位移和轉(zhuǎn)動分量的全微分，則,輪換x , y, z，可得du，dv和dwy，dwz,如通過積分，計算出,是單值連續(xù)的，則問題可證。,保證單值連續(xù)的條件是積分與積分路徑無關,根據(jù)格林公式,回代,回代到第四式,wx單值連續(xù)的必要與充分條件是,同理討論wy，wz的單值連續(xù)條件，可得其它4式變形協(xié)調(diào)方程。 由此可