2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 圓錐曲線與方程 1.2 橢圓的簡單性質(zhì)(一)學(xué)案 北師大版選修2-1

1、1.2橢圓的簡單性質(zhì)(一)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.根據(jù)橢圓的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形.2.根據(jù)幾何條件求出曲線方程，并利用曲線的方程研究它的性質(zhì)、圖形.知識點一橢圓的范圍、對稱性和頂點坐標(biāo)思考1觀察橢圓1(ab0)的形狀(如圖)，你能從圖中看出它的范圍嗎？它具有怎樣的對稱性？橢圓上哪些點比較特殊？思考2在畫橢圓圖形時，怎樣才能畫的更準(zhǔn)確些？梳理橢圓的簡單性質(zhì)焦點在x軸上焦點在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程_(ab0)_(ab0)圖形焦點坐標(biāo)對稱性關(guān)于x軸、y軸軸對稱，關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱頂點坐標(biāo)A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)

2、，B2(b,0)范圍|x|_，|y|_|x|_，|y|_長軸、短軸長軸A1A2長為_，短軸B1B2長為_知識點二橢圓的離心率思考如何刻畫橢圓的扁圓程度？梳理(1)橢圓的焦距與長軸長的比e_稱為橢圓的離心率.(2)對于1，b越小，對應(yīng)的橢圓越_，反之，e越接近于0，c就越接近于0，從而b越接近于a，這時橢圓越接近于圓，于是，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，c0，兩焦點重合，圖形變成圓，方程變?yōu)閤2y2a2.(如圖)類型一由橢圓方程研究其簡單性質(zhì)例1求橢圓9x216y2144的長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo).引申探究本例中若把橢圓方程改為“9x216y21”求其長軸長、短軸長、離心率、焦點和頂點坐標(biāo).反思

3、與感悟解決此類問題的方法是將所給方程先化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后根據(jù)方程判斷出橢圓的焦點在哪個坐標(biāo)軸上，再利用a，b，c之間的關(guān)系和定義，求橢圓的基本量.跟蹤訓(xùn)練1求橢圓9x2y281的長軸長、短軸長、焦點坐標(biāo)、頂點坐標(biāo)和離心率.類型二橢圓的性質(zhì)的簡單應(yīng)用命題角度1依據(jù)橢圓的性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程例2如圖所示，已知橢圓的中心在原點，它在x軸上的一個焦點F與短軸兩個端點B1，B2的連線互相垂直，且這個焦點與較近的長軸的端點A的距離為，求這個橢圓的方程. 反思與感悟此類問題應(yīng)由所給的性質(zhì)充分找出a，b，c所應(yīng)滿足的關(guān)系式，進(jìn)而求出a，b，在求解時，需注意橢圓的焦點位置.跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)下列條件，求中心在原點，對稱軸

4、在坐標(biāo)軸上的橢圓方程：(1)長軸長是短軸長的2倍，且過點(2，6)；(2)焦點在x軸上，一個焦點與短軸的兩端點連線互相垂直，且半焦距為6.命題角度2對稱性問題例3討論方程x3yx2y2xy31所表示的曲線關(guān)于x軸，y軸，原點的對稱性.反思與感悟研究曲線關(guān)于x軸，y軸，原點的對稱性，只需用“y”代替方程中的“y”，用“x”代替方程中的“x”，同時代替，若方程不變，則得到相應(yīng)的對稱性.跟蹤訓(xùn)練3曲線x22y10的對稱軸為()A.x軸 B.y軸C.直線yx D.無法確定類型三橢圓的離心率的求解例4已知橢圓1(ab0)的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，斜率為k的直線l過左焦點F1且與橢圓的交點為A，B，與y

5、軸的交點為C，且B為線段CF1的中點，若|k|，求橢圓離心率e的取值范圍.反思與感悟求e的取值范圍有以下幾個步驟(1)切入點：已知|k|，求e的取值范圍，需建立關(guān)于e的不等式.(2)思考點：e與k有什么關(guān)系？建立e與k的等量關(guān)系式；利用B在橢圓上且為CF1的中點，構(gòu)建關(guān)于e與k的等式；如何求e的范圍？先用e表示k，再利用|k|，求e的取值范圍.(3)解題流程：先寫出l的方程，求出B點的坐標(biāo)，由點B在橢圓上，建立e與k的關(guān)系式，再求e的范圍.跟蹤訓(xùn)練4已知點P(m,4)是橢圓1(ab0)上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，若PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為，則此橢圓的離心率為_.1.已知橢圓的方程為

6、2x23y2m(m0)，則此橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.與橢圓9x24y236有相同焦點，且短軸長為2的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.1 B.x21C.y21 D.13.若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，且長軸長為10，有一個焦點坐標(biāo)是(3,0)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.4.已知點(m，n)在橢圓8x23y224上，則2m4的取值范圍是_.5. 已知橢圓以兩條坐標(biāo)軸為對稱軸，一個頂點是(0,13)，另一個頂點是(10,0)，則焦點坐標(biāo)為_.1.可以應(yīng)用橢圓的定義和方程，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，再結(jié)合代數(shù)知識解題.而橢圓的定義與三角形的兩邊之和聯(lián)系緊密，因此，涉及線段的問題常利用三角形兩邊之和

7、大于第三邊這一結(jié)論處理.2.橢圓的定義式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，在解題中經(jīng)常將|PF1|PF2|看成一個整體靈活應(yīng)用.3.利用正弦、余弦定理處理PF1F2的有關(guān)問題.4.橢圓上的點到一焦點的最大距離為ac，最小距離為ac.提醒：完成作業(yè)第三章11.2(一)答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考1(1)范圍：axa，byb；(2)對稱性：橢圓關(guān)于x軸、y軸、原點都對稱；(3)特殊點：頂點A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b).思考2在畫橢圓時，可先畫一個矩形，矩形的頂點為(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b).梳理11(c,0)(0，c)abba2a2

8、b知識點二思考用離心率刻畫扁圓程度，e越接近于0，橢圓越接近于圓，反之，越扁.梳理(1)(2)扁題型探究例1解已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a4，b3，c ，橢圓的長軸長和短軸長分別是2a8和2b6，離心率e，又知焦點在x軸上，兩個焦點坐標(biāo)分別是(，0)和(，0)，四個頂點坐標(biāo)分別是(4,0)，(4,0)，(0，3)和(0,3).引申探究解由已知得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為1，于是a，b，c .長軸長2a，短軸長2b，離心率e.焦點坐標(biāo)(，0)和(，0)，頂點坐標(biāo)(，0)，(0，).跟蹤訓(xùn)練1解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1，則a9，b3，c6，長軸長2a18; 短軸長2b6；焦點坐標(biāo)(0,6)，(0，6)；頂點坐標(biāo)

9、(0,9)，(0，9)，(3,0)，(3,0).離心率e.例2解依題意，設(shè)橢圓的方程為1(ab0)，由橢圓的對稱性知|B1F|B2F|，又B1FB2F，B1FB2為等腰直角三角形，|OB2|OF|，即bc，|FA|，即ac，且a2b2c2，將上面三式聯(lián)立，得解得所求橢圓方程為1.跟蹤訓(xùn)練2解(1)當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)橢圓方程為1(ab0).依題意有解得橢圓方程為1.同樣地可求出當(dāng)焦點在y軸上時，橢圓方程為1.故所求的橢圓方程為1或1.(2)依題意有bc6，a2b2c272，所求的橢圓方程為1.例3解用“y”代替方程x3yx2y2xy31中的“y”，得x3yx2y2xy31，它改變了原方程，因此方程x3yx2y2xy31所表示的曲線不關(guān)于x軸對稱.同理，方程x3yx2y2xy31所表示的曲線也不關(guān)于y軸對稱.而用“x”代替原方程中的“x”，用“y”代替原方程中的“y”，得(x)3(y)(x)2(y)2(x)(y)31，即x3yx2y2xy31，故方程x3yx2y2xy31所表示的曲線關(guān)于原點對稱.跟蹤訓(xùn)練3B例4解依題