振型的正交性.ppt

1、四、多自由度系統(tǒng)的振動、多自由度無阻尼自由振蕩模式的正交性多自由度的強迫振動桿系統(tǒng)結(jié)構(gòu)有限元動力分析多自由度時間分析方法的結(jié)論和討論、很多工程問題可以變成單自由度問題修正算，但是由于有一盞茶的分析精度，有些問題也必須多自由度地分析。 在等效粘性阻尼理論下，第二章討論了兩自由度系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)的運動方程，理論上阻尼矩陣C=Cij，Cij表示j自由度單位速度下I自由度方向的阻尼力。 然而，實際上Cij一般不能確定。 目前，多自由度問題分析首先求出無阻尼自由振蕩確定頻率、振動型等動力特性，然后利用振動型的正交性，在假設(shè)阻尼矩陣也正交的條件下，通過將多自由度分析分解為單自由度問題的組合來解決. 再次

2、體現(xiàn)了使未知問題成為已知問題的研究方法和思想。 對于復(fù)雜的負(fù)荷狀況(地震床運動等離散負(fù)荷)，用時間分析方法和隨機振動理論解決(第6章)。 因此，首先介紹無阻尼自由振蕩。 4.1多自由度無衰減自由振蕩、多自由度運動方程式，無衰減自由振蕩運動方程式將其解代入Asint、運動方程式，則得到(- 2M K) Asint=0，根據(jù)為了在系統(tǒng)中有非零的振動解，而必須由- 2M K=0 (1)的式(1)展開，則得到雙n次方程式，通常但一般情況下多從式(2)出發(fā)。4.1多自由度無衰減自由振蕩，式(2)可以改寫為2MA=KA (3)數(shù)學(xué)上廣義的特征值問題。 為了使其成為標(biāo)準(zhǔn)實際尺對稱矩陣特征值問題，若設(shè)M=(M

3、1/2)TM1/2 (4) M1/2A=X，則設(shè)A=(M1/2)-1X (5)世代式的2X=(M1/2)-1TK(M1/2)-1X (7)記述(m1/2)-1 tk (m1/2) 獲得了2X=DX (9)，4.1多自由度無衰減自由振蕩，其中2X=DX (9)是實際對稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的方程，并且對于一些數(shù)學(xué)可以用線性代數(shù)介紹的特征值問題解法來計算d矩陣的特征對2 得到按照I從小到大的順序排列的結(jié)構(gòu)的頻譜，1和a-1分別稱為第一頻率(基頻或基頻)、第一模式。 其他依次稱為第二、第三等頻率、振動型。 有任意n自由度問題自由振蕩解法、結(jié)論，兩自由度問題可作為其特例，根據(jù)上述解法、構(gòu)思進(jìn)行分析。

4、對于兩自由度問題，4.1多自由度無衰減自由振蕩可以根據(jù)具體的問題運動方程式用剛性法制作，也可以用依從性法制作。 因此，在教材上分別根據(jù)剛性法和依從性法進(jìn)行了具體的研究，給出了頻率、振動型和剛性系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系以及與依從性系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系。 我記得更清楚這些個公式，但即使不記得也是大丈夫。 重要的是要記住以下基本概念。 1 )在沒有衰減的自由振蕩中-M=Ku，即慣性力和彈性復(fù)原力平衡，為同相位。 因此，設(shè)振幅為a，式(3)也可以由列慣性力、復(fù)原力的振幅方程式得到。 2 )在基于依從性法的情況下，位移是由慣性力決定的，依從性法的特征方程式為相同的理由(同相位)，在建立直接振幅方程式并對A=2fMA

5、 (10) 3提出具體問題后，重要的是正確確定m、k或f，它們具有任何結(jié)構(gòu)均統(tǒng)一展開特征方程得到二次頻率方程，根據(jù)具體的抗彎性系數(shù)和質(zhì)量，解該頻率方程得到頻率1和2。 5 )將頻率1和2代代入特征方程式，只能得到與某頻率對應(yīng)的位移比(一次方程式只能得到比)，能夠?qū)⑵洹皹?biāo)準(zhǔn)化”，一般將最大值設(shè)為1，則得到振動型。 6 )自由振蕩的解可以通過疊加各頻率的簡并性共振解而得到，振幅、相位由質(zhì)量的初始位移、初始速度(n自由度有2n個初始條件)決定。 如上所述，只要有m、k、f，剩下的僥功主要是數(shù)學(xué)運算。 但是，為了達(dá)到熟練程度，必須在SMCAI中看幾個例子，多加練習(xí)。 僅限學(xué)時在此不舉例。4.2模式的正

6、交性通過從i2MAi=KAi、j2MAj=KAj的前式左乘AjT、后式左乘AiT進(jìn)一步減去兩式，從質(zhì)量剛性的對稱性得到(i2-j2)aai，根據(jù)式(12 )和特征方程式，求出AjTKAi=0 (13 ) 、4.2模式的正交性，式(12 )和式(13 )在數(shù)學(xué)上不同的模式加權(quán)質(zhì)量剛性而正交。 即，振動型具有正交性。 根據(jù)第I模式的振幅方程式，將i2AiTMAi=AiTKAi (14 )記載Mi*=AiTMAi (15 )稱為第I模式廣義質(zhì)量，將Ki*=AiTKAi (16 )記載稱為第I模式廣義剛性。 i2=Ki*/Mi* (17 )即第I頻率的平方可以像單自由度那樣由廣義的剛性和質(zhì)量求出。 式

7、(12 )和(13 )是最基本、最常用的正交關(guān)系。 關(guān)于4.2模型的正交性，由于i2MAi=KAi (a )的兩側(cè)云同步地左乘AjTKM-1，所以I2aj tkm-1 mai=I2aj tkm-1 kai=0的I2aj tkm-1 kai=I2ajtk (m-1 k 可以證明AjTK(M-1K)nAi=0 (18 )類似的這些個可以合并為一個表達(dá)式，但請考慮如何合并這是一個更常見的正交關(guān)系。4.2模式的正交性、式(12 )和式(13 )或者式(18 )和式(19 )的正交性在多自由度分析中起到極其重要的作用，應(yīng)該深入理解。 1 )利用正交性，可以在精確確定k，m的基礎(chǔ)上，使用它來驗證振動校正計

8、算的精準(zhǔn)性。 2 )在已知振動型、k、m的條件下，可以使用它來求出與振動型相對應(yīng)的頻率。 3 )可將任意位移以正交性分解為振動型的組合。 例如，如果存在位移y，則可以將y=ciAi，ci作為組合系數(shù)。 將AjTM與方程式兩側(cè)的云同步相乘，可以根據(jù)正交性獲得名為AjTMy=cjMj* (d )的組合系數(shù)cj，其中得到的是代替y=ciAi在模式中進(jìn)行分解的結(jié)果。4.2模式的正交性，4 )可以通過將多自由度問題作為單自由度問題來解決。 實際上，假設(shè)u(t)=yi(t)Ai，代入運動方程式可以使AjT乘以Mi(t)Ai K yi(t)Ai=0 (e )方程式的兩側(cè)的云同步。 根據(jù)正交性，如何確定從Mj

9、*j(t) Kj*yi(t)=0 (20 )式(20 )得到的(根據(jù)單自由度自由振蕩結(jié)果) yi(t)=aisin(itci )請自己考慮。 6 )正交性仍然是強迫振動分析的基礎(chǔ)。4.3多自由度的強制振動、4.3.1多自由度的強制振動的振動型分解法多自由度任意負(fù)荷下運動方程式，如前節(jié)4 )所示，將u=yi(t)Ai，即位移分解為各振動型的組合，組合系數(shù)yi (t ) mi (t ) ai ci (t ) ai Kyi (t )。因此，通常也稱為Rayleigh (瑞利)比例衰減，并認(rèn)為衰減與系統(tǒng)的質(zhì)量、剛性成比例，而0對1由振動型正交性上的衰減比I、j和頻率I、j決定(操作)。 對于、4.3多

10、自由度的強制振動，假設(shè)在正交衰減的假設(shè)下，在AiTCAi=Ci* (23 )式(a )的兩側(cè)對云同步乘以AiT，則設(shè)得到mi*i(t)ci*i(t )的第I模式的廣義載荷為AiTP(t)=Pi*(t) (25 )，則設(shè)式如果是ci*i(t)ki，則為4.3多自由度的強制振動，如果P(t)=Pf(t) (27 )，則為Pi*(t)=AiTPf(t)=Pi*f(t) (c )。 由mi * i(t ) ci * I (t ) ki * yi (t )=imi * f (t ) (29 )或i(t)2iii(t)i2yi獲得的I (t )被稱為第I模式的廣義位移。 (31 )、(32 )、4.3多自

11、由度的加振、4.3.2簡并性載荷下的加振反應(yīng)，如果將動載荷(由旋轉(zhuǎn)設(shè)備引起)設(shè)為P(t)=Psint (33 )，則由式()引起的廣義的位移，i(t)=isin(it-i)/i2 (34 )式(34 )中的I為第在沒有作為2 (35 )的u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )的衰減的情況下可以看作自然有衰減的情況下的特例，在上述結(jié)果中作為i=0而得到。 4.3多自由度的強迫振動，4.3.3簡并性載荷強迫振動反應(yīng)分析步驟動載荷為Psint或Pcost時，多自由度系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)反應(yīng)分析確定1 )系統(tǒng)質(zhì)量m，剛性k (或依從性f )沉積基質(zhì)可以由以下步驟進(jìn)行： 2 )求出沒有衰減的自由振蕩

12、的振動型Ai、頻率I。 3 )使用衰減比1和2以及頻率1和2獲得瑞利衰減的0和1。 4 )求出I模式參加系數(shù)i=AiTP/AiTMAi。 5 )求出I模式衰減比i=1/2(0/i 1i) 6模式動力系數(shù)i=(1-i2)2 4i2i2-1/2。 7 )求出I模式相位角i=arctg2i/i(1-i2)。 8 )求出I模式的廣義位移i(t)=isin(it-i)/i2。 9 )如果用u=ii(t)Ai代替各振動模型的廣義位移，則得到最終結(jié)果u(t)=iisin(it-i)/i2Ai (37 )、4.4桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析，4。 假設(shè)桿尤針織面料的密度以微小級慣性力-aAdx為體積力，該單針織面料

13、載荷的總虛功為(38 )，導(dǎo)入單針織面料一致質(zhì)量矩陣me、(39 )、4.4桿結(jié)構(gòu)有限元動力分析，從式(39 )代入形函數(shù)并積分，4.4桿結(jié)構(gòu)有限元動力分析在沒有衰減的情況下， 用假想位移原理進(jìn)行單元分析得到單元剛性方程式，(注意：當(dāng)前的分析是單元局部坐標(biāo)系的)從該“單元剛性方程式”經(jīng)過坐標(biāo)變換、整體集成(定位矢量“指定坐標(biāo)”)、4.4桿結(jié)構(gòu)有限元動力分析、4.4.2若干說明1 )單元不受載荷作用2 )結(jié)構(gòu)一致質(zhì)量沉積基質(zhì)和結(jié)構(gòu)剛性沉積基質(zhì)的非零要素分布相同。 3)Clough教授指出，關(guān)于框架建筑，使活塞桿的一半質(zhì)量集中在活塞桿的端部，通過集中質(zhì)量法進(jìn)行修正，不僅能夠在處理后減少未知數(shù)的個數(shù)

14、(自由度)，而且多數(shù)情況下精度較高。4 )假定在采用集中質(zhì)量法時與m的旋轉(zhuǎn)自由度相對應(yīng)的相對折角線元素(慣性矩)為0，并且位移查詢密碼將旋轉(zhuǎn)自由度集中到最后編輯，則無衰減的運動方程式的子搖滾樂形式被消除，M1 K11u K12=R1 K21u K22=R2，并且僅得到線位移自由度的方程式。 4.4桿結(jié)構(gòu)有限元動力分析，4.4.2一些說明5 )分析時如果不采用集中質(zhì)量法考慮軸向變形，封裝后的最終質(zhì)量沉積基質(zhì)是各層質(zhì)量呈對角排列的形式。 這是當(dāng)前桿模型的一般修正計算方案。 6 )對于上述桿模型的修正計算計程儀程序，質(zhì)量矩陣簡單。 但是，在封裝形成剛性沉積基質(zhì)的情況下，進(jìn)行4 )中所述的“靜力縮聚”。 當(dāng)R2=0時，K1=K11-K12K22-1K21，運動方程式M1