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1、題型一分類討論思想的應用例1實數(shù)k為何值時,復數(shù)(1i)k2(35i)k2(23i)滿足下列條件?(1)是實數(shù);(2)是虛數(shù);(3)是純虛數(shù)解(1i)k2(35i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i.(1)當k25k60,即k6或k1時,該復數(shù)為實數(shù)(2)當k25k60,即k6且k1時,該復數(shù)為虛數(shù)(3)當即k4時,該復數(shù)為純虛數(shù)反思與感悟當復數(shù)的實部與虛部含有字母時,利用復數(shù)的有關概念進行分類討論分別確定什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)當xyi沒有說明x,yR時,也要分情況討論跟蹤訓練1 (1)若復數(shù)(a2a2)(|a1|1)i(aR)不是純虛數(shù),則()Aa1 Ba1且a2Ca1 D
2、a2答案C解析若一個復數(shù)不是純虛數(shù),則該復數(shù)是一個虛數(shù)或是一個實數(shù)當a2a20時,已知的復數(shù)一定不是純虛數(shù),解得a1且a2;當a2a20且|a1|10時,已知的復數(shù)也不是一個純虛數(shù),解得a2.綜上所述,當a1時,已知的復數(shù)不是一個純虛數(shù)(2)實數(shù)x取什么值時,復數(shù)z(x2x6)(x22x15)i是:實數(shù);虛數(shù);純虛數(shù);零解當x22x150,即x3或x5時,復數(shù)z為實數(shù);當x22x150,即x3且x5時,復數(shù)z為虛數(shù);當x2x60且x22x150,即x2時,復數(shù)z是純虛數(shù);當x2x60且x22x150,即x3時,復數(shù)z為零題型二數(shù)形結(jié)合思想的應用例2已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應
3、的復數(shù)分別為12i,26i,OABC.求頂點C所對應的復數(shù)z.解設zxyi,x,yR,如圖OABC,|OC|BA|,kOAkBC,|zC|zBzA|,即解得或.|OA|BC|,x23,y24(舍去),故z5.反思與感悟數(shù)形結(jié)合既是一種重要的數(shù)學思想,又是一種常用的數(shù)學方法本章中,復數(shù)本身的幾何意義、復數(shù)的模以及復數(shù)加減法的幾何意義都是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)它們得以相互轉(zhuǎn)化涉及的主要問題有復數(shù)在復平面內(nèi)對應點的位置、復數(shù)運算及模的最值問題等跟蹤訓練 2 已知復數(shù)z1i(1i)3.(1)求|z1|;(2)若|z|1,求|zz1|的最大值解(1)|z1|i(1i)3|i|1i|32.(2)如圖所示,由|
4、z|1可知,z在復平面內(nèi)對應的點的軌跡是半徑為1,圓心為O(0,0)的圓,而z1對應著坐標系中的點Z1(2,2)所以|zz1|的最大值可以看成是點Z1(2,2)到圓上的點的距離的最大值由圖知|zz1|max|z1|r(r為圓半徑)21.題型三轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用例3已知z是復數(shù),z2i,均為實數(shù),且(zai)2的對應點在第一象限,求實數(shù)a的取值范圍解設zxyi(x,yR),則z2ix(y2)i為實數(shù),y2.又(x2i)(2i)(2x2)(x4)i為實數(shù),x4.z42i,又(zai)2(42iai)2(124aa2)8(a2)i在第一象限,解得2a6.實數(shù)a的取值范圍是(2,6)反思與感悟在求復
5、數(shù)時,常設復數(shù)zxyi(x,yR),把復數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實數(shù)x,y滿足的條件,即復數(shù)問題實數(shù)化的基本思想在本章中非常重要跟蹤訓練3已知x,y為共軛復數(shù),且(xy)23xyi46i,求x,y.解設xabi(a,bR),則yabi.又(xy)23xyi46i,4a23(a2b2)i46i,或或或或或或題型四類比思想的應用復數(shù)加、減、乘、除運算的實質(zhì)是實數(shù)的加減乘除,加減法是對應實、虛部相加減,而乘法類比多項式乘法,除法類比根式的分子分母有理化,只要注意i21.在運算的過程中常用來降冪的公式有(1)i的乘方:i4k1,i4k1i,i4k21,i4k3i(kZ);(2)(1i)22i;(3)設i,則31,2,120,2,3n1,3n1(N*)等;(4)(i)31;(5)作復數(shù)除法運算時,有如下技巧:i,利用此結(jié)論可使一些特殊的計算過程簡化例 4計算:(1)(1i)(i)(1i);(2)()2 006.解(1)方法一(1i)(i)(1i)(iii2)(1i)(i)(1i)iii21i.方法二原式(1i)(1i)(i)(1i2)(i)2(i)1
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