淺談最短徑路問(wèn)題中的分層思想

1、淺談最短徑路問(wèn)題中的分層思想,福建省泉州市第七中學(xué) 呂子鉷,引言,最短路徑問(wèn)題,分層思想,城市規(guī)劃 交通導(dǎo)航 網(wǎng)絡(luò)尋優(yōu) ,動(dòng)態(tài)規(guī)劃中的階段劃分 基于求阻塞流的最大流算法 ,強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)合,主要內(nèi)容,利用分層思想建立模型 拯救大兵瑞恩 fence cow relay,應(yīng)用分層思想優(yōu)化算法 bic roads,例題一 拯救大兵瑞恩 (CTSC99),有一個(gè)長(zhǎng)方形的迷宮，被分成了N行M列，共NM個(gè)單元。 南北或東西方向相鄰的兩個(gè)單元之間可以互通，或者存在一扇鎖著的門(mén)，又或者存在一堵不可逾越的墻。 迷宮中有一些單元存放著鑰匙，總共有P類(lèi)鑰匙，對(duì)應(yīng)P類(lèi)門(mén)。只有對(duì)應(yīng)的鑰匙才能打開(kāi)對(duì)應(yīng)的門(mén)。,例題一 拯救大兵瑞恩

2、 (CTSC99),從一個(gè)單元移動(dòng)到另一個(gè)相鄰單元的時(shí)間為1，拿取所在單元的鑰匙的時(shí)間以及用鑰匙開(kāi)門(mén)的時(shí)間忽略不計(jì)。 求從(1,1)到(N,M)的最短時(shí)間。 N,M不大于15，P不大于10。,分析簡(jiǎn)化問(wèn)題,忽略門(mén)和鑰匙。 把每個(gè)單元看成頂點(diǎn)，相互連通的單元之間連一條邊權(quán)為1的邊。,分析分層,考慮鑰匙狀態(tài)對(duì)門(mén)的影響。 把圖分成2P層，分別對(duì)應(yīng)持有鑰匙的2P種狀態(tài)。,分析邊（1）,根據(jù)鑰匙的狀態(tài)改造每層圖，使相鄰的連通節(jié)點(diǎn)間有長(zhǎng)度為1的邊。,分析邊（2）,對(duì)于存有鑰匙的頂點(diǎn)，向表示得到鑰匙后鑰匙狀態(tài)的層的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連一條長(zhǎng)度為0的邊。,分析復(fù)雜度,使用寬度優(yōu)先搜索求最短路。 時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度均

3、為O(2PNM)。,小結(jié),將圖進(jìn)行分層是因?yàn)樵谕粚訄D上難以準(zhǔn)確地表現(xiàn)出圖在不同條件下的狀況或圖的其他因素。 分層的圖分別表示不同的條件，加強(qiáng)了圖的性質(zhì)，使得在分層圖能夠使用基本的最短路算法求解原來(lái)的復(fù)雜問(wèn)題。,例題二 roads (CEOI98),n個(gè)城市有單向道路連接。 每條路有固定的長(zhǎng)度和費(fèi)用。 路徑上的費(fèi)用不大于k。 求從城市1出發(fā)到達(dá)城市n的最短路徑。,例題二 roads (CEOI98),費(fèi)用k是不大于10000的非負(fù)整數(shù) 城市數(shù)n是不大于100的正整數(shù) 道路數(shù)m是不大于10000的正整數(shù) 每條道路的長(zhǎng)度是不大于100的正整數(shù) 每條道路的通行稅是不大于100的非負(fù)整數(shù)。,分析圖,我

4、們把城市看成節(jié)點(diǎn)，城市之間的道路看成邊。,本題與一般求最短路的問(wèn)題相比，不同之處在于邊上有費(fèi)用、距離兩個(gè)權(quán)值。,分析算法一分層,把圖拆分成k+1層，表示到達(dá)該層頂點(diǎn)所需的費(fèi)用分別為0到k。,分析算法一邊,每條邊拆成O(k)條邊，邊的兩個(gè)頂點(diǎn)的所在層的費(fèi)用之差表示費(fèi)用，邊的權(quán)值表示道路長(zhǎng)度。,分析算法一復(fù)雜度,由于道路長(zhǎng)度是正整數(shù)，采用Dijkstra算法求最短路。 圖是稠密的，優(yōu)先隊(duì)列直接使用一維數(shù)組。 時(shí)間復(fù)雜度為O(k(kn2+m) 。,分析算法二,由于費(fèi)用是非負(fù)的，這意味著邊只能從一個(gè)節(jié)點(diǎn)指向同一層的節(jié)點(diǎn)或費(fèi)用更大的層的節(jié)點(diǎn)。 按照費(fèi)用從低到高的順序?qū)γ繉忧笞疃搪罚且淮涡詫?duì)所有點(diǎn)求最

5、短路。 每一層求最短路的時(shí)間復(fù)雜度為O(n2+m)。 時(shí)間復(fù)雜度降為O(k(n2+m)。,分析算法三,由于題目已經(jīng)給定費(fèi)用的最大值，所以我們很自然地直接以費(fèi)用的多少進(jìn)行分層。 但是我們忽略了一個(gè)條件：道路長(zhǎng)度是正整數(shù)，而不僅是非負(fù)整數(shù)。 可以以道路長(zhǎng)度進(jìn)行分層，然后使用動(dòng)態(tài)規(guī)劃。,分析算法三轉(zhuǎn)移方程,令fi,j表示到達(dá)城市j長(zhǎng)度為i的所有路徑所花費(fèi)的最少費(fèi)用。,轉(zhuǎn)移方程為： f0,1=0 f0,j= (j=2 n) fi,j=maxfi-len,j0+fee (城市j0到城市j有一條長(zhǎng)度為len，費(fèi)用為fee的道路),分析算法三復(fù)雜度,設(shè)每條道路長(zhǎng)度的最大值為L(zhǎng)。 那么總共有O(nL)個(gè)階段，每個(gè)階段的轉(zhuǎn)移的復(fù)雜度O(m)。 算法三的時(shí)間復(fù)雜度為O(nLm)，效率有所提高。,小結(jié),分層圖的層是我們構(gòu)建模型時(shí)復(fù)制的，許多圖的元素都是相同或相似的，不需要增加額外