2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 1.2 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一)學(xué)案 北師大版選修2-1

1、1.2橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫(huà)出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.知識(shí)點(diǎn)一橢圓的范圍、對(duì)稱性和頂點(diǎn)坐標(biāo)思考1觀察橢圓1(ab0)的形狀(如圖)，你能從圖中看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對(duì)稱性？橢圓上哪些點(diǎn)比較特殊？思考2在畫(huà)橢圓圖形時(shí)，怎樣才能畫(huà)的更準(zhǔn)確些？梳理橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程_(ab0)_(ab0)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱性關(guān)于x軸、y軸軸對(duì)稱，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱頂點(diǎn)坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)

2、，B2(b,0)范圍|x|_，|y|_|x|_，|y|_長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)軸A1A2長(zhǎng)為_(kāi)，短軸B1B2長(zhǎng)為_(kāi)知識(shí)點(diǎn)二橢圓的離心率思考如何刻畫(huà)橢圓的扁圓程度？梳理(1)橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e_稱為橢圓的離心率.(2)對(duì)于1，b越小，對(duì)應(yīng)的橢圓越_，反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓越接近于圓，于是，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，c0，兩焦點(diǎn)重合，圖形變成圓，方程變?yōu)閤2y2a2.(如圖)類(lèi)型一由橢圓方程研究其簡(jiǎn)單性質(zhì)例1求橢圓9x216y2144的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).引申探究本例中若把橢圓方程改為“9x216y21”求其長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)坐標(biāo).反思

3、與感悟解決此類(lèi)問(wèn)題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓9x2y281的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率.類(lèi)型二橢圓的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用命題角度1依據(jù)橢圓的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2如圖所示，已知橢圓的中心在原點(diǎn)，它在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)F與短軸兩個(gè)端點(diǎn)B1，B2的連線互相垂直，且這個(gè)焦點(diǎn)與較近的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)A的距離為，求這個(gè)橢圓的方程. 反思與感悟此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)由所給的性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b，在求解時(shí)，需注意橢圓的焦點(diǎn)位置.跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸

4、在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，且過(guò)點(diǎn)(2，6)；(2)焦點(diǎn)在x軸上，一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩端點(diǎn)連線互相垂直，且半焦距為6.命題角度2對(duì)稱性問(wèn)題例3討論方程x3yx2y2xy31所表示的曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱性.反思與感悟研究曲線關(guān)于x軸，y軸，原點(diǎn)的對(duì)稱性，只需用“y”代替方程中的“y”，用“x”代替方程中的“x”，同時(shí)代替，若方程不變，則得到相應(yīng)的對(duì)稱性.跟蹤訓(xùn)練3曲線x22y10的對(duì)稱軸為()A.x軸 B.y軸C.直線yx D.無(wú)法確定類(lèi)型三橢圓的離心率的求解例4已知橢圓1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1且與橢圓的交點(diǎn)為A，B，與y

5、軸的交點(diǎn)為C，且B為線段CF1的中點(diǎn)，若|k|，求橢圓離心率e的取值范圍.反思與感悟求e的取值范圍有以下幾個(gè)步驟(1)切入點(diǎn)：已知|k|，求e的取值范圍，需建立關(guān)于e的不等式.(2)思考點(diǎn)：e與k有什么關(guān)系？建立e與k的等量關(guān)系式；利用B在橢圓上且為CF1的中點(diǎn)，構(gòu)建關(guān)于e與k的等式；如何求e的范圍？先用e表示k，再利用|k|，求e的取值范圍.(3)解題流程：先寫(xiě)出l的方程，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由點(diǎn)B在橢圓上，建立e與k的關(guān)系式，再求e的范圍.跟蹤訓(xùn)練4已知點(diǎn)P(m,4)是橢圓1(ab0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為_(kāi).1.已知橢圓的方程為

6、2x23y2m(m0)，則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.與橢圓9x24y236有相同焦點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.x21C.y21 D.13.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，有一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi).4.已知點(diǎn)(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是_.5. 已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi).1.可以應(yīng)用橢圓的定義和方程，把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再結(jié)合代數(shù)知識(shí)解題.而橢圓的定義與三角形的兩邊之和聯(lián)系緊密，因此，涉及線段的問(wèn)題常利用三角形兩邊之和

7、大于第三邊這一結(jié)論處理.2.橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解題中經(jīng)常將|PF1|PF2|看成一個(gè)整體靈活應(yīng)用.3.利用正弦、余弦定理處理PF1F2的有關(guān)問(wèn)題.4.橢圓上的點(diǎn)到一焦點(diǎn)的最大距離為ac，最小距離為ac.提醒：完成作業(yè)第三章11.2(一)答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1(1)范圍：axa，byb；(2)對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱；(3)特殊點(diǎn)：頂點(diǎn)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b).思考2在畫(huà)橢圓時(shí)，可先畫(huà)一個(gè)矩形，矩形的頂點(diǎn)為(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).梳理11(c,0)(0，c)abba2a2

8、b知識(shí)點(diǎn)二思考用離心率刻畫(huà)扁圓程度，e越接近于0，橢圓越接近于圓，反之，越扁.梳理(1)(2)扁題型探究例1解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a4，b3，c ，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)分別是2a8和2b6，離心率e，又知焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(，0)和(，0)，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(0,3).引申探究解由已知得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a，b，c .長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b，離心率e.焦點(diǎn)坐標(biāo)(，0)和(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)(，0)，(0，).跟蹤訓(xùn)練1解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，則a9，b3，c6，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a18; 短軸長(zhǎng)2b6；焦點(diǎn)坐標(biāo)(0,6)，(0，6)；頂點(diǎn)坐標(biāo)

9、(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0).離心率e.例2解依題意，設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，由橢圓的對(duì)稱性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2為等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc，|FA|，即ac，且a2b2c2，將上面三式聯(lián)立，得解得所求橢圓方程為1.跟蹤訓(xùn)練2解(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為1(ab0).依題意有解得橢圓方程為1.同樣地可求出當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓方程為1.故所求的橢圓方程為1或1.(2)依題意有bc6，a2b2c272，所求的橢圓方程為1.例3解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改變了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲線不關(guān)于x軸對(duì)稱.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲線也不關(guān)于y軸對(duì)稱.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.跟蹤訓(xùn)練3B例4解依題