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文檔簡介
1、1.4.1曲邊梯形面積與定積分(二)明目標(biāo)、知重點1.了解定積分的概念,會用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì)定積分的概念、幾何意義及性質(zhì)定積分概念定積分:設(shè)函數(shù)yf(x)定義在區(qū)間a,b上,用分點ax0x1x2xn1xnb,把區(qū)間a,b分為n個小區(qū)間,其長度依次為xixi1xi,i0,1,2,n1.記為這些小區(qū)間長度的最大者,當(dāng)趨近于0時,所有的小區(qū)間長度都趨近于0,在每個區(qū)間內(nèi)任取一點i,作和式In(i)xi.當(dāng)0時,如果和式的極限存在,我們把和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分,記作f(x)dx,即f(x)dx(i)xi.這里a與b分別叫作積
2、分下限與積分上限,區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間,函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù),x叫做積分變量,f(x)dx叫做被積式幾何意義如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0,那么定積分f(x)dx表示由直線xa,xb(ab),y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積.基本性質(zhì)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù));f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx;f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb).探究點一定積分的概念思考1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程,找一下它們的共同點答兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決,都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限思考2
3、怎樣正確認識定積分f(x)dx?答(1)定積分f(x)dx是一個數(shù)值(極限值)它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限,另外f(x)dx與積分區(qū)間a,b息息相關(guān),不同的積分區(qū)間,所得值也不同(2)定積分就是和的極限(i)x,而f(x)dx只是這種極限的一種記號,讀作“函數(shù)f(x)從a到b的定積分”(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)這一條件是不能忽視的,它保證了和的極限(定積分)的存在(實際上,函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件,而不是必要條件)例1利用定積分的定義,計算x3dx的值解令f(x)x3.(1)分割在區(qū)間0,1上等間隔地插入n1個分點,把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間,(i1,2,n),每個小
4、區(qū)間的長度為x.(2)近似代替、求和取i(i1,2,n),則x3dxSnf()x ()3i3n2(n1)2(1)2.(3)取極限x3dxSn (1)2.反思與感悟(1)利用定積分定義求定積分的數(shù)值仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過程,需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2),從而省略了解題步驟(2)從過程來看,當(dāng)f(x)0時,定積分就是區(qū)間對應(yīng)曲邊梯形的面積跟蹤訓(xùn)練1用定義計算(1x)dx.解(1)分割:將區(qū)間1,2等分成n個小區(qū)間(i1,2,n),每個小區(qū)間的長度為x.(2)近似代替、求和:在上取點i1(i1,2,n),于是f(i)112,從而得(i)x(2)n012
5、(n1)22.(3)取極限:S 2.因此(1x)dx.探究點二定積分的幾何意義思考1從幾何上看,如果在區(qū)間a,b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0,那么f(x)dx表示什么?答當(dāng)函數(shù)f(x)0時,定積分f(x)dx在幾何上表示由直線xa,xb(a0,f(i)0,故f(i)0.從而定積分f(x)dx0,這時它等于如圖所示曲邊梯形面積的相反值,即f(x)dxS.當(dāng)f(x)在區(qū)間a,b上有正有負時,定積分f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線xa,xb(ab)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正,在x軸下方的取負)(如圖),即f(x)dxS1S2S3.例2用定積分的幾何意義求:(1)
6、(3x2)dx;(2)(3) (|x1|x1|4)dx;(4)dx(ba)解(1)如圖1陰影部分面積為,從而(3x2)dx.(2)如圖2,由于A的面積等于B的面積,從而0.(3)令f(x)|x1|x1|4,作出f(x)在區(qū)間3,3上的圖象,如圖3所示,易知定積分3f(x)dx表示的就是圖中陰影部分的面積的代數(shù)和陰影部分的面積S1S31,S26, (|x1|x1|4)dx1164.(4)令yf(x),則有(x)2y2()2(y0),f(x)表示以(,0)為圓心,半徑為的上半圓,而這個上半圓的面積為Sr2()2,由定積分的幾何意義可知dx.反思與感悟利用幾何意義求定積分,關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖
7、象,以及積分區(qū)間,正確利用相關(guān)的幾何知識求面積不規(guī)則的圖象常用分割法求面積,注意分割點的準(zhǔn)確確定跟蹤訓(xùn)練2利用幾何意義計算下列定積分:(1)dx;(2)(3x1)dx.解(1)在平面上y表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓,其面積為S32.由定積分的幾何意義知dx.(2)由直線x1,x3,y0,以及y3x1所圍成的圖形,如圖所示:(3x1)dx表示由直線x1,x3,y0以及y3x1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積,(3x1)dx(3)(331)(1)216. 探究點三定積分的性質(zhì)思考1定積分的性質(zhì)可作哪些推廣?答定積分的性質(zhì)的推廣f1(x)f2(x)fn(x)dxf1
8、(x)dxf2(x)dxfn(x)dx;f(x)dxc1af(x)dxc2c1f(x)dxbcnf(x)dx(其中nN)思考2如果一個函數(shù)具有奇偶性,它的定積分有什么性質(zhì)?答奇、偶函數(shù)在區(qū)間a,a上的定積分若奇函數(shù)yf(x)的圖象在a,a上連續(xù)不斷,則f(x)dx0.若偶函數(shù)yg(x)的圖象在a,a上連續(xù)不斷,則g(x)dx2g(x)dx.例3計算(x3)dx的值解如圖,由定積分的幾何意義得dx,x3dx0,由定積分性質(zhì)得(x3)dxdxx3dx.反思與感悟根據(jù)定積分的性質(zhì)計算定積分,可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分,再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進行計算跟蹤訓(xùn)練
9、3已知x3dx,x3dx,x2dx,x2dx,求:(1)3x3dx;(2)6x2dx;(3)(3x22x3)dx.解(1)3x3dx3x3dx3(x3dxx3dx)3()12;(2)6x2dx6x2dx6(x2dxx2dx)6()126;(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx3x2dx2x3dx327.1下列結(jié)論中成立的個數(shù)是()x3dx;x3dx;x3dx.A0 B1 C2 D3答案C解析成立2定積分f(x)dx的大小()A與f(x)和積分區(qū)間a,b有關(guān),與i的取法無關(guān)B與f(x)有關(guān),與區(qū)間a,b以及i的取法無關(guān)C與f(x)以及i的取法有關(guān),與區(qū)間a,b無關(guān)D與f(x)、積分區(qū)間a,b和i的取法都有關(guān)答案A3根據(jù)定積分的幾何意義,用不等號連接下列式子:xdx_x2dx;dx_2dx.答案4若x2dx9,則常數(shù)T的值為_答案3解析令f(x)x2.(1)分割將區(qū)間0,Tn等分,則x.(2)近似代替、求和取i(i1,
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